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文档简介
2024成都中考数学第一轮专题复习之第六章第二节点、直线与圆的位置关系知识精练基础题1.(2022吉林省卷)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4.以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在⊙A内且点B在⊙A外时,r的值可能是()A.2B.3C.4D.5第1题图2.如图,AB为⊙O的切线,A为切点,点C在⊙O上,连接CO,并延长交AB于点B,交⊙O于点D.若∠C=29°,则∠B的度数为()第2题图A.21°B.29°C.30°D.32°3.(2023重庆A卷)如图,AC是⊙O的切线,B为切点,连接OA,OC.若∠A=30°,AB=2eq\r(3),BC=3,则OC长度是()A.3B.2eq\r(3)C.eq\r(13)D.6第3题图4.(北师九下P96第2题改编)如图,△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,且AD=2,△ABC的周长为14,则BC的长为()第4题图A.3B.4C.5D.65.(2023眉山)如图,AB切⊙O于点B,连接OA交⊙O于点C,BD∥OA交⊙O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为()A.25°B.35°C.40°D.45°第5题图6.(2023湘潭)如图,AC是⊙O的直径,CD为弦,过点A的切线与CD的延长线相交于点B.若AB=AC,则下列说法正确的是()第6题图A.AD⊥BCB.∠CAB=90°C.DB=ABD.AD=eq\f(1,2)BC7.(2023邵阳)如图,AD是⊙O的直径,AB是⊙O的弦,BC与⊙O相切于点B,连接OB,若∠ABC=65°,则∠BOD的大小为________.第7题图8.(2023舟山)如图,点A是⊙O外一点,AB,AC分别与⊙O相切于点B,C,点D在eq\o(BDC,\s\up8(︵))上.已知∠A=50°,则∠D的度数是________.第8题图9.(2023徐州)如图,在⊙O中,直径AB与弦CD交于点E,eq\o(AC,\s\up8(︵))=2eq\o(BD,\s\up8(︵)).连接AD,过点B的切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB=68°,则∠DEB=________°.第9题图10.(2023北京)如图,OA是⊙O的半径,BC是⊙O的弦,OA⊥BC于点D,AE是⊙O的切线,AE交OC的延长线于E,若∠AOC=45°,BC=2,则线段AE的长为________.第10题图11.(2023河南)如图,PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点B,点C在PA上,且CB=CA,若OA=5,PA=12,则CA的长为________.第11题图12.(2023聊城)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,∠ADC的平分线DE交AC于点E.以AD上的点O为圆心,OD为半径作⊙O,恰好过点E.(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若CD=12,tan∠ABC=eq\f(3,4),求⊙O的半径.第12题图拔高题13.(2023武汉)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC相切,切点为E.若eq\f(AB,CD)=eq\f(1,3),则sinC的值是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(\r(7),4)第13题图14.(2023广元)如图,∠ACB=45°,半径为2的⊙O与角的两边相切,点P是⊙O上任意一点,过点P向角的两边作垂线,垂足分别为E,F,设t=PE+eq\r(2)PF,则t的取值范围是________.第14题图15.如图,在△ABC中,AC=BC,以BC为直径的半圆O与边AB交于点D,过点D作半圆O的切线DE,交AC于点E,连接OE.(1)求证:DE⊥AC;(2)若S△OCE=12,tan∠ABC=eq\f(3,4),求半圆O的半径.第15题图参考答案与解析1.C【解析】在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=eq\r(AB2-BC2)=3,∵点C在⊙A内且点B在⊙A外,∴3<r<5.2.D【解析】如解图,连接OA.∵∠C=29°,∴∠AOB=2∠C=58°.∵AB为⊙O的切线,∴∠OAB=90°,∴∠B=90°-58°=32°.第2题解图3.C【解析】如解图,连接OB,∵AC是⊙O的切线,∴∠OBA=∠OBC=90°.在Rt△OAB中,∠A=30°,AB=2eq\r(3),tan30°=eq\f(OB,AB),∴OB=AB·tan30°=eq\f(\r(3),3)AB=2.在Rt△OBC中,OC=eq\r(OB2+BC2)=eq\r(4+9)=eq\r(13).第3题解图4.C【解析】∵⊙O与AB,BC,CA分别相切于点D,E,F,∴AF=AD=2,BD=BE,CE=CF.∵△ABC的周长为14,∴AD+AF+BE+BD+CE+CF=14,∴2(BE+CE)=10,∴BC=5.5.C【解析】如解图,连接OB,∵AB切⊙O于点B,∴∠ABO=90°.∵BD∥OA,∠OCD=25°,∴∠CDB=25°,∴∠BOC=2∠BDC=50°,∴∠A=40°.第5题解图6.ABD【解析】∵AC是⊙O的直径,∴AD⊥BC,故A选项正确;∵AB是⊙O的切线,∴AC⊥AB,∴∠CAB=90°,故B选项正确;∵AB=AC,∴△ABC是等腰直角三角形.∵AD⊥BC,∴CD=DB,∴AD=eq\f(1,2)BC,故D选项正确;∵△ADB是直角三角形,AB是斜边,∴AB>DB,故C选项错误.7.50°【解析】∵BC与⊙O相切于点B,∴OB⊥BC,∴∠OBC=90°.∵∠ABC=65°,∴∠OBA=∠OBC-∠ABC=25°.∵OB=OA,∴∠OAB=∠OBA=25°,∴∠BOD=2∠OAB=50°.8.65°【解析】如解图,连接CO,BO,∵AB,AC分别与⊙O相切于点B,C,∴∠ACO=∠ABO=90°.∵∠A=50°,∴∠COB=360°-90°-90°-50°=130°,∴∠D=eq\f(1,2)∠BOC=65°.第7题解图9.66【解析】∵BF为⊙O的切线,AB为⊙O的直径,∴∠ABF=90°.∵∠AFB=68°,∴∠BAF=22°.∵=2,∴∠ADC=2∠BAF=44°.∵∠DEB为△AED的外角,∴∠DEB=∠ADC+∠BAF=66°.10.eq\r(2)【解析】∵OA是⊙O的半径,OA⊥BC,BC=2,∴CD=eq\f(1,2)BC=1.∵∠AOC=45°,∴∠OCD=90°-∠AOC=45°,∴OD=CD=1,CO=eq\r(OD2+CD2)=eq\r(2),∴OA=eq\r(2).∵AE是⊙O的切线,∴∠OAE=90°,∴∠E=90°-∠AOC=45°,∴AE=OA=eq\r(2).11.eq\f(10,3)【解析】如解图,连接OC,∵PA与⊙O相切于点A,∴∠OAP=90°.∵OA=OB,OC=OC,CA=CB,∴△OAC≌△OBC(SSS),∴∠OAP=∠OBC=90°.在Rt△OAP中,OA=5,PA=12,∴OP=eq\r(OA2+AP2)=eq\r(52+122)=13.∵S△OAC+S△OCP=S△OAP,∴eq\f(1,2)OA·AC+eq\f(1,2)OP·BC=eq\f(1,2)OA·AP,∴OA·AC+OP·BC=OA·AP,∴5AC+13BC=5×12,∴AC=BC=eq\f(10,3).第11题解图12.(1)证明:如解图,连接OE,由题意可知,OD=OE,∴∠OED=∠ODE.∵DE平分∠ADC,∴∠CDE=∠ODE,∴∠OED=∠CDE,∴OE∥CD.∵∠ACB=90°,∴∠AEO=90°,即OE⊥AC.∵OE为⊙O的半径,∴AC是⊙O的切线;(2)解:如解图,过点D作DF⊥AB于点F,∵AD平分∠BAC,DF⊥AB,∠ACB=90°,∴CD=DF.∵CD=12,tan∠ABC=eq\f(3,4),∴BF=eq\f(DF,tan∠ABC)=16,∴BD=eq\r(DF2+BF2)=20,∴BC=CD+BD=32,∴AC=BC·tan∠ABC=24,∴AD=eq\r(AC2+CD2)=12eq\r(5).∵OE∥CD,∴△AEO∽△ACD,∴eq\f(EO,CD)=eq\f(AO,AD),即eq\f(EO,12)=eq\f(12\r(5)-OD,12\r(5))=eq\f(12\r(5)-EO,12\r(5)),解得EO=15-3eq\r(5),∴⊙O的半径为15-3eq\r(5).第12题解图13.B【解析】如解图,连接DE,过点B作BF⊥CD于点F,∵AB∥CD,AD⊥AB,∴∠BAD=∠ADF=∠DFB=90°,∴四边形ADFB是矩形,∴BF=AD.∵BC与⊙D相切,∴AB=BE,DE=AD,∴BF=DE.在△CDE和△CBF中,eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DEC=∠BFC,∠DCE=∠BCF,DE=BF)),∴△CDE≌△CBF(AAS),∴BC=CD.设AB=x,则BE=x,∵eq\f(AB,CD)=eq\f(1,3),∴CD=BC=3x,∴CE=2x,∴DE=eq\r(CD2-CE2)=eq\r(5)x,∴sinC=eq\f(DE,CD)=eq\f(\r(5)x,3x)=eq\f(\r(5),3).第13题解图14.2eq\r(2)≤t≤2eq\r(2)+4【解析】如解图①,设⊙O与∠ACB两边的切点分别为D,G,连接OD,OG,延长DO交CB于点H,则∠OGC=∠ODC=∠OGH=90°.∵∠ACB=45°,∴∠OHC=45°,∴OH=eq\r(2)OG=2eq\r(2),∴CD=DH=2eq\r(2)+2;如解图②,延长EP交CB于点Q,连接OP,过点D作OD⊥AC于点D,同理PQ=eq\r(2)PF,∵t=PE+eq\r(2)PF,∴t=PE+PQ=EQ.当EQ与⊙O相切时,EQ有最大或最小值,∵D,P都是切点,∴∠ODE=∠DEP=∠OPE=90°,∴四边形ODEP是矩形.∵OD=OP,∴四边形ODEP是正方形,∴t的最大值为EQ=CE=CD+DE=2eq\r(2)+4;如解图③,同理,t的最小值为EQ=CE=CD-DE=2eq\r(2).综上,t的取值范围是2eq\r(2)≤t≤2eq\r(2)+4.图①图②图③第14题解图15.(1)证明:如解图①,连接OD,∵DE是半圆O的切线,∴∠ODE=90°.∵OB=OD,∴∠OBD=∠ODB.∵AC=BC,∴∠OBD=∠A,∴∠A=∠ODB,∴OD∥AC,∴∠ODE+∠DEC=180°,∴∠DEC=90°,即DE⊥AC;第15题解图①(2)解:如解图②,连接CD,OD,∵BC为半圆O的直径,∴∠BDC=∠CDA=90°,∴∠CDE+∠ADE=90°.由(1)可知,DE⊥AC,OD∥AC,∴∠ADE+∠A=90°,∴∠A=∠CDE.∵AC=BC,∴∠A=∠ABC,∴∠CDE=∠ABC,∴tan∠ABC=tan∠CDE=eq\f(EC,DE)=eq\
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