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文档简介

直线与圆的位置关系同步练习

一、选择题

1.平面直角坐标系内,过点(夜,0)的直线/与曲线y=相交于4B两点,当

△力。B的面积最大时,直线/的斜率为()

A.—@B.-V3C.D.-咚

322

2.若直线y-kx+1与圆/+y2+fc%-y-9=0的两个交点恰好关于y轴对称,

则人等于()

A.0B.1C.2D.3

3.直线Z:(2m+1)久+(m+l)y-7m—4=0与圆C:(x—l)2+(y-2)2=25的位

置关系为()

A,与加的值有关B.相离C.相切D.相交

4.已知两点4(0,3),5(4,0),若点尸是圆C:x2+y2+2y=。上的动点,则AABP

的面积的最小值为()

A.5B.yC.8D.y

5.已知点P(x,y)是直线V5x+y—8=0上一动点,直线尸4总是圆C:x2+y2-

4y=0的两条切线,N,8为切点,C为圆心,则四边形尸面积的最小值是()

A.2V3B.4C.2V5D.2遥

6.已知圆好+产一6%=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()

A.1B.2C.3D.4

7.平行于直线久+y-l=0且与圆/+产-2=0相切的直线的方程是()

A.%+y+2=0B.x+y-2=0

C.%+y+2A/2=0或%+y-2A/2=0D.%+y+2=0或久+y-2=0

8.过点P(—2,4)作圆。(x—2)2+(y—1)2=25的切线/,直线加:ax—3y=0

与直线/平行,则直线I与m的距离为()

A.4B.2C.1D.y

9.过点(3,1)作圆0-1)2+y2=r2的切线有且只有一条,则该切线的方程为()

A.2x+y-5=0B,2x+y-7=0C.x—2y—5—0D.x—2y—7—0

10.已知。M:x2+y2-2x-2y-2=0,直线/:2x+y+2=0,P为/上的动点.过

点尸作(DM的切线尸/,PB,切点为/,B,当|PM|•|AB|最小时,直线A8的方

程为()

A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+1=0D.2x+y+1=0

11.已知点P(%y)是直线y=2&x—4上一动点,PM与尸N是圆C:x2+(y-l)2=1

的两条切线,M,N为切点,则四边形尸MCN的最小面积为()

4255

-B-C-D-

A.3336

12.点尸为射线比=2(y20)上一点,过尸作圆久y2=3的两条切线,若两条切线

的夹角为90°,则点尸的坐标为()

A.(2,1)B.(2,2)C.(2,V2)D.(2,0)

13.已知直线y=以久+1)与曲线y=J4-(久—2尸有两个交点,则左的取值范围为(

A[。用B.(若)C.(。卓D.[嗯]

14.已知双曲线,=l(a>06>0)的右焦点为F(c,0),圆氏(%-a)2+y2=y

与。的渐近线相切,为尸作C的两渐近线的垂线,垂足分别为M,N,若四边形

OMFN(。为坐标原点)的面积为2旧,则C的离心率为()

A.且B,V3C.色或包D.遍或且

2233

二、填空题

15.已知圆方程为0-1)2+y2=i,则过点(2,2)且与圆相切的直线方程为

.(写成一般形式)

16.过点力(3,5)作圆。:/+y2-2x-4y+1=0的切线,则切线的方程为.

17.过定点M的直线:――y+1—2k=0与圆:(x+l)2+(y—5)2=9相切于点N,

则|MN|=.

18.直线x+y+1=0被圆C:x2+y2=2所截得的弦长为;由直线x+y+

3=0上的一点向圆C引切线,切线长的最小值为.

19.过点P(l,l)作圆/+必+2乂—1=0的切线,切点为4,则|P4|=.

三、解答题

20.已知圆C过点(0,0),(1,1),(4,2).

(1)求圆C的方程;

(2)过点(-1,-2)作圆C的切线,求切线的方程;

(3)作直线l:y=x+b交圆C于4,8两点,求使三角形4BC面积最大时的直线/的

方程(点C为圆。的圆心).

21.已知圆o-.x2+y2—2,直线i.y—kx—2

(1)若直线/与圆。相切,求左的值;

(2)若斯、G8为圆。的两条相互垂直的弦,垂足为M(l,乎),求四边形的

面积的最大值;

(3)若k=g,尸是直线/上的动点,过尸作圆。的两条切线尸C、PD,切点分别为

C、Do探究直线CO是否过定点?若是,求出定点,并说明理由.

22.已知圆C:x2+y2-6x+8-0,

(1)求圆C半径和圆心坐标;

(2)求过点(2,3)且与圆C相切的直线方程.

23.已知圆M过两点C(l,一1),0(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上.

(1)求圆M的方程;

(2)设P是直线3x+4y+8=0上的动点,PA,是圆M的两条切线,4,B为

切点,求四边形尸面积的最小值.

答案和解析

1.A

解:由y=V1-%2,得%2+y2=l(y>0).

曲线y=—%2表示以O为圆心,半径为1的上半圆,

则^AOB的面积S=l\OA\\OB\sinAAOB=qgin乙4OB,

要使三角形的面积最大,此时sinN4OS=l,即N40B=9O°,

则=V2,

取的中点C,则|OC|=;|阴=争

V2

•・,|OD|=V2,sinZ-ODC==令=工,

\OD\V22

则上。吹7=30°,加L4=15(r,

即直线的倾斜角为150°,则直线的斜率Jt=tanl500=-逐,

3

故选:A.

2.A

解:方法一:联立直线与圆的方程得:

(y=kx+1

[x2+y2+/cx—y-9=0"

消去y得:(k2+l)x2+2kx—9=0,

设方程的两根分别为%i,x2,

由题意得:X]+=_=。'

解得:k=0.

故选4

方法二:直线y=kx+1与圆%2+y2+fcx—y—9=0的两个交点恰好关于y轴对称,

则两交点所确定的直线与V轴垂直,故直线y=fct+l斜率为0,所以/c=0.

故选/.

方法三:直线y=fcx+1与圆+y2+/cx—y—9=0的两个交点恰好关于y轴对称,

又圆心在弦的中垂线上,则圆心在y轴上,故圆心的横坐标为0,所以圆方程(久+鼻2+

(y—3)2=9+:+:中一:=0,即k=0.

故选4

3.D

解:因为直线I的方程可化为m(2x+y-7)+x+y-4=0,

则由肘d,得宿,

即直线/过定点(3,1),而(3-1)2+(1—2)2<25,即点(3,1)在圆内,

所以直线/与圆C相交.故选D

4.5

解:根据题意,AABP面积为底乘以高,底边长|48|为定值,只需高最小,

即求产到直线的最小值,

即为圆心到直线的距离减去半径.

直线N5的方程为:+尹1,即3%+4y—12=0,

圆%2+y2+2y=(),即%2+。+i)2=1,圆心为(0,-1),半径为1,

•••圆心到直线AB的距离为d=匕产=y,

P到直线AB的最小值为费-l=y,

•••\AB\=5,

・•.△ABP面积的最小值为!x5x£=£,

故选:B.

5.C

解:如图:

y

又P在直线遮%+y-8=0上,

・•.PC的最小值为C到直线百久+y—8=0上的距离d=焉=3,

PA的最小值为,32-22=V5,

二四边形尸/C2的面积的最小值为2x有=2V5.

6.B

解:由圆的方程可得圆心坐标。(3,0),半径r=3,且点。在圆内,

设圆心到直线的距离为d,则过D(l,2)的直线与圆的相交弦长|AB|=23—&2,

当d最大时最小,当直线与C〃所在的直线垂直时d最大,这时d=|CD|=

,(3-+(2-0)2=2V2,

所以最小的弦长|力3|=2J32-(2V2)2=2>

故选B.

1.D

解:设所求直线方程为x+y+b=0,平行于直线x+y-l=0且与圆/+y2=2相

切,

所以悬=/,所以b=±2,所以所求直线方程为:x+y+2=0或%+y-2=0.

故选:D.

8幺

解:由已知,切线斜率存在且不为0,

因为P为圆上一点,则有岫尸也二一1,

京74—13

而%=_7T=-£,

—L—L4

••・a=4,

所以直线m:4x—3y=0,

直线2;y-4=:(比+2)即4x—3y+20=0.

PO|一

'J与加的距离为"花Q一.

故选4

9.B

解:设过点P(3,l)作圆。:(久-1产+y2=/的切线有且只有一条,

所以点尸在圆上,圆心。(1,0)

故kpo=77=p

则切线的方程的斜率k=-9=-2

Rpo

故该切线的方程为y—1=-2。-3),即2x+y—7=0

故选2.

10.r>

解:圆M方程化为:(%—1)2+(y-1)2=4,圆心半径r=2,

根据切线的性质及圆的对称性可知,

则|PM|•|4B|=4sAp4M=2\PA\-\AM\,

要使其值最小,只需|P4|最小,即|PM|最小,此时

\PM\=回浮=V5,\PA\=yJ\PM\2-\AM\2=1,

过点M且垂直于I的方程为y-l=l(x-l),联立/的方程解得P(-1,0),

以尸为圆心,|P4|为半径的圆的方程为(%+I)2+y2=1,即%2+y2+2%=0,

结合圆M的方程两式相减可得直线AB的方程为2x+y+1=0,

故选D

11.A

解:如图所示,

由切线的性质可知,CM1PM,CN1PN,

且APGM皿H7N-\PM\=|PN|=J\PC\2-\CM\2=y/\PC\2-1.

当|PC|取最小值时,|PM|、|PN|也取得最小值,

显然当CP与直线y=2鱼x-4垂直时,|PC|取最小值,

且该最小值为点C(0,l)到直线y=2V2%-4的距离,

此时|PM|=|PN|=\PC\

.•・四边形PMCN面积的最小值为

1PM21414

X--X-X-X--

21233

m171

故选/.

12.C

解:设切点为4B,贝U0414P,OB1BP,OA=OB,AP=BP,AP1BP,

故四边形OAPB为正方形,则|OP|=V6,

又孙=2,

则P(2,V2).

故选C.

13.A

解:y=,4一(%-2)2,即(%-2/+y2=4(y>0),直线y=k(%+1)过定点(-1,0),

22

当直线与半圆相切时,AB=3,AC=2fBC=y/AB-AC=V5.

此时斜率为W,根据图象知ke[0,W).

故选/

14.C

解:因为圆£:(x-a)2+y2=/与c的渐近线相切,

设切点为尸,又圆£的圆心恰为C的右顶点,

由双曲线的性质可知|FM|=b,\OM\=a,

-1

所以S°M尸N=2soM尸=2x—\OM\x\FM\=ab,

所以耐=28,又由题可知,EP//FM,

2V3

所以由相似三角形性质可知股=侬今近=士今Jj=2反

\FM\\OF\bcab

从而c=M所以=R=2卜=件

(a2+b2=7(b=皆5=2

所以e=£=C或叵,

a23

故选C.

15.3%-4y+2=0或H—2=0

解:点(2,2)在圆(x—1)2+y=1外,

当切线斜率不存在时,即久=2,即x-2=0,符合题意;

当切线斜率存在时,设切线方程方程为y—2=做久—2),即人久―y+2—2k=0,

圆心到直线的距离d=需第=1,解得k=j,

即此时切线为,无一y+2-|=0,即3x—4y+2=0,

综上所述,经过点(2,2)且与圆相切的直线方程为3久-4y+2=0或2=0

故3x—4y+2=0或H—2=0.

16.5%—12y+45=0或%—3=0

解:圆。的标准方程为(刀一1)2+0—2)2=4,其圆心为(1,2).

\OA\=J(3—1)2+(5—2尸=V13>2,

.•.点4(3,5)在圆外.

当切线的斜率不存在时,直线x=3与圆相切,即切线方程为X-3=0;

当切线的斜率存在时,可设所求切线方程为y—5=k(x—3),即k久一y+5—3k=0.

又圆心为(1,2),半径r=2,

即圆心到切线的距离d=舒=2,

即|3—2川=2舟+1,

・•.k=—,

12

即切线方程为5%-12y+45=0.

综上可知,所求切线的方程为5%-12y+45=0或%-3=0.

17.4

解:直线:kx-y+1-2k=0过定点

(x+1)2+(y—5)2=9的圆心(—1,5),半径为:3;

定点与圆心的距离为:J(2+1尸+(1—5为=5.

过定点〃■的直线:/cc—y+l-2k=0与圆:(K+1)2+卬-5)2=9相切于点N,

则|MN|=,52—32=4.

故4.

18.诟f

解:圆C:%2+y2=2的圆心坐标为c(0,0),半径r=鱼.

圆心C到直线x+y+1=0的距离d=恃=亭

・,・直线%+y+1=0被圆C:x2+y2=2所截得的弦长为:

21(鱼)2_(?)=短;

圆心C到直线x+y+3=0的距离di=昙=苧,

则由直线x+y+3=0上的一点向圆C引切线,

切线长的最小值为J(季j_(四)2=半.

19.V3

解:由题得圆的标准方程为(x+l)2+y2=2,设圆心为C,

所以圆C的圆心为(―1,0),半径为鱼.

所以|PC|=41+1)2+12=V5,

所以|P4|=J(V5)2-(V2)2=V3-

故答案为旧.

20.解:(1)设圆C的方程为/+y2+Dx+Ey+F=0,

'F=0。=一8

依题意,1+1+D+E+F=0解得,E=6

、16+4+40+2.E+F—0F=0

所以圆C的方程为/+y2—8x+6y—0;

(2)圆C的方程可化为Q-4)2+(y+3)2=25,

当切线斜率不存在时,切线方程为x=-1;

当切线斜率存在设为后时,设切线方程为y+2=k(x+l),即kx—y+k-1=0;

|4fc+3+fc-2|r

----------1——5解得k=苫

jH+i

此时切线方程为12%―5y+2=0

综上,所求切线方程为x=—1和12%-5y+2=0

(3)使三角形N8C面积最大,则圆心角为90。,

所以圆心。到直线的距离d=弊叨=遮*5,

V22

解得b=—2或一12,

即直线I的方程x-y-2=0,x-y-12=0

21.解:⑴•・•圆。:/+y2=2,直线/:y=kx—2.直线/与圆。相切,

二圆心0(0,0)到直线/的距离等于半径r=V2,

即d=2L=V2,

Vk2+1

解得k=±l.

(2)设圆心。到直线跖、G8的距离分别为由、d2,

则说+说=|0M|2=|,

所以|EF|=2一说=2J2-境,\GH\=2'-吗=212—说,

所以S=g|EF||GH|=2J(2—dj)(2—吗)W2-青+2—d|=4-g=|,

当且仅当2—dj=2—说即由=42=争寸,取“=”,

所以四边形EGF8的面积的最大值为|。

(3)k=^时,直线/的方程为:y^jx-2,

设P(a,1a-2),则以0P为直径的圆的方程为x(x-a)+y(y-1a+2)=0,

即d+'2一a%+卜—gajy=0,将其和圆。:x2+

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