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文档简介

不等式教学设计

一、考试大纲说明及变化

(一)高考要求:

1、不等式关系:

了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景

2、一元二次不等式:

(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型

(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

⑶会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图。

3、二元一次不等式组与简单线性规划问题

⑴会从实际情境中抽象出二元一次不等式组

(2)了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组。

⑶会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决。

4、基本不等式

⑴了解基本不等式的证明过程

(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

从考纲要求来看,对不等式的要求主要是了解层次;

二、不等式近五年高考考试分析

高考命题实况(2012_2016年)

20122013201420152016

不等式的性质全国n理8全国山理5

全国I理8

不等式的解法全国I理1全国I理1全国H理1全国I理5

全国II理1全国n理1全国II理14全国H理2

全国HI理1

基本不等式及应用全国I理16

全国n理21

与一元二次不等式有关的全国II理12

参数问题

简单的线性规划全国11理9全国I理9全国I【理14全国川理13

非线性目标函数的最值问全国I理15

约束条件含参数的线性规

划问题

线性规划的实际应用全国I理16

不等式的证明全国n理21全国I理21

全国n理17

不等式的恒成立问题全国理21全国I理21全国H理21

从内容上看,主要考查一元二次不等式的解法及利用基本不等式求最值,利用线性规划知识

求目标函数的最值或参数的值,从题型上看,选择题,填空题,解答题均有;从能力上看,

主要考查学生的运算求解能力及灵活运用所学知识分析、解决问题的能力;

三、命题预测

今年是湖北省实行全国卷考试的第一年,2017年是全国卷考试的第二年,命题更成熟、

稳定。本章节是高考必考内容,主要考查不等式的基本知识、基本技能,不等式的性质、解一元

二次不等式、线性规划、基本不等式也是考查的重点。1.以考试大纲为依据,以教材为指导,

参照全国卷题型,突出对基本知识的考查。2.体现不等式的工具性,常与其他的知识相结合,

突出知识交汇(如与数列、解析几何等知识交汇考查不等式的证明)的考查。3.重视实际应用问

题中基本不等式的应用.4.传统与创新并重,高考创新题设计也常与不等式相结合。

在复习中重视基础,回归教材;落实方法,适度创新;注重交汇,凸显能力。预测2014

年不等式的命题与其他知识结合考查,不会出现太大变化。

四、知识体系

-*基本性质

一不等关系与不等式一-►比较大小2课时

T■求他周

一一元二次不等式及其解法-不等式的实际应用2课时

一基本不等式一最大(小)值问题2课时

二元一次不等式

一二元一次不等式(组)(组)与平面IK域

一与简单的线性规划问题2课时

-简的的线性规划问题

五、教学建议

不等式是知识和应用的结合体,在复习中既要照顾到其基础性、也要照顾到其应用性,具体

在教学中要注意如下几点:

⑴在各讲的复习中首先要注意基础性,这是第一位的复习目标.在基础性复习的探究点上要

发挥教师的引导作用,引导学生独立思考完成这些探究点,教师给予适度的指导和点评.

(2)要重视实际应用问题的分析过程、建模过程.在这些探究点上教师的主要任务就是指导学

生如何通过设置变量把实际问题翻译成数学问题,重视解题的过程.

⑶不等式在高考数学各个部分的应用,要循序渐进地解决,在本单元中涉及不等式的综合运

用时,选题要尽量的很基础,在这样的探究点上不要试图一步到位,不等式的综合运用是整

个一轮复习的系统任务.

六、微专题《基本不等式》

E

A

教、

1、教材分析

基本不等式是必修5的重点内容,在课本封面上就体现出来了。它是在学完“不等式的

性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究。在不等式的证明

和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。而在第一轮复习中体现了在知识

为主线下的能力考查,对在知识的交汇处的应用也提出了一定的要求,同时在情景的设置和

数学文化背景上也表现为不断创新。因而需要对学生加以引导,让学生温故而知新,在已有

的基础上有一定的提升。

2、学情分析

数列是学生在高一上学期学习的内容,时间间隔较长,一些基本性质及基本方法感到生

疏,对知识的掌握也表现为比较零碎,对方法的掌握缺乏灵活性,当时上新课的时候讲的也

比较简单,没有形成系统的知识网络.而在第一轮复习中体现了在知识为主线下的能力考查,

对在知识的交汇处的应用也提出了一定的要求,同时在情景的设置和数学文化背景上也表现

为不断创新。因而需要对学生加以引导,让学生温故而知新,在已有的基础上有一定的提升。

3、教学目标

(1)知识与技能

了解基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

(2)过程与方法

从高考题出发,大多数例题、变式学生都可以独立完成,在基础性复习的探究点上,引导

学生独立思考完成这些探究点,教师给予适度的指导和点评.

(3)情感、态度与价值观

培养学生应用数学的实践精神,段落学生的运算能力、逻辑思维能力及实事求是的分析

4、教学重难点

⑴在应用基本不等式求最值时,要把握三个方面,即“一正一一各项都是正数;二定一一和

或积为定值;三相等一一等号能取得”,这三个方面缺一不可.

⑵为了创造条件使用基本不等式,就需要对式子进行恒等变形,运用基本不等式求最值的焦

点在于凑配''和"与“积”,并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件,另外,可利用二

次函数的配方法求最值.

5、教学方法

教学方法:启发诱导式、类比迁移、变式提升。

学习方法:自主探究复习、合作交流、归纳总结。

教学手段:多媒体辅助教学

6、教学过程

(一)知识点梳理。

⑴基本不等式:华丽

①基本不等式成立的条件:.

②等号成立的条件:当且仅当_______时取等号.

③其中誓称为正数a,b的算术平均数,标称为正数a,b的.

基本不等式可叙述为:两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.

⑵基本不等式的变形

@a2+b2^2ab(a,beR).当且仅当°=6时取等号.

②〈(生心](a,beR),当且仅当a=b时取等号.

I2)2

③”+拉2(“>0),当且仅当。=1时取等号;

(a<0),当且仅当a=-1时取等号.

④《+彳>23,方同号),当且仅当时取等号.

(3)利用基本不等式求最值

己知x>0,y>0,则

①如果积犯(积为定值)是定值p,那么当且仅当______时,x+y有最____值是25.(简记:

积定和最小)

②如果和x+y(和为定值)是定值s,那么当且仅当______时,积D有最—值是?.(简记:和

定积最大)

(二)自我检测

(1)(2013•重庆N(3-a)(a+6)(—6WaW3)的最大值为()

A.9B.£C.3

(2)(2()14上海)若实数x,y满足对=1则尤2+2:/的最小值为

(3)(2013天津)设a+b=2,b>0,则当a=______时,一1—十—取最小值。

2\a\b

(4)若(打2+2)4的展开式中43项的系数为20,则/+。2的最小值为.

X

这三道题关于基本不等式应用的题目,解答的关键是熟练掌握基本不等式的内容

设计意图:体验高考试题,落实双基,掌握基本不等式,了解基本不等式不同考查形式,引

导学生对基本知识和基本方法的落实,为后面的复习中重点突破什么,起到指导作用。

(三)典例研习

例1已知lx<9,求函数/,(%)=4x-2+―5—的最大值。

44x—5

解析:由5-4x>0,=-[(5-4x)+-?—]+3<-2+3=1

5-4x

当且仅当X=1时等号成立,故函数/'(X)的最大值为5

变式⑴若将例1中的条件变为光>工,求/'(x)的最小值

4

变式(2)若将例1中的条件变为x>2,求/'(%)的最小值

设计意图:求解本题需要注意两点,一是对已知条件适当变形,二是利用基本不等式求最值

时,要坚持“一正二定三相等”原则,考查学生对基本不等式内容的理解,让学生在体验中

感受到基本不等式求最值定理,加深学生对基本不等式灵活运用。

例2已知x>0,y>0,且x+2y=1,求工+工的最小值。

%y

(-+-)(x+2y)=3+-+^->3+2V2

解析:xy

当且仅当%=时等号成立,故函数3工的最小值为3+28

%y

设计意图:基本不等式的变式计较多,当无法直接使用基本不等式时,要创造条件应用基本

不等式,让学生在体验中感受到基本不等式运用技巧。

例3a>〃>0,求出+-的最小值为_____

bia—b>)

解析:

2,16、/161

cr+---------->ar+—~7——r--=4H--7>16

h(a—b)Z?+(g—Z?)2储

~~2

设计意图:基本不等式是一种求最值的重要方法,通过引导学生交流探究,引导学生发现连

续多次使用基本不等式求最值时,要注意等号成立的条件是否一致

(四)巩固练习

⑴(2012福建)下列不等式一定成立的是()

,1I

Alg(x+—)>1gx(x>0)B.sinxd-------N2(x手k1,keZ)

4sinA:

91

C.X2+1>2|X|D——>l(xeR)

x2+l

(2)(2014年四川14)设加eR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线

nu-y-m+3=Q交于点P(x,y),贝U|PAHPB|的最大值是。

(五)课堂小结

⑴利用基本不等式求最值时,一定要注意应用基本不等式成立的条件;即一正一一各项均为

正,二定一一积或和为定值,三相等等号能否取得,若忽略了某个条件,就会出现错误否则

求解时会出现等号成立的条件不具备而出错;

(2)对于公式,,要弄清它们的作用和使用条件及内在联系,两个公式也体现了和的转化关系

⑶若在同一题目中,两次或两次以上利用基本不等式,等号应同时成立

⑷运用公式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如次+及22"逆用就是

abW”:空上》班^(a,6>0)逆用就是卜m6>0)等.

(六)板书设计

一、知识点梳理:三、典型例题二、自我检测

例1

作业

《导数在研究函数中的应用》教学设计

七、教学理念:

新课标指出,学生是教学的主体,教师的教应本着从学生的认知规

律出发,以学生活动为主线,在原有知识的基础上,建构新的知识体

系。因此,教师的责任关键在于教学过程中创设一个“数学活动”环

境,让学生通过这个环境的相互作用,利用自身的知识和经验构建自

己的理解,获得知识,从而培养自己的数学素养,培养自己的能力。

二、教材分析

1、本节教材的地位、作用分析

导数在研究函数中的应用是人教A版高中数学新教材选

修2-2第一章第三节的内容。其中函数单调性是刻画函数变化

的一个最基本的性质,虽然学生已经能够使用定义判定在所给

区间上函数的单调性,但在判断较为复杂的函数单调性时,使用

定义法局限性较大。而通过本节课的学习,能很好的解决这一

难题,能够使学生充分体验到导数作为研究函数单调性的工

具,其有效性和优越性。另一方面,在高考中常利用导数研究

函数的单调性,并求单调区间、极值、最值、利用导数解决生

活中的优化问题,同时对研究不等式等问题起着重要作用。所

以,学习本节课既加深了学生对前面所学知识之间的联系,也

为后继学习做好了铺垫,学好本节内容,能加深学生对函数性

质的理解,进一步体会数形结合、分类讨论、函数与方程的数

学思想,能在高考中起到四两拨千斤的作用。在高考中,常将

导数与向量、不等式、集合一样作为工具与其他知识相综合考

查。

2、教学目标

(一)知识与技能目标:

(1)了解函数单调性和导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,

会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次);

(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件,会用导数求

函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区

间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).

(二)过程与方法目标:

(1)通过本节的复习,掌握用导数在研究函数单调性、极值和最值中

的方法;

(2)培养学生的观察、比较、分析、概括的能力,数形结合、转化思

想、分类讨论的数学思想

(三)情感态度与价值观目标:

(1)在教学过程中让学生养成多动手、多观察、勤思考、善总结的习

惯;

(2)培养学生的探索精神,感受成功的乐趣。

3.教学重难点

教学重点:利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间,以及求函

数极值、最值步骤;

教学难点:探求含参数函数的单调性的问题,以及解决与不等式、方

程相结合等问题。

(二)学情学况分析

本课是高考的热点并且相关联的知识点较多,难度相对较

大,但经过扎实的训练,大部分学生是可以在高考中得分的。

由于学生刚刚接触导数的应用,所以他们在利用导数研究函数

的单调性,极值与最值的水平和自觉性上都还有一定的差距。

学生已有的基础是会解不等式和对一元二次函数及其

他基本初等函数图象和性质的了解,之前还学习了导数的概

念、计算、几何意义等内容。所以,在知识储备方面,学生已

经具备足够的认知基础。因此要充分利用这些知识,结合相关

数学思想方法,利用导数来研究函数的相关的性质。在课题复

习和练习中鼓励学生参与,要让学生亲自体验发现知识、应用

知识的快乐,增强学生的学习的主动性和有效性。

(三)教法学法分析

教法分析:为了体现学生是课堂学习的主体,本节课我主要采取通

过展示真题导入复习课,激发学生自主探究的热情,运用发现式、启

发式、合作探究的教学方法,采取讲练结合、教师辅助引导的教学方

式,借助多媒体,通过层层递进的教学活动,引导学生主动的复习,

培养学生分析和解决问题的能力。

学法分析:合作学习,引导学生分组讨论,合作交流,共同探讨问

题。学生通过亲身参与教学活动,探究学习,发挥主观能动性,主动

探索新知,可以收获更好的学习效果。

(四)教学过程设计

为了达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,我把教学过

程分为以下几个阶段:真题展示一一考点梳理一一典例解析一一课堂

练习一一复习小结一一课后练习。

环节一:真题展示,导入教学内容

y^-x2-inx

L(2012辽宁高考)函数.2的单调递减区间为()

A.(-1,1]B.(0,1]

C.(1,+°°)D.(0,+°0)

2.(2014课表全国H)若函数f(x)=kx-lnx,在区间(1,+°°)

上单调递增,则k的取值范围是()

、oo

5(-/-2]B.(-

C.2,+0°)D.l,+oo)

3.(2015山东卷)设函数/(x)=ln(x+l)+a(x2-%),其中aeR.

⑷讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由;

⑸若Vx>OJ(x)NO成立,求的取值范围.

设计意图:展示高考题,简要介绍本节内容在高考中的地位,激发学

生的学习兴趣和重视程度,选题时,以基础题为主,增强学生学好本

节内容的信心。

环节二:考点梳理

1.求函数单调区间的方法:

(1)定义法:适用于证明函数在某区间的单调性,但是在求函数单调

区间时对确定单调区间的端点是个难点.

(2)导数法:对于在区间(a,b)上的可导函数,若>0,则f(x)在

这个区间上单调递增;若<0,则f(x)在这个区间上单调递减.

2.求函数单调区间的基本步骤:

(1)求函数定义域;

(2)解不等式f'(x)>0(或者f'(x)<0);

(3)将(2)中解集与定义域求交集,即可得到单调增区间(或单调

减区间).

3.由单调性到导数:

(1)若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增,则f'(x)20;

(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减,则f'(x)W0.

4.求函数极值步骤

5.求函数最值步骤

一般地,求连续函数/(x)在[a,U上的最大值与最小值的步骤如下:

⑴求爽(无)在(a/)内的极值;

⑵将/(%)的各极值与端点处的函数值/(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,

最小的一个是最小值,得出函数/(x)在[a,可上的最值

设计意图:复习旧知,为解决单调性等相关题型做知识铺垫,提高课

堂效率。

环节三:典例分析

第一部分:导数与函数单调性的应用

题型一:确定函数的单调区间或讨论函数的单调性

例1:高考真题1(不含参数)

变式1(含参数):已知函数f(x)ulnx+x+ax?

(1)若函数f(x)在x=l处的切线平行于x轴,求实数a的值;

⑵求函数f(x)的单调区间.

题型二:已知函数的单调性求参数的范围

例2.高考真题2

变式2:已知函数f(x)=(aT)lnx+1+ax?

⑴讨论函数f(x)的单调性;

冬>三>O,,砥有或多)—八巧)>2

⑷如果对任意的一不一天,求a的取值范

围.

【综合点评】恒成立问题的两种常见解题思路:①参变分离;②构造函数.

题型三:利用单调性比较大小

例3.定义在(0,)上的函数f(x),f'(x)是它的导函数,且恒有

2

/(x)<r(x).tanx成立,则()

扃图>行图/(l)<V(f)sinl

A.D.

c.⑸图〉/图“可卧喑)

构造函麴(%)=3

sinx

变式3.已知函数f(x)在R上可导,下列四个选项中正确的是

()

A.若f(x)>f'(x)对x£R恒成立,则ef(l)<f(2)

B.若f(x)〈f'(x)对x£R恒成立,则f(-D>f(D

C.若f(x)+f'(x)>0对x£R恒成立,则ef(2"f(l)

D.若f(x)+f'(x)<0对x£R恒成立,则f(T)>f⑴

第二部分:导数与函数极值、最值的应用

题型一:求函数极值

例4:已知函数/(x)=/—px2一"的图像与轴切于(1,0),则/(X)的极大值、极小值分别

为()

4444

⑶----0B、0,——C、—>0D、0,—

27272727

变式.已知函数/3=/+加/+(加+6)尤+1既存在极大值又存在极小值,则实数〃?的取

值范围是.

题型二:求函数最值

例5.已知f(x)=2x3-6x2+m(机为常数)在-2,2]上有最大值为3,那么此函数在-2,2]上的

最小值为:-------

A、0B、-5C、-10D、-37

变式.已知函数/(x)=d+3x2—9X+1,若/(x)在区间k,2]上的最大值为28,则实数的取

值范围为

A、[-3,+8)B、(-3,+8)C、(-8,3)D、(-00,-3]

第三部分:导数的综合应用

题型一:利用导数研究方程的根

例6.已知函数/(x)=e*Tg(x)=4+x,其中是自然对数的底数

⑴证明:函数〃(x)=/(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点;

(2)求方程/(x)=g(x)的根的个数,并说明理由。

变式.已知函数f(x)=x2-(a+4)x-2a2+5a+3(a&R).

(1)当a=3时,求函数f(x)的零点;

⑵若方程/(x)=0的两个实根都在区间(-1,3)上,求实数a的取值范围.

题型二:利用导数研究不等式问题

例7.已知函数/(x)=xlnx-ar2-x(aeA)。

(1)如果不等式/(x)<-x恒成立,求实数的取值范围;

(2)求证:ln(2x3x...x2015)ims<2015.

变式已知函数/(x)=Inx—a+^-,g(x)=—-26LX+4,若对任意的%w(0,2],存在

X2G[1,2],使得/(F)2g(%)成立,则的取值范围是

51155

一,+8B、—,+oo一,一D、-00,-----

4

A、8844

课堂处置:此阶段每一例题由老师在黑板上简略写出方法,学生尝试,

然后用幻灯片展示过程,学生进行对比,同桌互评

总体设计意图:复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上,要在解题方

法、解题思想上深入下去。通过应用加深对及导数在函数单调性问题

上的重要作用的理解。

环节四:课堂演练

1、求函数X的单调区间.

2、已知函数f(x)=In(ex+1)—ax(a>0).

(1)若函数

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