2024贵州中考数学二轮复习专题 题型六 函数的实际应用专项训练 （含答案）

2024贵州中考数学二轮复习专题题型六函数的实际应用专项训练类型一行程问题(黔西南州2023.24)典例精讲例1(2023龙东地区)已知A、B两地相距240km，一辆货车从A地前往B地，途中因装载货物停留一段时间．一辆轿车沿同一条公路从B地前往A地，到达A地后(在A地停留时间不计)立即原路原速返回．如图是两车距B地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象，结合图象回答下列问题：例1题图(1)图中m的值是______；轿车的速度是______km/h；【分层分析】由题意知，轿车从B地前往A地的行驶时间与其从A地返回B地的行驶时间相同，结合函数图象即可求得m的值；通过“速度＝路程÷时间”可求出轿车的速度；(2)求货车从A地前往B地的过程中，货车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式；【分层分析】要求货车从A地前往B地的y关于x的函数关系式，分三段利用待定系数法求出MN、NG、GH的函数解析式即可；(3)直接写出轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发多长时间与货车相距12km?【分层分析】结合图象求得货车的速度，根据货车、轿车距B地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的解析式，由解析式之间的关系建立方程求解即可．针对演练1.(2023兰州)小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车也从景区入口处出发，沿相同路线先后到达观景点．如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y(m)与时间x(min)之间的关系．根据图象解决下列问题：第1题图(1)观光车出发________分钟追上小军；(2)求l2所在直线对应的函数表达式；(3)观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．类型二分段计费问题典例精讲例2(万唯原创)为响应国家深化具有中国特色体教融合发展的要求，某中学积极行动，并决定购买一批体育用品．在购买足球时，由于足球价格稍贵，该校与一运动器械专卖店议价，最终优惠如下：①每个足球的原价为90元，若②一次性购买不超过10个，则按原价销售；若③一次性购买超过10个，前10个按原价销售，超过的部分打8折．(1)设该中学购买足球x个，所需费用为y元，请写出y关于x的函数关系式；【分层分析】由①②可知当0＜x≤10时，y＝________，由①③可知当x＞10时，y＝____________；(2)若该中学计划购买足球的费用不超过1200元，则最多能购买几个足球？【分层分析】由①②可知购买10个足球花费为______，以此判断购买足球的数量是否超过10个，若超过了则把1200代入y＝______________中求解即可；(3)若购买了20个足球，则平均每个足球的售价为多少元？【分层分析】结合③求得购买20个足球的总花费，利用“单价＝总价÷个数”即可求得平均售价．针对演练2.某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费．如图是居民每户每月的水(自来水)费y(元)与所用的水(自来水)量x(吨)之间的函数图象．根据图象提供的信息，解答下列问题：第2题图(1)当17≤x≤30时，求y与x之间的函数关系式；已知某户居民上月水费为91元，求这户居民上月的用水量；(3)当一户居民在某月用水为15吨时，求这户居民这个月的水费．类型三方案问题(黔西南州3考，黔东南州2考)典例精讲例3为推进生态文明建设，大力发展旅游业，某生态公园计划在园区内造一片银杏林，某树苗培育基地推出A、B两种不同品种的银杏树苗，在银杏树苗成活率、价格完全相同的前提下，推出以下优惠方案：A品种：购买树苗超过一定数量后，超过部分按原价的75%付款；B品种：每棵树苗均按原价的85%付款．该生态公园计划在该树苗培育基地购买A、B两种银杏苗中的一种．设该生态公园计划购买银杏苗x棵，则购买A种树苗应付总费用为yA元，购买B种树苗应付总费用为yB元，其图象如图所示：例3题图(1)求yA，yB与x之间的函数关系式；【分层分析】要求yA，yB与x之间的函数关系式，根据题意可知，当购买A品种树苗超过200棵后，超过部分按原价的75%付款，当0＜x≤200时，yA＝______，可知购买一棵银杏树苗的单价为25元/棵，当x＞200时，超过部分按原价的75%付款，即yA＝______；购买每棵B品种树苗均按原价的85%付款，即yB＝____________；(2)当购买多少棵树苗时，两品种所需付的费用相同，费用是多少元？【分层分析】要求购买多少棵树苗时，两品种所付费用相同，即就是令yA＝yB，求解x的值和此时y的值即可；(3)该生态公园应如何选择A、B两种银杏树苗使得所需费用最少．【分层分析】根据图象可知，当0＜x≤200时，yA＞yB，故只需要讨论当x＞200时，yA与yB的大小关系即可．针对演练3.(万唯原创)一方有难，八方支援．因受水灾影响，A城决定向B、C两乡运送救援物资，A城向两乡运送救援物资各100吨，由于物资仍旧短缺，后又向两乡运送物资共300吨，从A城往B、C两乡运救援物资的费用分别为25元/吨和20元/吨．(1)若运往C乡的两批救援物资共比B乡的多100吨，则运往B、C两乡的救援物资各多少吨？(2)设第二批从A城运往B乡救援物资x吨，总运费为y元，求出最少总运费；(3)由于运送第二批物资时更换车型，使A城运往B乡的运费每吨减少a(0＜a＜6)元，这时怎样调运才能使运送两批物资的总运费最少？类型四最值问题(黔西南州2考，黔东南州2考，贵阳2023.22)典例精讲例4(2023荆门)某公司电商平台，在2023年五一长假期间，举行了商品打折促销活动，经市场调查发现，某种商品的周销售量y(件)是关于售价x(元/件)的一次函数，下表仅列出了该商品的售价x，周销售量y，周销售利润W(元)的三组对应值数据．x407090y1809030W360045002100(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；【分层分析】要求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)，设y＝kx＋b，将点(40，180)和(70，90)代入函数表达式中，求解即可；(2)若该商品进价a(元/件)，售价x为多少时，周销售利润W最大？并求出此时的最大利润；【分层分析】利用利润＝(售价－进价)×数量，列出W关于x的函数关系式，将点(40，3600)代入函数解析式中，得到函数解析式，利用函数性质即可求出周销售利润的最大值及此时的售价；(3)因疫情期间，该商品进价提高了m(元/件)(m>0)，公司为回馈消费者，规定该商品售价x不得超过55(元/件)，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足(1)中的函数关系，若周销售最大利润是4050元，求m的值．【分层分析】利用利润＝(售价－进价)×数量，列出W关于x的函数关系式，利用函数性质及当周利润为4050时即可求出m的值．针对演练4.(2023锦州)某公司计划购进一批原料加工销售，已知该原料的进价为6.2万元/吨，加工过程中原料的重量有20%的损耗，加工费m(万元)与原料的重量x(吨)之间的关系为m＝50＋0.2x.销售价y(万元/吨)与原料的重量x(吨)之间的关系如图所示：(1)求y与x之间的函数关系式；(2)设销售收入为P(万元)，求P与x之间的函数关系式；(3)原料的重量x为多少吨时，所获销售利润最大，最大销售利润是多少万元？(销售利润＝销售收入－总支出)第4题图类型五抛物线型(贵阳2023.24)典例精讲例5(万唯原创)同学们在操场玩跳大绳游戏，跳大绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米，距甲同学的水平距离为3米，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋0.9.例5题图(1)求该抛物线的解析式；【分层分析】根据题意可知，AO＝BD＝0.9，点B的坐标为(6，0.9)，点C的坐标为(3，1.8)，利用待定系数法即可求解；(2)如果身高为1.4米的嘉嘉站在OD之间，设嘉嘉站在距点O的水平距离为a米处，求当绳子甩到最高处时，若要使绳子不能碰到嘉嘉的头，a的取值范围；【分层分析】当绳子甩到最高处时，要使绳子不能碰到嘉嘉的头，即y>1.4，要求y>1.4时a的取值范围，即将y＝1.4代入(1)中的函数解析式中，求出x的值，利用二次函数的性质即可确定a的取值范围；(3)如果参与跳大绳的同学有12人，两人负责甩绳子，剩下的同学想要一起跳绳，当绳子甩到最高点且超过他们头顶时，问剩下的同学是否可以在OD之间一起玩跳大绳．(12个同学身高与嘉嘉相同，且每个同学同方向站立时的脚跟之间距离不小于0.5米就可以一起玩)【分层分析】要判断剩下的同学是否可以在OD之间一起玩跳大绳，由(2)可知，当y＝1.4时，x的值为1或5，得到可以站立跳绳的距离，由每个同学同方向站立时的脚跟之间距离不小于0.5米就可以一起玩，∴计算出可以站立跳绳的距离之间能够站立的学生人数，将其与10进行大小比较即可求解．针对演练5.(万唯原创)在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水管的高度为eq\f(9,4)m．水柱的高度y(单位：m)与水柱落地处离池中心的距离x(单位：m)的图象如图所示．(1)求抛物线形水柱的解析式及自变量的取值范围；(2)求水柱落地处离池中心的最大距离；(3)为了增加喷泉数量，设计人员计划将水柱落地处离水管的距离缩短0.5m，但抛物线形水柱的最高处的位置不变，则水管高度应该设计为多少？第5题图参考答案典例精讲例1解：(1)5；120；【解法提示】由图象得，m＝1＋(3－1)×2＝5；轿车的速度为：240÷2＝120(km/h)．(2)①设yMN＝k1x＋b1(k1≠0)(0≤x＜2.5)，∵图象经过点M(0，240)和点N(2.5，75)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝240,2.5k1＋b1＝75))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k1＝－66,b1＝240))，∴yMN＝－66x＋240(0≤x＜2.5)；②由图象知，yNG＝75(2.5≤x＜3.5)；③设yGH＝k2x＋b2(k2≠0)(3.5≤x≤5)，∵图象经过点G(3.5，75)和点H(5，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3.5k2＋b2＝75,5k2＋b2＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(k2＝－50,b2＝250)))，∴yGH＝－50x＋250(3.5≤m≤5)，∴y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－66x＋240（0≤x＜2.5）,75（2.5≤x＜3.5）,－50x＋250（3.5≤x≤5）))；(3)设轿车出发a小时与货车相距12km，货车从A地前往B地在图象MN段的速度为：(240－75)÷2.5＝66(km/h)，根据题意，得66(1＋a)＋120a＝240＋12或66(1＋a)＋120a＝240－12，解得a＝1或a＝eq\f(27,31)，答：轿车从B地到A地行驶过程中，轿车出发1小时或eq\f(27,31)小时与货车相距12km.针对演练1.解：(1)6；(2)设l2的关系式为y＝kx＋b(k≠0)，把(15，0)和(21，1800)代入y＝kx＋b得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(15k＋b＝0,21k＋b＝1800))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝300,b＝－4500))，∴l2所在直线对应的函数表达式为y＝300x－4500(15≤x≤25)；【自变量范围不作要求】(3)8分钟；理由如下：在直线l2上，当y＝3000时，x＝25.∴33－25＝8(min)，即观光车比小军早8min到达观景点．典例精讲例2(1)【分层分析】90x，72x＋180；(2)【分层分析】900，72x＋180.解：(1)由题意知，当一次性购买足球不超过10个时，y＝90x，当一次性购买足球超过10个时，y＝90×10＋90×0.8×(x－10)＝72x＋180，∴y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(90x（0<x≤10）,72x＋180（x>10）))；(2)当x＝10时，y＝90×10＝900，1200－900＝300＞90，∴购买的数量超过10个，∴72x＋180≤1200，解得x≤eq\f(85,6)，∵x为正整数，∴最多能购买14个足球；(3)∵20＞10，∴y＝72×20＋180＝1620，则平均售价为1620÷20＝81元，答：平均每个足球售价为81元．针对演练2.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(116＝30k＋b,66＝20k＋b))，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝5,b＝－34))，y与x之间的函数关系式为y＝5x－34(17≤x≤30)；(2)当x＝17时，y＝51，∵y＝91＞51，∴x>17，∴91＝5x－34，x＝25，答：这户居民上月用水量为25吨；(3)当x＝17吨时，y＝5×17－34＝51(元)，∴当0≤x＜17时，y与x之间的函数关系式为y＝3x，当x＝15时，y＝45，答：这户居民这个月的水费为45元．典例精讲例3(1)【分层分析】25x，eq\f(75,4)x＋1250；eq\f(85,4)x；解：(1)根据题图可得，5000÷200＝25(元)，∴一棵银杏树苗原价为25元，∴yA＝25x(0<x≤200)，当x>200时，yA＝25×200＋(x－200)×25×0.75＝1250＋eq\f(75,4)x，∴yA＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(25x（0<x≤200）,1250＋\f(75,4)x（x>200）))，yB＝25×0.85x＝eq\f(85,4)x；(2)令1250＋eq\f(75,4)x＝eq\f(85,4)x，解得x＝500，此时y＝eq\f(85,4)×500＝10625(元)，答：当购买500棵树苗时，两品种所需付的费用相同，是10625元；(3)观察图象可知，当购买的树苗数量在0＜x＜500棵时，yA＞yB，∴选择B品种的树苗更划算；当购买500棵树苗时，选择A、B两种银杏树苗所需的费用相同；当购买的树苗数量在x＞500棵时，yA＜yB，∴选择A品种的树苗更划算．针对演练3.解：(1)设第二批运往B乡救援物资m吨，运往C乡救援物资n吨，根据题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(200＋m＋n＝500,n－m＝100))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝100,n＝200))，∴运往B乡的救援物资共100＋100＝200(吨)，运往C乡的救援物资共100＋200＝300(吨)，答：运往B、C两乡的救援物资分别为200吨和300吨；(2)∵第二批从A城运往B乡救援物资x吨，则第二批从A城运往C乡救援物资(300－x)吨，若总运费为y元，根据题意，得y＝25×100＋25x＋20×100＋20×(300－x)＝5x＋10500，∵y＝5x＋10500是一次函数，k＝5＞0，∴y随x的增大而增大．∵x≥0，∴当x＝0时，运费最少，最少运费是10500元；(3)由题意知y＝25×100＋(25－a)x＋20×100＋20(300－x)＝(5－a)x＋10500，当0＜a＜5时，5－a＞0，∴当x＝0时，总运费最少，为10500元；当a＝5时，总运费恒为10500元；当5＜a＜6时，5－a＜0，∴当x最大时，运费最少．即当x＝300时，运费最少．∴当0＜a＜5时，第二批救援物资全部运往C乡，运费最少；当a＝5时，不管第二批救援物资运往B乡多少吨，运费都是10500元．当5＜a＜6时，第二批救援物资全部运往B乡，运费最少．典例精讲例4解：(1)设y＝kx＋b，由题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(40k＋b＝180,70k＋b＝90))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3,b＝300))，∴y关于x的函数解析式为y＝－3x＋300；(2)由(1)得W＝(－3x＋300)(x－a)，又由表知，当x＝40时，W＝3600，将(40，3600)代入上式可得3600＝(－3×40＋300)(40－a)，∴a＝20，∴W＝(－3x＋300)(x－20)＝－3x2＋360x－6000＝－3(x－60)2＋4800，∴售价为60元时，周销售利润W最大，最大利润为4800元；(3)由题意得W＝(－3x＋300)(x－20－m)＝－3x2＋(360＋3m)x－6000－300m(x≤55)，其对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)＝60＋eq\f(m,2)＞60，∴0＜x≤55时，W的值随x增大而增大，∴x＝55时周销售利润最大，∴4050＝(－3×55＋300)(55－20－m)，∴m＝5.针对演练4.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，将(20，15)，(30，12.5)的坐标代入函数关系式，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(20k＋b＝15,30k＋b＝12.5))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,4),b＝20))，∴y＝－eq\f(1,4)x＋20；(2)P＝(1－20%)x·(－eq\f(1,4)x＋20)＝－0.2x2＋16x.整理，得P＝－0.2x2＋16x；(3)设利润为W万元．则W＝－0.2x2＋16x－(50＋0.2x)－6.2x，整理，得W＝－0.2x2＋9.6x－50，配方，得W＝－0.2(x－24)2＋65.2.∴当x＝24时，W最大＝65.2.答：原料的重量为24吨时，所获利润最大，最大利润是65.2万元．典例精讲例5解：(1)甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，则点B的横坐标为6，到地面的距离AO和BD均为0.9米，则点B的纵坐标为0.9，∴B(6，0.9)，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米，距甲同学