2024成都中考数学第一轮专题复习之第六章 第二节 点、直线与圆的位置关系 知识精练(含答案)

2024成都中考数学第一轮专题复习之第六章第二节点、直线与圆的位置关系知识精练基础题1.(2022吉林省卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4.以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是()A.2B.3C.4D.5第1题图2.如图，AB为⊙O的切线，A为切点，点C在⊙O上，连接CO，并延长交AB于点B，交⊙O于点D.若∠C＝29°，则∠B的度数为()第2题图A.21°B.29°C.30°D.32°3.(2023重庆A卷)如图，AC是⊙O的切线，B为切点，连接OA，OC.若∠A＝30°，AB＝2eq\r(3)，BC＝3，则OC长度是()A.3B.2eq\r(3)C.eq\r(13)D.6第3题图4.(北师九下P96第2题改编)如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为()第4题图A.3B.4C.5D.65.(2023眉山)如图，AB切⊙O于点B，连接OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O于点D，连接CD，若∠OCD＝25°，则∠A的度数为()A.25°B.35°C.40°D.45°第5题图6.(2023湘潭)如图，AC是⊙O的直径，CD为弦，过点A的切线与CD的延长线相交于点B.若AB＝AC，则下列说法正确的是()第6题图A.AD⊥BCB.∠CAB＝90°C.DB＝ABD.AD＝eq\f(1,2)BC7.(2023邵阳)如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OB，若∠ABC＝65°，则∠BOD的大小为________．第7题图8.(2023舟山)如图，点A是⊙O外一点，AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，点D在eq\o(BDC,\s\up8(︵))上．已知∠A＝50°，则∠D的度数是________．第8题图9.(2023徐州)如图，在⊙O中，直径AB与弦CD交于点E，eq\o(AC,\s\up8(︵))＝2eq\o(BD,\s\up8(︵)).连接AD，过点B的切线与AD的延长线交于点F.若∠AFB＝68°，则∠DEB＝________°.第9题图10.(2023北京)如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于E，若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为________．第10题图11.(2023河南)如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA上，且CB＝CA，若OA＝5，PA＝12，则CA的长为________．第11题图12.(2023聊城)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，∠ADC的平分线DE交AC于点E.以AD上的点O为圆心，OD为半径作⊙O，恰好过点E.(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)若CD＝12，tan∠ABC＝eq\f(3,4)，求⊙O的半径．第12题图拔高题13.(2023武汉)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC相切，切点为E.若eq\f(AB,CD)＝eq\f(1,3)，则sinC的值是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(\r(7),4)第13题图14.(2023广元)如图，∠ACB＝45°，半径为2的⊙O与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设t＝PE＋eq\r(2)PF，则t的取值范围是________．第14题图15.如图，在△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的半圆O与边AB交于点D，过点D作半圆O的切线DE，交AC于点E，连接OE.(1)求证：DE⊥AC；(2)若S△OCE＝12，tan∠ABC＝eq\f(3,4)，求半圆O的半径．第15题图参考答案与解析1.C【解析】在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝eq\r(AB2－BC2)＝3，∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，∴3＜r＜5.2.D【解析】如解图，连接OA.∵∠C＝29°，∴∠AOB＝2∠C＝58°.∵AB为⊙O的切线，∴∠OAB＝90°，∴∠B＝90°－58°＝32°.第2题解图3.C【解析】如解图，连接OB，∵AC是⊙O的切线，∴∠OBA＝∠OBC＝90°.在Rt△OAB中，∠A＝30°，AB＝2eq\r(3)，tan30°＝eq\f(OB,AB)，∴OB＝AB·tan30°＝eq\f(\r(3),3)AB＝2.在Rt△OBC中，OC＝eq\r(OB2＋BC2)＝eq\r(4＋9)＝eq\r(13).第3题解图4.C【解析】∵⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF.∵△ABC的周长为14，∴AD＋AF＋BE＋BD＋CE＋CF＝14，∴2(BE＋CE)＝10，∴BC＝5.5.C【解析】如解图，连接OB，∵AB切⊙O于点B，∴∠ABO＝90°.∵BD∥OA,∠OCD＝25°，∴∠CDB＝25°，∴∠BOC＝2∠BDC＝50°，∴∠A＝40°.第5题解图6.ABD【解析】∵AC是⊙O的直径，∴AD⊥BC，故A选项正确；∵AB是⊙O的切线，∴AC⊥AB，∴∠CAB＝90°，故B选项正确；∵AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形．∵AD⊥BC，∴CD＝DB，∴AD＝eq\f(1,2)BC，故D选项正确；∵△ADB是直角三角形，AB是斜边，∴AB＞DB，故C选项错误．7.50°【解析】∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC＝90°.∵∠ABC＝65°，∴∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝25°.∵OB＝OA，∴∠OAB＝∠OBA＝25°，∴∠BOD＝2∠OAB＝50°.8.65°【解析】如解图，连接CO，BO，∵AB，AC分别与⊙O相切于点B，C，∴∠ACO＝∠ABO＝90°.∵∠A＝50°，∴∠COB＝360°－90°－90°－50°＝130°，∴∠D＝eq\f(1,2)∠BOC＝65°.第7题解图9.66【解析】∵BF为⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴∠ABF＝90°.∵∠AFB＝68°，∴∠BAF＝22°.∵＝2，∴∠ADC＝2∠BAF＝44°.∵∠DEB为△AED的外角，∴∠DEB＝∠ADC＋∠BAF＝66°.10.eq\r(2)【解析】∵OA是⊙O的半径，OA⊥BC，BC＝2，∴CD＝eq\f(1,2)BC＝1.∵∠AOC＝45°，∴∠OCD＝90°－∠AOC＝45°，∴OD＝CD＝1，CO＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(2)，∴OA＝eq\r(2).∵AE是⊙O的切线，∴∠OAE＝90°，∴∠E＝90°－∠AOC＝45°，∴AE＝OA＝eq\r(2).11.eq\f(10,3)【解析】如解图，连接OC，∵PA与⊙O相切于点A，∴∠OAP＝90°.∵OA＝OB，OC＝OC，CA＝CB，∴△OAC≌△OBC(SSS)，∴∠OAP＝∠OBC＝90°.在Rt△OAP中，OA＝5，PA＝12，∴OP＝eq\r(OA2＋AP2)＝eq\r(52＋122)＝13.∵S△OAC＋S△OCP＝S△OAP，∴eq\f(1,2)OA·AC＋eq\f(1,2)OP·BC＝eq\f(1,2)OA·AP，∴OA·AC＋OP·BC＝OA·AP，∴5AC＋13BC＝5×12，∴AC＝BC＝eq\f(10,3).第11题解图12.(1)证明：如解图，连接OE，由题意可知，OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE.∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ODE，∴∠OED＝∠CDE，∴OE∥CD.∵∠ACB＝90°，∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC.∵OE为⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；(2)解：如解图，过点D作DF⊥AB于点F,∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，∠ACB＝90°，∴CD＝DF.∵CD＝12，tan∠ABC＝eq\f(3,4)，∴BF＝eq\f(DF,tan∠ABC)＝16，∴BD＝eq\r(DF2＋BF2)＝20，∴BC＝CD＋BD＝32，∴AC＝BC·tan∠ABC＝24，∴AD＝eq\r(AC2＋CD2)＝12eq\r(5).∵OE∥CD，∴△AEO∽△ACD，∴eq\f(EO,CD)＝eq\f(AO,AD)，即eq\f(EO,12)＝eq\f(12\r(5)－OD,12\r(5))＝eq\f(12\r(5)－EO,12\r(5))，解得EO＝15－3eq\r(5)，∴⊙O的半径为15－3eq\r(5).第12题解图13.B【解析】如解图，连接DE，过点B作BF⊥CD于点F，∵AB∥CD，AD⊥AB，∴∠BAD＝∠ADF＝∠DFB＝90°，∴四边形ADFB是矩形，∴BF＝AD.∵BC与⊙D相切，∴AB＝BE，DE＝AD，∴BF＝DE.在△CDE和△CBF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DEC＝∠BFC,∠DCE＝∠BCF,DE＝BF))，∴△CDE≌△CBF(AAS)，∴BC＝CD.设AB＝x，则BE＝x，∵eq\f(AB,CD)＝eq\f(1,3)，∴CD＝BC＝3x，∴CE＝2x，∴DE＝eq\r(CD2－CE2)＝eq\r(5)x，∴sinC＝eq\f(DE,CD)＝eq\f(\r(5)x,3x)＝eq\f(\r(5),3).第13题解图14.2eq\r(2)≤t≤2eq\r(2)＋4【解析】如解图①，设⊙O与∠ACB两边的切点分别为D，G，连接OD，OG，延长DO交CB于点H，则∠OGC＝∠ODC＝∠OGH＝90°.∵∠ACB＝45°，∴∠OHC＝45°，∴OH＝eq\r(2)OG＝2eq\r(2)，∴CD＝DH＝2eq\r(2)＋2；如解图②，延长EP交CB于点Q，连接OP，过点D作OD⊥AC于点D，同理PQ＝eq\r(2)PF，∵t＝PE＋eq\r(2)PF，∴t＝PE＋PQ＝EQ.当EQ与⊙O相切时，EQ有最大或最小值，∵D，P都是切点，∴∠ODE＝∠DEP＝∠OPE＝90°，∴四边形ODEP是矩形．∵OD＝OP，∴四边形ODEP是正方形，∴t的最大值为EQ＝CE＝CD＋DE＝2eq\r(2)＋4；如解图③，同理，t的最小值为EQ＝CE＝CD－DE＝2eq\r(2).综上，t的取值范围是2eq\r(2)≤t≤2eq\r(2)＋4.图①图②图③第14题解图15.(1)证明：如解图①，连接OD，∵DE是半圆O的切线，∴∠ODE＝90°.∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB.∵AC＝BC，∴∠OBD＝∠A，∴∠A＝∠ODB，∴OD∥AC，∴∠ODE＋∠DEC＝180°，∴∠DEC＝90°，即DE⊥AC；第15题解图①(2)解：如解图②，连接CD，OD，∵BC为半圆O的直径，∴∠BDC＝∠CDA＝90°，∴∠CDE＋∠ADE＝90°.由(1)可知，DE⊥AC，OD∥AC，∴∠ADE＋∠A＝90°，∴∠A＝∠CDE.∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC，∴∠CDE＝∠ABC，∴tan∠ABC＝tan∠CDE＝eq\f(EC,DE)＝eq\