人教A版高中数学选择性必修第一册同步练习25直线与圆的位置关系同步练习

直线与圆的位置关系同步练习

一、选择题

1.平面直角坐标系内，过点（夜,0）的直线/与曲线y=相交于4B两点，当

△力。B的面积最大时，直线/的斜率为（）

A.—@B.-V3C.D.-咚

322

2.若直线y-kx+1与圆/+y2+fc%-y-9=0的两个交点恰好关于y轴对称，

则人等于（）

A.0B.1C.2D.3

3.直线Z:（2m+1）久+（m+l）y-7m—4=0与圆C:（x—l）2+（y-2）2=25的位

置关系为（）

A,与加的值有关B.相离C.相切D.相交

4.已知两点4（0,3）,5（4,0）,若点尸是圆C：x2+y2+2y=。上的动点，则AABP

的面积的最小值为（）

A.5B.yC.8D.y

5.已知点P（x,y）是直线V5x+y—8=0上一动点，直线尸4总是圆C：x2+y2-

4y=0的两条切线，N,8为切点，C为圆心，则四边形尸面积的最小值是（）

A.2V3B.4C.2V5D.2遥

6.已知圆好+产一6%=0,过点（1,2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

7.平行于直线久+y-l=0且与圆/+产-2=0相切的直线的方程是（）

A.%+y+2=0B.x+y-2=0

C.%+y+2A/2=0或％+y-2A/2=0D.%+y+2=0或久+y-2=0

8.过点P(—2,4)作圆。(x—2)2+(y—1)2=25的切线/,直线加：ax—3y=0

与直线/平行，则直线I与m的距离为()

A.4B.2C.1D.y

9.过点(3,1)作圆0-1)2+y2=r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()

A.2x+y-5=0B,2x+y-7=0C.x—2y—5—0D.x—2y—7—0

10.已知。M：x2+y2-2x-2y-2=0,直线/：2x+y+2=0,P为/上的动点.过

点尸作(DM的切线尸/,PB,切点为/,B,当|PM|•|AB|最小时，直线A8的方

程为()

A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0

11.已知点P(%y)是直线y=2&x—4上一动点,PM与尸N是圆C：x2+(y-l)2=1

的两条切线，M,N为切点，则四边形尸MCN的最小面积为()

4255

-B-C-D-

A.3336

12.点尸为射线比=2(y20)上一点，过尸作圆久y2=3的两条切线，若两条切线

的夹角为90°,则点尸的坐标为()

A.(2,1)B.(2,2)C.(2,V2)D.(2,0)

13.已知直线y=以久+1)与曲线y=J4-(久—2尸有两个交点,则左的取值范围为(

A［。用B.(若)C.(。卓D.［嗯］

14.已知双曲线，=l(a>06>0)的右焦点为F(c,0),圆氏(%-a)2+y2=y

与。的渐近线相切，为尸作C的两渐近线的垂线，垂足分别为M,N,若四边形

OMFN(。为坐标原点)的面积为2旧，则C的离心率为()

A.且B,V3C.色或包D.遍或且

2233

二、填空题

15.已知圆方程为0-1)2+y2=i,则过点(2,2)且与圆相切的直线方程为

.(写成一般形式)

16.过点力(3,5)作圆。:/+y2-2x-4y+1=0的切线，则切线的方程为.

17.过定点M的直线：――y+1—2k=0与圆：(x+l)2+(y—5)2=9相切于点N,

则|MN|=.

18.直线x+y+1=0被圆C：x2+y2=2所截得的弦长为；由直线x+y+

3=0上的一点向圆C引切线，切线长的最小值为.

19.过点P(l,l)作圆/+必+2乂—1=0的切线，切点为4,则|P4|=.

三、解答题

20.已知圆C过点(0,0),(1,1),(4,2).

(1)求圆C的方程；

(2)过点(-1,-2)作圆C的切线，求切线的方程；

(3)作直线l:y=x+b交圆C于4,8两点，求使三角形4BC面积最大时的直线/的

方程(点C为圆。的圆心).

21.已知圆o-.x2+y2—2，直线i.y—kx—2

(1)若直线/与圆。相切，求左的值；

(2)若斯、G8为圆。的两条相互垂直的弦，垂足为M(l,乎)，求四边形的

面积的最大值；

(3)若k=g,尸是直线/上的动点，过尸作圆。的两条切线尸C、PD,切点分别为

C、Do探究直线CO是否过定点？若是，求出定点，并说明理由.

22.已知圆C：x2+y2-6x+8-0,

(1)求圆C半径和圆心坐标；

(2)求过点(2,3)且与圆C相切的直线方程.

23.已知圆M过两点C(l,一1),0(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上.

(1)求圆M的方程；

(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,是圆M的两条切线，4,B为

切点，求四边形尸面积的最小值.

答案和解析

1.A

解：由y=V1-%2，得%2+y2=l(y>0).

曲线y=—%2表示以O为圆心，半径为1的上半圆,

则^AOB的面积S=l\OA\\OB\sinAAOB=qgin乙4OB,

要使三角形的面积最大，此时sinN4OS=l,即N40B=9O°,

则=V2,

取的中点C,则|OC|=；|阴=争

V2

•・,|OD|=V2,sinZ-ODC==令=工，

\OD\V22

则上。吹7=30°,加L4=15(r，

即直线的倾斜角为150°,则直线的斜率Jt=tanl500=-逐，

3

故选：A.

2.A

解：方法一：联立直线与圆的方程得：

(y=kx+1

[x2+y2+/cx—y-9=0"

消去y得：(k2+l)x2+2kx—9=0,

设方程的两根分别为％i，x2,

由题意得：X]+=_=。'

解得：k=0.

故选4

方法二：直线y=kx+1与圆%2+y2+fcx—y—9=0的两个交点恰好关于y轴对称,

则两交点所确定的直线与V轴垂直，故直线y=fct+l斜率为0,所以/c=0.

故选/.

方法三：直线y=fcx+1与圆+y2+/cx—y—9=0的两个交点恰好关于y轴对称,

又圆心在弦的中垂线上，则圆心在y轴上，故圆心的横坐标为0,所以圆方程(久+鼻2+

(y—3)2=9+：+:中一：=0,即k=0.

故选4

3.D

解：因为直线I的方程可化为m(2x+y-7)+x+y-4=0,

则由肘d，得宿，

即直线/过定点(3,1),而(3-1)2+(1—2)2<25,即点(3,1)在圆内，

所以直线/与圆C相交.故选D

4.5

解：根据题意，AABP面积为底乘以高，底边长|48|为定值，只需高最小,

即求产到直线的最小值，

即为圆心到直线的距离减去半径.

直线N5的方程为:+尹1,即3%+4y—12=0,

圆%2+y2+2y=(),即％2+。+i)2=1,圆心为(0,-1),半径为1,

•••圆心到直线AB的距离为d=匕产=y,

P到直线AB的最小值为费-l=y,

•••\AB\=5,

・•.△ABP面积的最小值为！x5x£=£，

故选：B.

5.C

解：如图:

y

又P在直线遮％+y-8=0上,

・•.PC的最小值为C到直线百久+y—8=0上的距离d=焉=3,

PA的最小值为，32-22=V5，

二四边形尸/C2的面积的最小值为2x有=2V5.

6.B

解：由圆的方程可得圆心坐标。(3,0),半径r=3,且点。在圆内，

设圆心到直线的距离为d,则过D(l,2)的直线与圆的相交弦长|AB|=23—&2,

当d最大时最小，当直线与C〃所在的直线垂直时d最大，这时d=|CD|=

，(3-+(2-0)2=2V2，

所以最小的弦长|力3|=2J32-(2V2)2=2>

故选B.

1.D

解：设所求直线方程为x+y+b=0,平行于直线x+y-l=0且与圆/+y2=2相

切，

所以悬=/，所以b=±2,所以所求直线方程为：x+y+2=0或%+y-2=0.

故选：D.

8幺

解：由已知，切线斜率存在且不为0,

因为P为圆上一点，则有岫尸也二一1,

京74—13

而%=_7T=-£，

—L—L4

••・a=4,

所以直线m：4x—3y=0,

直线2；y-4=：(比+2)即4x—3y+20=0.

PO|一

'J与加的距离为"花Q一.

故选4

9.B

解：设过点P(3,l)作圆。:(久-1产+y2=/的切线有且只有一条,

所以点尸在圆上，圆心。(1,0)

故kpo=77=p

则切线的方程的斜率k=-9=-2

Rpo

故该切线的方程为y—1=-2。-3),即2x+y—7=0

故选2.

10.r>

解：圆M方程化为：(%—1)2+(y-1)2=4,圆心半径r=2,

根据切线的性质及圆的对称性可知,

则|PM|•|4B|=4sAp4M=2\PA\-\AM\,

要使其值最小，只需|P4|最小，即|PM|最小，此时

\PM\=回浮=V5,\PA\=yJ\PM\2-\AM\2=1,

过点M且垂直于I的方程为y-l=l(x-l),联立/的方程解得P(-1,0),

以尸为圆心，|P4|为半径的圆的方程为(％+I)2+y2=1,即％2+y2+2%=0,

结合圆M的方程两式相减可得直线AB的方程为2x+y+1=0,

故选D

11.A

解：如图所示,

由切线的性质可知，CM1PM,CN1PN,

且APGM皿H7N-\PM\=|PN|=J\PC\2-\CM\2=y/\PC\2-1.

当|PC|取最小值时，|PM|、|PN|也取得最小值，

显然当CP与直线y=2鱼x-4垂直时，|PC|取最小值,

且该最小值为点C(0,l)到直线y=2V2%-4的距离,

此时|PM|=|PN|=\PC\

.•・四边形PMCN面积的最小值为

1PM21414

X--X-X-X--

21233

m171

故选/.

12.C

解：设切点为4B,贝U0414P,OB1BP,OA=OB,AP=BP,AP1BP,

故四边形OAPB为正方形，则|OP|=V6,

又孙=2,

则P(2,V2).

故选C.

13.A

解：y=，4一(％-2)2,即(％-2/+y2=4(y>0),直线y=k(%+1)过定点(-1,0),

22

当直线与半圆相切时，AB=3,AC=2fBC=y/AB-AC=V5.

此时斜率为W，根据图象知ke[0，W).

故选/

14.C

解：因为圆£：(x-a)2+y2=/与c的渐近线相切，

设切点为尸，又圆£的圆心恰为C的右顶点，

由双曲线的性质可知|FM|=b,\OM\=a,

-1

所以S°M尸N=2soM尸=2x—\OM\x\FM\=ab,

所以耐=28，又由题可知，EP//FM,

2V3

所以由相似三角形性质可知股=侬今近=士今Jj=2反

\FM\\OF\bcab

从而c=M所以=R=2卜=件

(a2+b2=7(b=皆5=2

所以e=£=C或叵，

a23

故选C.

15.3%-4y+2=0或H—2=0

解：点(2,2)在圆(x—1)2+y=1外，

当切线斜率不存在时，即久=2,即x-2=0,符合题意；

当切线斜率存在时，设切线方程方程为y—2=做久—2),即人久―y+2—2k=0,

圆心到直线的距离d=需第=1,解得k=j,

即此时切线为，无一y+2-|=0,即3x—4y+2=0,

综上所述，经过点(2,2)且与圆相切的直线方程为3久-4y+2=0或2=0

故3x—4y+2=0或H—2=0.

16.5%—12y+45=0或％—3=0

解：圆。的标准方程为(刀一1)2+0—2)2=4,其圆心为(1,2).

\OA\=J(3—1)2+(5—2尸=V13>2，

.•.点4(3,5)在圆外.

当切线的斜率不存在时，直线x=3与圆相切，即切线方程为X-3=0；

当切线的斜率存在时，可设所求切线方程为y—5=k(x—3),即k久一y+5—3k=0.

又圆心为(1,2),半径r=2,

即圆心到切线的距离d=舒=2,

即|3—2川=2舟+1，

・•.k=—,

12

即切线方程为5%-12y+45=0.

综上可知，所求切线的方程为5%-12y+45=0或％-3=0.

17.4

解：直线：kx-y+1-2k=0过定点

(x+1)2+(y—5)2=9的圆心(—1,5),半径为：3；

定点与圆心的距离为：J（2+1尸+（1—5为=5.

过定点〃■的直线：/cc—y+l-2k=0与圆：（K+1）2+卬-5）2=9相切于点N,

则|MN|=，52—32=4.

故4.

18.诟f

解：圆C：%2+y2=2的圆心坐标为c（0,0）,半径r=鱼.

圆心C到直线x+y+1=0的距离d=恃=亭

・,・直线％+y+1=0被圆C：x2+y2=2所截得的弦长为：

21（鱼）2_（?）=短;

圆心C到直线x+y+3=0的距离di=昙=苧，

则由直线x+y+3=0上的一点向圆C引切线，

切线长的最小值为J（季j_（四）2=半.

19.V3

解：由题得圆的标准方程为（x+l）2+y2=2,设圆心为C,

所以圆C的圆心为(―1,0),半径为鱼.

所以|PC|=41+1)2+12=V5，

所以|P4|=J(V5)2-(V2)2=V3-

故答案为旧.

20.解：(1)设圆C的方程为/+y2+Dx+Ey+F=0,

'F=0。=一8

依题意,1+1+D+E+F=0解得，E=6

、16+4+40+2.E+F—0F=0

所以圆C的方程为/+y2—8x+6y—0;

(2)圆C的方程可化为Q-4)2+(y+3)2=25,

当切线斜率不存在时，切线方程为x=-1;

当切线斜率存在设为后时，设切线方程为y+2=k(x+l),即kx—y+k-1=0;

|4fc+3+fc-2|r

----------1——5解得k=苫

jH+i

此时切线方程为12%―5y+2=0

综上，所求切线方程为x=—1和12%-5y+2=0

(3)使三角形N8C面积最大，则圆心角为90。，

所以圆心。到直线的距离d=弊叨=遮*5,

V22

解得b=—2或一12,

即直线I的方程x-y-2=0,x-y-12=0

21.解：⑴•・•圆。：/+y2=2,直线/：y=kx—2.直线/与圆。相切,

二圆心0(0,0)到直线/的距离等于半径r=V2，

即d=2L=V2,

Vk2+1

解得k=±l.

(2)设圆心。到直线跖、G8的距离分别为由、d2,

则说+说=|0M|2=|,

所以|EF|=2一说=2J2-境，\GH\=2'-吗=212—说，

所以S=g|EF||GH|=2J(2—dj)(2—吗)W2-青+2—d|=4-g=|,

当且仅当2—dj=2—说即由=42=争寸，取“=”，

所以四边形EGF8的面积的最大值为|。

(3)k=^时，直线/的方程为：y^jx-2,

设P(a,1a-2),则以0P为直径的圆的方程为x(x-a)+y(y-1a+2)=0,

即d+'2一a%+卜—gajy=0,将其和圆。：x2+