高中数学不等式教学设计

不等式教学设计

一、考试大纲说明及变化

(一)高考要求：

1、不等式关系：

了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景

2、一元二次不等式：

(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型

(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。

⑶会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。

3、二元一次不等式组与简单线性规划问题

⑴会从实际情境中抽象出二元一次不等式组

(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。

⑶会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。

4、基本不等式

⑴了解基本不等式的证明过程

(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

从考纲要求来看，对不等式的要求主要是了解层次；

二、不等式近五年高考考试分析

高考命题实况(2012_2016年)

20122013201420152016

不等式的性质全国n理8全国山理5

全国I理8

不等式的解法全国I理1全国I理1全国H理1全国I理5

全国II理1全国n理1全国II理14全国H理2

全国HI理1

基本不等式及应用全国I理16

全国n理21

与一元二次不等式有关的全国II理12

参数问题

简单的线性规划全国11理9全国I理9全国I【理14全国川理13

非线性目标函数的最值问全国I理15

题

约束条件含参数的线性规

划问题

线性规划的实际应用全国I理16

不等式的证明全国n理21全国I理21

全国n理17

不等式的恒成立问题全国理21全国I理21全国H理21

从内容上看，主要考查一元二次不等式的解法及利用基本不等式求最值，利用线性规划知识

求目标函数的最值或参数的值，从题型上看，选择题，填空题，解答题均有；从能力上看，

主要考查学生的运算求解能力及灵活运用所学知识分析、解决问题的能力；

三、命题预测

今年是湖北省实行全国卷考试的第一年，2017年是全国卷考试的第二年，命题更成熟、

稳定。本章节是高考必考内容，主要考查不等式的基本知识、基本技能，不等式的性质、解一元

二次不等式、线性规划、基本不等式也是考查的重点。1.以考试大纲为依据，以教材为指导,

参照全国卷题型，突出对基本知识的考查。2.体现不等式的工具性，常与其他的知识相结合，

突出知识交汇（如与数列、解析几何等知识交汇考查不等式的证明）的考查。3.重视实际应用问

题中基本不等式的应用.4.传统与创新并重，高考创新题设计也常与不等式相结合。

在复习中重视基础，回归教材；落实方法，适度创新；注重交汇，凸显能力。预测2014

年不等式的命题与其他知识结合考查，不会出现太大变化。

四、知识体系

-*基本性质

一不等关系与不等式一-►比较大小2课时

T■求他周

一一元二次不等式及其解法-不等式的实际应用2课时

一基本不等式一最大（小）值问题2课时

二元一次不等式

一二元一次不等式（组）（组）与平面IK域

一与简单的线性规划问题2课时

-简的的线性规划问题

五、教学建议

不等式是知识和应用的结合体，在复习中既要照顾到其基础性、也要照顾到其应用性，具体

在教学中要注意如下几点：

⑴在各讲的复习中首先要注意基础性，这是第一位的复习目标.在基础性复习的探究点上要

发挥教师的引导作用，引导学生独立思考完成这些探究点，教师给予适度的指导和点评.

（2）要重视实际应用问题的分析过程、建模过程.在这些探究点上教师的主要任务就是指导学

生如何通过设置变量把实际问题翻译成数学问题，重视解题的过程.

⑶不等式在高考数学各个部分的应用，要循序渐进地解决，在本单元中涉及不等式的综合运

用时，选题要尽量的很基础，在这样的探究点上不要试图一步到位，不等式的综合运用是整

个一轮复习的系统任务.

六、微专题《基本不等式》

E

A

教、

材

教

分

学

析

过

1、教材分析

基本不等式是必修5的重点内容，在课本封面上就体现出来了。它是在学完“不等式的

性质”、“不等式的解法”及“线性规划”的基础上对不等式的进一步研究。在不等式的证明

和求最值过程中有着广泛的应用。求最值又是高考的热点。而在第一轮复习中体现了在知识

为主线下的能力考查，对在知识的交汇处的应用也提出了一定的要求，同时在情景的设置和

数学文化背景上也表现为不断创新。因而需要对学生加以引导，让学生温故而知新，在已有

的基础上有一定的提升。

2、学情分析

数列是学生在高一上学期学习的内容，时间间隔较长，一些基本性质及基本方法感到生

疏，对知识的掌握也表现为比较零碎，对方法的掌握缺乏灵活性，当时上新课的时候讲的也

比较简单，没有形成系统的知识网络.而在第一轮复习中体现了在知识为主线下的能力考查，

对在知识的交汇处的应用也提出了一定的要求，同时在情景的设置和数学文化背景上也表现

为不断创新。因而需要对学生加以引导，让学生温故而知新，在已有的基础上有一定的提升。

3、教学目标

(1)知识与技能

了解基本不等式的证明过程;会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

(2)过程与方法

从高考题出发，大多数例题、变式学生都可以独立完成，在基础性复习的探究点上，引导

学生独立思考完成这些探究点，教师给予适度的指导和点评.

(3)情感、态度与价值观

培养学生应用数学的实践精神，段落学生的运算能力、逻辑思维能力及实事求是的分析

4、教学重难点

⑴在应用基本不等式求最值时，要把握三个方面，即“一正一一各项都是正数；二定一一和

或积为定值；三相等一一等号能取得”，这三个方面缺一不可.

⑵为了创造条件使用基本不等式，就需要对式子进行恒等变形，运用基本不等式求最值的焦

点在于凑配''和"与“积”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件，另外，可利用二

次函数的配方法求最值.

5、教学方法

教学方法：启发诱导式、类比迁移、变式提升。

学习方法：自主探究复习、合作交流、归纳总结。

教学手段：多媒体辅助教学

6、教学过程

(一)知识点梳理。

⑴基本不等式：华丽

①基本不等式成立的条件：.

②等号成立的条件：当且仅当_______时取等号.

③其中誓称为正数a,b的算术平均数,标称为正数a,b的.

基本不等式可叙述为：两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数.

⑵基本不等式的变形

@a2+b2^2ab(a,beR).当且仅当°=6时取等号.

②〈(生心］(a,beR),当且仅当a=b时取等号.

I2)2

③”+拉2(“>0)，当且仅当。=1时取等号；

(a<0),当且仅当a=-1时取等号.

④《+彳>23,方同号)，当且仅当时取等号.

(3)利用基本不等式求最值

己知x>0,y>0,则

①如果积犯(积为定值)是定值p,那么当且仅当______时，x+y有最____值是25.(简记：

积定和最小)

②如果和x+y(和为定值)是定值s,那么当且仅当______时，积D有最—值是?.(简记：和

定积最大)

(二)自我检测

(1)(2013•重庆N(3-a)(a+6)(—6WaW3)的最大值为()

A.9B.£C.3

(2)(2()14上海)若实数x,y满足对=1则尤2+2:/的最小值为

(3)(2013天津)设a+b=2,b>0,则当a=______时,一1—十—取最小值。

2\a\b

(4)若(打2+2)4的展开式中43项的系数为20,则/+。2的最小值为.

X

这三道题关于基本不等式应用的题目，解答的关键是熟练掌握基本不等式的内容

设计意图：体验高考试题，落实双基，掌握基本不等式，了解基本不等式不同考查形式，引

导学生对基本知识和基本方法的落实，为后面的复习中重点突破什么，起到指导作用。

(三)典例研习

例1已知lx<9,求函数/,(%)=4x-2+―5—的最大值。

44x—5

解析：由5-4x>0,=-[(5-4x)+-?—]+3<-2+3=1

5-4x

当且仅当X=1时等号成立，故函数/'(X)的最大值为5

变式⑴若将例1中的条件变为光>工,求/'(x)的最小值

4

变式(2)若将例1中的条件变为x>2,求/'(%)的最小值

设计意图：求解本题需要注意两点，一是对已知条件适当变形，二是利用基本不等式求最值

时，要坚持“一正二定三相等”原则，考查学生对基本不等式内容的理解，让学生在体验中

感受到基本不等式求最值定理，加深学生对基本不等式灵活运用。

例2已知x>0,y>0,且x+2y=1,求工+工的最小值。

%y

(-+-)(x+2y)=3+-+^->3+2V2

解析：xy

当且仅当％=时等号成立,故函数3工的最小值为3+28

%y

设计意图：基本不等式的变式计较多，当无法直接使用基本不等式时，要创造条件应用基本

不等式，让学生在体验中感受到基本不等式运用技巧。

例3a>〃>0,求出+-的最小值为_____

bia—b>)

解析：

2,16、/161

cr+---------->ar+—~7——r--=4H--7>16

h(a—b)Z?+(g—Z?)2储

~~2

设计意图：基本不等式是一种求最值的重要方法，通过引导学生交流探究，引导学生发现连

续多次使用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件是否一致

(四)巩固练习

⑴(2012福建)下列不等式一定成立的是()

,1I

Alg(x+—)>1gx(x>0)B.sinxd-------N2(x手k1,keZ)

4sinA:

91

C.X2+1>2|X|D——>l(xeR)

x2+l

(2)(2014年四川14)设加eR,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线

nu-y-m+3=Q交于点P(x,y),贝U|PAHPB|的最大值是。

(五)课堂小结

⑴利用基本不等式求最值时，一定要注意应用基本不等式成立的条件；即一正一一各项均为

正，二定一一积或和为定值，三相等等号能否取得，若忽略了某个条件，就会出现错误否则

求解时会出现等号成立的条件不具备而出错；

(2)对于公式，，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了和的转化关系

⑶若在同一题目中，两次或两次以上利用基本不等式，等号应同时成立

⑷运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如次+及22"逆用就是

abW”:空上》班^(a,6>0)逆用就是卜m6>0)等.

(六)板书设计

一、知识点梳理:三、典型例题二、自我检测

例1

作业

《导数在研究函数中的应用》教学设计

七、教学理念：

新课标指出，学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规

律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体

系。因此，教师的责任关键在于教学过程中创设一个“数学活动”环

境，让学生通过这个环境的相互作用，利用自身的知识和经验构建自

己的理解，获得知识，从而培养自己的数学素养，培养自己的能力。

二、教材分析

1、本节教材的地位、作用分析

导数在研究函数中的应用是人教A版高中数学新教材选

修2-2第一章第三节的内容。其中函数单调性是刻画函数变化

的一个最基本的性质，虽然学生已经能够使用定义判定在所给

区间上函数的单调性，但在判断较为复杂的函数单调性时，使用

定义法局限性较大。而通过本节课的学习，能很好的解决这一

难题，能够使学生充分体验到导数作为研究函数单调性的工

具，其有效性和优越性。另一方面，在高考中常利用导数研究

函数的单调性，并求单调区间、极值、最值、利用导数解决生

活中的优化问题，同时对研究不等式等问题起着重要作用。所

以，学习本节课既加深了学生对前面所学知识之间的联系，也

为后继学习做好了铺垫，学好本节内容，能加深学生对函数性

质的理解，进一步体会数形结合、分类讨论、函数与方程的数

学思想，能在高考中起到四两拨千斤的作用。在高考中，常将

导数与向量、不等式、集合一样作为工具与其他知识相综合考

查。

2、教学目标

（一）知识与技能目标：

（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，

会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；

（2）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会用导数求

函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区

间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

（二）过程与方法目标：

（1）通过本节的复习，掌握用导数在研究函数单调性、极值和最值中

的方法；

（2）培养学生的观察、比较、分析、概括的能力，数形结合、转化思

想、分类讨论的数学思想

(三)情感态度与价值观目标：

(1)在教学过程中让学生养成多动手、多观察、勤思考、善总结的习

惯；

(2)培养学生的探索精神，感受成功的乐趣。

3.教学重难点

教学重点：利用导数研究函数的单调性、求函数的单调区间，以及求函

数极值、最值步骤；

教学难点：探求含参数函数的单调性的问题，以及解决与不等式、方

程相结合等问题。

(二)学情学况分析

本课是高考的热点并且相关联的知识点较多，难度相对较

大，但经过扎实的训练，大部分学生是可以在高考中得分的。

由于学生刚刚接触导数的应用，所以他们在利用导数研究函数

的单调性，极值与最值的水平和自觉性上都还有一定的差距。

学生已有的基础是会解不等式和对一元二次函数及其

他基本初等函数图象和性质的了解，之前还学习了导数的概

念、计算、几何意义等内容。所以，在知识储备方面，学生已

经具备足够的认知基础。因此要充分利用这些知识，结合相关

数学思想方法，利用导数来研究函数的相关的性质。在课题复

习和练习中鼓励学生参与，要让学生亲自体验发现知识、应用

知识的快乐，增强学生的学习的主动性和有效性。

(三)教法学法分析

教法分析：为了体现学生是课堂学习的主体，本节课我主要采取通

过展示真题导入复习课，激发学生自主探究的热情，运用发现式、启

发式、合作探究的教学方法，采取讲练结合、教师辅助引导的教学方

式，借助多媒体，通过层层递进的教学活动，引导学生主动的复习，

培养学生分析和解决问题的能力。

学法分析：合作学习，引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问

题。学生通过亲身参与教学活动，探究学习，发挥主观能动性，主动

探索新知，可以收获更好的学习效果。

(四)教学过程设计

为了达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过

程分为以下几个阶段：真题展示一一考点梳理一一典例解析一一课堂

练习一一复习小结一一课后练习。

环节一:真题展示，导入教学内容

y^-x2-inx

L(2012辽宁高考)函数.2的单调递减区间为()

A.(-1,1]B.(0,1]

C.(1,+°°)D.(0,+°0)

2.(2014课表全国H)若函数f(x)=kx-lnx,在区间(1,+°°)

上单调递增，则k的取值范围是()

、oo

5(-/-2]B.(-

C.2,+0°)D.l,+oo)

3.(2015山东卷)设函数/(x)=ln(x+l)+a(x2-%),其中aeR.

⑷讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由；

⑸若Vx>OJ(x)NO成立，求的取值范围.

设计意图：展示高考题，简要介绍本节内容在高考中的地位，激发学

生的学习兴趣和重视程度，选题时，以基础题为主，增强学生学好本

节内容的信心。

环节二：考点梳理

1.求函数单调区间的方法：

(1)定义法：适用于证明函数在某区间的单调性，但是在求函数单调

区间时对确定单调区间的端点是个难点.

(2)导数法：对于在区间(a,b)上的可导函数，若>0,则f(x)在

这个区间上单调递增；若<0,则f(x)在这个区间上单调递减.

2.求函数单调区间的基本步骤：

(1)求函数定义域；

(2)解不等式f'(x)>0(或者f'(x)<0);

(3)将(2)中解集与定义域求交集，即可得到单调增区间(或单调

减区间).

3.由单调性到导数：

(1)若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f'(x)20;

(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减，则f'(x)W0.

4.求函数极值步骤

5.求函数最值步骤

一般地，求连续函数/(x)在［a,U上的最大值与最小值的步骤如下:

⑴求爽(无)在(a/)内的极值;

⑵将/(%)的各极值与端点处的函数值/(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，

最小的一个是最小值，得出函数/(x)在［a,可上的最值

设计意图：复习旧知，为解决单调性等相关题型做知识铺垫，提高课

堂效率。

环节三：典例分析

第一部分：导数与函数单调性的应用

题型一：确定函数的单调区间或讨论函数的单调性

例1：高考真题1(不含参数)

变式1(含参数)：已知函数f(x)ulnx+x+ax?

(1)若函数f(x)在x=l处的切线平行于x轴，求实数a的值；

⑵求函数f(x)的单调区间.

题型二：已知函数的单调性求参数的范围

例2.高考真题2

变式2：已知函数f(x)=(aT)lnx+1+ax?

⑴讨论函数f(x)的单调性；

冬>三>O,,砥有或多)—八巧)>2

⑷如果对任意的一不一天，求a的取值范

围.

【综合点评】恒成立问题的两种常见解题思路：①参变分离；②构造函数.

题型三：利用单调性比较大小

例3.定义在(0，)上的函数f(x),f'(x)是它的导函数，且恒有

2

/(x)<r(x).tanx成立，则()

扃图>行图/(l)<V(f)sinl

A.D.

c.⑸图〉/图“可卧喑)

构造函麴(%)=3

sinx

变式3.已知函数f(x)在R上可导,下列四个选项中正确的是

()

A.若f(x)>f'(x)对x£R恒成立,则ef(l)<f(2)

B.若f(x)〈f'(x)对x£R恒成立，则f(-D>f(D

C.若f(x)+f'(x)>0对x£R恒成立,则ef(2"f(l)

D.若f(x)+f'(x)<0对x£R恒成立,则f(T)>f⑴

第二部分：导数与函数极值、最值的应用

题型一：求函数极值

例4：已知函数/(x)=/—px2一"的图像与轴切于(1,0),则/(X)的极大值、极小值分别

为()

4444

⑶----0B、0,——C、—>0D、0,—

27272727

变式.已知函数/3=/+加/+(加+6)尤+1既存在极大值又存在极小值，则实数〃？的取

值范围是.

题型二：求函数最值

例5.已知f(x)=2x3-6x2+m(机为常数)在-2,2]上有最大值为3,那么此函数在-2,2]上的

最小值为：-------

A、0B、-5C、-10D、-37

变式.已知函数/(x)=d+3x2—9X+1,若/(x)在区间k，2]上的最大值为28,则实数的取

值范围为

A、[-3,+8)B、(-3,+8)C、(-8,3)D、(-00,-3]

第三部分：导数的综合应用

题型一：利用导数研究方程的根

例6.已知函数/(x)=e*Tg(x)=4+x,其中是自然对数的底数

⑴证明：函数〃(x)=/(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点；

(2)求方程/(x)=g(x)的根的个数，并说明理由。

变式.已知函数f(x)=x2-(a+4)x-2a2+5a+3(a&R).

(1)当a=3时,求函数f(x)的零点；

⑵若方程/(x)=0的两个实根都在区间(-1,3)上，求实数a的取值范围.

题型二：利用导数研究不等式问题

例7.已知函数/(x)=xlnx-ar2-x(aeA)。

(1)如果不等式/(x)<-x恒成立，求实数的取值范围;

(2)求证：ln(2x3x...x2015)ims<2015.

变式已知函数/(x)=Inx—a+^-，g(x)=—-26LX+4,若对任意的％w(0,2],存在

X2G[1,2],使得/(F)2g(%)成立，则的取值范围是

51155

一,+8B、—,+oo一,一D、-00,-----

4

A、8844

课堂处置：此阶段每一例题由老师在黑板上简略写出方法，学生尝试,

然后用幻灯片展示过程，学生进行对比，同桌互评

总体设计意图：复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方

法、解题思想上深入下去。通过应用加深对及导数在函数单调性问题

上的重要作用的理解。

环节四：课堂演练

1、求函数X的单调区间.

2、已知函数f(x)=In(ex+1)—ax(a>0).

(1)若函数