六年级奥数工程问题含答案

工程问题

夏便倒我

一'基本概念

(1)工作总量

完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示.

(2)工作时间

(3)工作效率

单位时间内所完成的工作量

二、基本关系

工作量=工作效率X工作时间

【提示】三者之间的关系，可以类比路程、速度和时间的关系.

三、常用工具和方法

(1)基本关系

(2)整体化归思想

(3)对比分析的方法

S3咫盛

(D重点：利用整体化归思想和对比分析方法解决较为复杂的工程问题

(2)难点：复杂问题中整体化归思想、比例思想、方程思想与对比分析方法的综合运用

一、根据基本关系解题

【例1】一项工程，甲单独做需要28天时间，乙单独做需要21天时间，如果甲、乙合作需要多

少时间？

【考点】工程应用题【难度】1星【题型】解答

【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的工，乙每天完成总量的工，两

2821

人合作每天能完成总量的上+,=工，所以两人合作的话，需要1+工=12天能够完成.

28211212

【答案】12

【巩固】一项工程，甲单独做需要21天时间，甲、乙合作需要12天时间，如果乙单独做需要多少时间？

【考点】工程问题【难度】1星【题型】解答

【解析】将整个工程的工作量看“1”个单位，那么甲每天完成总量的工，甲、乙合作每天完成总量的工，

2112

乙单独做每天能完成总量的所以乙单独做28天能完成.

122128

【答案】—

28

【例2】一项工程，甲队单独完成需40天。若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20

天可完成.如果乙队单独完成此工程，则需天.

【考点】工程问题【难度】2星【题型】解答

【关键词】2008年，希望杯，第六届，六年级，一试

【解析】甲每天完成甲乙合作中，甲一共完成卫=工，所以乙也一共完成工，乙每天完成1乙单

40402260

独做要60天.

【答案】60天

【巩固】一项工程，甲队单独做20天可以完成，甲队做了8天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单

独做15天完成.问：乙队单独完成这项工作需多少天？

【考点】工程问题【难度】2星【题型】解答

110

【解析】方法一：甲的工作效率为一，甲队8天的工作量为--x8=*,所以乙队15天的工作量为

20205

9331

1--=—,乙的工作效率为一+15=—，所以乙队单独完成这项工作需要25天

55525

方法二：此题可以运用化归思想解决，甲12天工作量等于乙15天工作量，乙的工作效率为甲的

44

—,乙独做的时间为20+—=25（天）。

55

【答案】25天

二、运用整体化归思想解题

【例3】有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时。甲、乙

同时开始各搬运一个仓库的货物。开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库

的货物同时搬完。则丙帮甲小时，帮乙小时。

【考点】工程问题【难度】2星【题型】解答

【关键词】2009年，希望杯，第七届，六年级，二试

【解析】整个搬运的过程，就是甲、乙、丙三人同时开始同时结束，共搬运了两个仓库的货物，所以它们

完成工作的总时间为2+工一+—小时

67

在这段时间内，甲、乙各自在某一个仓库内搬运，丙则在两个仓库都搬运过.

甲完成的工作量是±1xQ3i='7，所以丙帮甲搬了i—7」=1上的货物，丙帮甲做的时间为1J_+-1L=i1±小

648888144

时，那么丙帮乙做的时间为371一1三3=3七1小时.

442

【答案】3工小时

2

【巩固】一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满.现在先开乙管6小

时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满.乙单独开几小时可以灌满？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同

时开2小时灌满“，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二

个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开.这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同

时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水.可以计算出乙单独灌水的工作量为

1--X2--X2=—,所以乙的工作效率为：工+（6-2-2）=工，所以整池水由乙管单独灌水，

54101020

需要1+,=20（小时）.

20

【答案】20小时

【例4】一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的J倍.上午去

2

甲工地的人数是去乙工地人数的3倍，下午这批工人中有」7的人去甲工地.其他工人到乙工

12

地.到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需4名工人再做1天，那么这批工人有多

少人？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】根据题意，这批工人的人数是12的倍数，设这批工人有12x人.

那么上午有9x人在甲工地，有3x人在乙工地；下午有7尤人在甲工地，有5x人在乙工地.所以甲

工地相当于（9x+7尤）+2=8无人做了一整天；乙工地相当于（3x+5尤）+2=4x人做了一整天.

3

由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的—倍，假设甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作

2

331

量是2份.8x人做一整天完成3份，那么4x人做一整天完成二份，所以乙工地还剩下2-及=±

222

份.这;份需要4名工人做一整天，所以甲工地的3份需要4x13-gj=24人做一整天，即8x=24,

可得x=3,那么这批工人有12义3=36（人）.

【答案】36人

【巩固】甲、乙、丙三队要完成A,8两项工程，8工程的工作量是4工程工作量再增加!，如果让甲、

4

乙、丙三队单独做，完成A工程所需要的时间分别是20天，24天，30天.现在让甲队做4工

程，乙队做8工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做8工程若干天，然后再与甲

队合做A工程若干天•问丙队与乙队合做了多少天？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，

即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，我们不妨设A工程的工作总量为单

位“1”，那么3工程的工作量就是“*"，那么这个问题就和例5联系到了一起了。

4

三队合作完成两项工程所用的天数为：。+口/工+1-+，］=18天。18天里，乙队一直在完

14）（202430J

13

成B工作，因此乙的工作量为一xl8=—,8剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在8工程上

244

用了=15天也就是说两队合作了15天。

（44）30

解题关键是把“一项工程”看成一个单位，运用公式：工作效率x工作时间=工作总量，表示出

各个工程队（人员）或其组合在统一标准和单位下的工作效率.

【答案】15天

【例5】一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成.若甲先做1小时，然后乙接

替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，......，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共

用了多少小时？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】①若甲、乙两人合作共需多少小时？

1+=14--=7-（小时）.

365

②甲、乙两人各单独做7小时后，还剩多少？

11=1-乏1

l-7x------1------

12183636

③余下的1-由甲独做需要多少小时？

36

111

---2----（-小时）.

3612-3

④共用了多少小时？

7x2+-=14-（小时）.

33

在工程问题中，转换条件是常用手法.本题中，甲做1小时，乙做1小时，相当于他们合作1小

时，也就是每2小时，相当于两人合做1小时.这样先算一下一共进行了多少个这样的2小时，

余下部分问题就好解决了.

【答案】14^小时

3

【巩固】蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管

需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有！的水，

6

若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁......的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？

【考点】工程问题【难度】5星【题型】解答

11117171

【解析】甲乙丙丁顺序循环各开1小时可进水：----+----=—，循环5次后水池还空：1--------x5=—,

3456606604

111333

-的工作量由甲管注水需要：一千—=—（小时），所以经过4x5+—=20—小时后水开始溢出水池.

443444

【答案】20-

4

三、运用对比分析方法解题

【例6】一项工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙单独做需要30天完成,

那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？

【考点】工程问题【难度】2星【题型】解答

【解析】如果将整个工程的工作量看做单位“1”,从条件中我们很容易看出：甲+乙=2，乙+丙=工，

2015

乙=,因此不难得到丙的工作效率为工-2=-L,因此三个人的工作效率之和为,

30153030203012

也就是说，三个人合作需要12天可以完成。

本题也可以分别求出甲和丙的工作效率，再将三人的工作效率相加，得到三人合作的总工效.但

是这样做比较麻烦，事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了.

【答案】12天

【巩固】一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙单独做需要36天完成，那么

如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天?

【考点】工程问题【难度】2星【题型】解答

【解析】法一：和上题类似，我们可以有：甲+乙=!,乙+丙='丙=」不难求得，乙的工作效率

91236

为分»因此甲的工作效率为工--1-—,从而甲丙合作的工作效率为二-+1=工,

91818361812

即甲丙合作12天能完成。

法二：仍然观察上面那三个等式，我们能否不求出每个人的工作效率，而通过整体的运算直接得

至I“甲+丙”的值呢？

不难发现，我们只要把乙消掉就可以了；因此我们有：（甲+乙+丙x2）-（乙+丙）=甲+丙，也就

是说：甲+丙=」+」-*2-,二工，所以甲丙合作12天能完成。

9361212

【答案】12天

【例7】一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8

天可以完成.如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：

甲5天乙20天

-----------------------------------------人-----------------------------------------

•«---------乙12天--------->

O$-0

**---------甲15天---------*

1___________________人J

Yy

甲20天乙8天

从图中可以直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4

天的工作量.于是可用“乙工作4天”等量替换题中"甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单

独做这一工程需要20+4=24（天）完成，即乙的工作效率是.

24

4

又因为乙工作4天的工作量和甲工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的1,为

—x-=—,那么甲、乙合作完成这一工程需要的时间为1+（」-+,）=132（天）.

2453024303

【答案】13^天

3

【巩固】一件工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完

成.如果甲做3小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】根据题意可知，甲做8-6=2小时的工作量等于乙做12-6=6小时的工作量，

可见甲做1小时的工作量等于乙做3小时的工作量.

那么可以用乙做3小时来代换甲做1小时，可知乙完成全部工作需要6x3+12=30小时，

甲先做的3小时相当于乙做了9小时，所以乙还需要30-9=21小时.

【答案】21小时

【例8】一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、

乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4+2=2（倍），甲、乙合

作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3

倍.乙做13天，甲只要上天，丙做13天，乙要26天，而甲只要竺天他们共同做13天的工作量，

33

由甲单独完成，甲需要13+上+生=26天

33

【答案】26天

【巩固】抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙

每天工作效率和的L如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？

5

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的工，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，

8

因此甲两天抄写书稿的工，即甲每天抄写书稿的工；由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从

816

而丙6天抄写书稿的1,即丙每天抄写书稿的」于是可知乙每天抄写书稿的1--1---1-=」-.

8488164824

所以乙一人单独抄写需要1--=24天才能完成.

24

【答案】24天

【例9】放满一个水池，如果同时打开1,2,3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2,3,4

阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1,3,4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时

打开1,2,4号阀门，则30分钟可以完成.问：如果同时打开1,2,3,4号阀门，那么多

少分钟可以完成？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】根据条件，列表如下（画。表示阀门打开，画x表示阀门关闭）：

1号2号3号4号工作效率

1

OOOX

20

1

XOOO

21

1

OXOO

28

1

OOXO

30

从表中可以看出，每个阀门都打开了三次，所以这4个阀门的工作效率之和为：

f—+—+—+—^4-3=—,那么同时打开这4个阀门，需要1+工=18（分钟）.

<20212830J1818

【答案】18分钟

【例10】某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7

天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干

需要42天才能完成.那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】首先将各个小队之间的组合列成表：

一队二队三队四队五队工作效率

1

OOOXX

12

]_

OXOXO

7

]_

XOXOO

8

1

OXOOX

42

从表中可以看出，一队、三队在表中各出现3次，二队、四队、五队各出现2次，那么，如果将

第二、四、五小队的组合计算两次，那么各种组队的工作效率和中5个小队都被计算了3次.所

以五个小队的工作效率之和为：I—+-+-X2+—|-3=-,五个小队一起合干需要1+工=6天.

(127842)66

【答案】6天

【例11】规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由

第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止.如果甲、乙轮流

做一个工程需要9.8小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要9.6小时，那乙单独做这个工程需

要多少小时？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

甲乙甲乙甲1小时+乙08小时

【解析】根据题意，有：,可知，甲做1—0.6=04小时与乙做1-0.8=02小

乙甲乙甲乙1小时+甲0.6小时

时的工作量相等，故甲工作2小时，相当于乙1小时的工作量.

所以，乙单独工作需要9.8—5+5+2=73小时.

【答案】7.3小时

【巩固】公园水池每周需换一次水.水池有甲、乙、丙三根进水管.第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、

丙.....的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池.第二周他按乙、丙、

甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、

乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟.第四周他三个管同时

打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用小时.

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

［解析】考虑水池减去甲乙丙两小时总和后的容积，则此部分按照甲乙丙的顺序灌刚好在整数小时后灌

满，按照乙丙甲的顺序灌少用15分钟，按照丙乙甲的顺序灌多用15分钟，三个一起灌用20分

钟.所以速度应该是乙最快，甲居中，丙最慢.也就是说，此部分是甲灌1个小时后灌满.甲灌

1个小时的水=乙灌45分钟的水=丙灌1个小时的水+乙灌15分钟的水.所以灌水速度甲：乙：丙

=3：4：2,也就是甲刚好是平均数.所以只用甲管灌满需要7小时.

【答案】7小时

【例12】一项工程，甲、乙合作12。小时可以完成，若第1小时甲做，第2小时乙做，这样交替轮流做，

5

恰好整数小时做完；若第1小时乙做，第2小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多!小

3

时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

【解析】若第一种做法的最后一小时是乙做的，那么甲、乙共做了偶数个小时，那么第二种做法中甲、乙

用的时间应与第一种做法相同，不会多!小时，与题意不符.所以第一种做法的最后一小时是甲

3

做的，第二种做法中最后!小时是甲做的，而这1小时之前的一小时是乙做的，所以乙+1甲=甲，

333

得乙二一甲.甲、乙工作效率之和为：1+12±二2,甲的工作效率为：--(1+-)=—,

35636336321

所以甲单独做的时间为1+1-=21(小时).

21

【答案】21小时

【巩固】甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，

若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用工天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮

2

流工作一天，则比原计划多用■天.己知甲单独完成这件工作需10.75天.问：甲、乙、丙一起

3

做这件工作，完成工作要用多少天？

【考点】工程问题【难度】5星【题型】解答

【解析】以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期.容易知道，第一种情况下一定不是完整

周期内完成，但是在本题中，有两种可能，第一种可能是完整周期+1天，第二种可能是完整周期

117

+2天.如果是第一种可能，有甲=乙+—丙=丙+—甲，得乙=丙=一甲.然而此时甲、乙、丙的

233

斗玄4a1f122、28〃大、4A人田廿口匕*28112.,-.11217k

效率和为----xId-----F—=----,经过4个周期后元成---x4=-----,正剩下1--------=-----,而

10.75I33J129129129129129

141917

甲每天完成」一二上=上，所以剩下的士-不可能由甲1天完成，即所得到的结果与假设不符,

10.7543129129

所以假设不成立.

再看第二种可能：

完整周期不完整周期完成总工程量

〃〃

第一种情况n个周期甲1天，乙1天1

乙1天，丙1天，甲4天

第二种情况W个周期

2

丙1天，甲1天，乙,天〃1〃

第三种情况W个周期

3

1113

可得甲+乙=乙+丙+上甲=丙+甲+上乙，所以丙=士甲，乙甲.因为甲单独做需10.75天，所

2324

443341?

以工作效率为上，于是乙的工作效率为上x2=±,丙的工作效率为上x±二已.

434344343243

43?9「9一

于是，一个周期内他们完成的工程量为：+2+/=二.则需1・3=4个完整周期，剩下

4343434343」

o7

1-二x4=」的工程量；正好甲、乙各一天完成.所以第二种可能是符合题意的.于是，根据第

4343

9

二种可能得出的工作效率，甲、乙、丙合作一天完成的工程量是二，所以三人合作完成工作需

43

岳19433工

要1+——=——=4一天.

4399

7

【答案】4’天

9

四、综合运用多种思想解题

【例13】一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作5小时，共完成这批零件的三。已知甲与乙

3

的工作效率之比是5:3,那么乙还要几小时才能完成分配的任务？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

23111

【解析】乙5小时完成总工作量的』＞＜上=上;乙每小时完成总工作量的上+5=」-;乙需要完成的总工

35+34420

作量为工；乙要完成这个任务还需要的时间：-^—-5-5（小时）

2220

【答案】5小时

【巩固】一项工程，甲15天做了，后，乙加入进来，甲、乙一起又做了!，这时丙也加入进甲、乙、丙

44

一起做完.已知乙、丙的工作效率的比为3：5,整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1,

问题中情形下做完整个工程需多少天？

【考点】工程问题【难度】3星【题型】解答

【解析】方法一：先把整个工程分为三个阶段：I、n、m；且易知甲的工作效率为上.又乙、丙工作的

60

天数之比为（n+m）：m=2：1,所以有n阶段和m阶段所需的时间相等.即甲、乙合作完成的，的

4

工程与甲、乙、丙合作完成1-工-的工程所需的时间相等.所以对于工作效率有：（甲+

442

乙）x2=（甲+乙+丙），甲+乙=丙，那么有丙-乙=二一.又有乙、丙的工作效率的比为3:5.易知乙的

60

35

工作效率为二丙的工作效率为：那么这种情形下完成整个工程所需的时间为:

120120

,「1,13、1,1一

15+—+(——+——)+—+(—+——)=15+6+6=27天.

460120260120

方法二：显然甲的工作效率为」-，设乙的工作效率为3元，那么丙的工作效率为5尤.所以有乙工

60

作的天数为-^（—+3x）+--（—+8%）,丙工作的天数为工+（」-+8元）.且有

460260260

-4-(—+.3)-+1―x+8—)=—2xvRl7—4-(―+3x)=—4-(―+8%),解得尤=^—.所以乙

4602602460260120

35

的工作效率为—,丙的工作效率为高—.那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：

120120

15+—十(——+2)+—+(——+2)=15+6+6=27天.

460120260120

【答案】27天

【例14】甲、乙、丙三村准备合作修筑一条公路，他们原计划按9:8:3派工，后因丙村不出工，将他承

担的任务由甲、乙两村分担，由丙村出工资360元，结果甲村共派出45人，乙村共派出35人,

完成了修路任务，问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元？

【考点】工程问题【难度】4星【题型】解答

［解析］丙村出的360元钱是不是应该按照甲乙两村派出的人数比即45:35=9:7来进行分配呢？我们仔

细思考一下，发现丙村所出的钱应该是其他两个村帮他完成的工作量，换句话说，我们应该考虑

的是甲乙两村各帮丙村出了多少人，然后再计算如何分配。

9

甲、乙两村共派出了45+35=80人，而这80人，按照原计划应是甲村派出80x---=36人，

9+8+3

乙村派出32人，丙村派出12人，所以，实际上甲村帮丙村派出了45-36=9人，乙村帮丙村派

出了35—32=3人，所以丙村拿出的360元钱，也应该按9:3=3:1