重难点01平行线（四种模型）-【满分全攻略】2022-2023学年七年级数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版）（原卷版）

重难点01平行线（四种模型）

目录

题型一：M型（含锯齿形）

题型二：笔尖型

题型三：“鸡翅”型

题型四：“骨折”型

I」技巧方法

模型一：M模型

如图，若AB//CD,你能确定NB、ND与NBED的大小关系吗？

解：ZB+ZD=ZDEB.

理由如下：

过点E作EF//AB

又,/AB//CD.

EF//CD.

ZD=ZDEF.ZB=ZBEF.

ZB+ZD=ZBEF+ZDEF=ZDEB

即NB+ND=NDEB.

模型二、笔尖型

如图，AB//CD,探索NB、ND与NDEB的大小关系？

解：ZB+ZD+ZDEB=360°.

理由如下：

过点E作EF//AB.

又VAB//CD.

EF//CD.

Z.ZB+ZBEF=180°.

ZD+ZDEF=180°.

ZB+ZD+ZDEB

=ZB+ZD+ZBEF+ZDEF=360°.

即2B+ND+NDEB=360°.

模型三、“鸡翅”型

如图，已知AB〃CD,试猜想NA、NE、ZC的关系，并说明理由.

解：ZAEC=ZA-ZC,

理由如下：

过点E作EF//AB

又VAB//CD.

EF//CD.

ZA+ZFEA=180°,

ZC+ZFEC=180°

ZAEC=ZFEC-ZFEA

=180°-ZC-(180°-ZA)

=/A-NC

即：ZAEC=ZA-ZC

模型四、“骨折模型”

如图，已知BC〃DE,试猜想NA、NB、ZD的关系，并说明理由.

解：ZBAD=ZD-ZB,

理由如下：

过点A作AG//BC

又VCB//DE.

AG//DE

AZGAB+ZB=180°,

ZGAD+ZD=180°

ZBAD=ZGAB-ZGAD

=180°-ZB-（180°-ZD）

=ZD-ZB

即：ZBAD=ZD-ZB

注：平行线四大模型大题不可直接使用，必须证明后再用，选择填空满足条件即可直接用！

J能力拓展

题型一：M型（含锯齿形）

一、填空题

1.（2023春•七年级课时练习）如图，已知BE平分■/ABC,DE平分/ADC,ZBAD=80°,

ZBCD=n°,则/BED的度数为.（用含〃的式子表示）

二、解答题

2.（2023春•七年级课时练习）如图，AB//CD,点£在直线26,5内部，且AELCE.

（1）如图1,连接47,若力£平分NBAC,求证：CE平分/ACD；

（2）如图2,点〃在线段/£上，

①若NMCE=NECD,当直角顶点后移动时，N54E与NMCD是否存在确定的数量关系?并说明理由；

②若NMCE」NECD（〃为正整数），当直角顶点£移动时，/区w与/MCD是否存在确定的数量关系?并

n

说明理由.

3.（2023春•七年级课时练习）如图:

B

(1)如图1,AB//CD,ZABE^5°,ZCDE=21°,直接写出的度数.

⑵如图2,AB〃CD,点E为直线AB,CD间的一点，BF平分NABE,DF平分NCDE,写出NBED与

/户之间的关系并说明理由.

(3)如图3,与。相交于点G,点E为ZBGD内一点，平分/ABE,OR平分NCDE,若N3GD=60。，

ZBFD=95°,直接写出N3EO的度数.

4.(2023春•七年级课时练习)问题情境：如图①，直线AB〃CD,点£,户分别在直线四，CD上.

(1)猜想：若Nl=130。，Z2=150°,试猜想NP=°；

⑵探究：在图①中探究Nl,Z2,-P之间的数量关系，并证明你的结论；

(3)拓展：将图①变为图②，若Nl+N2=325。，Z£PG=75°,求/PG尸的度数.

5.(2023春•七年级课时练习)已知直线a〃6,直线厮分别与直线a,6相交于点£,F,点、A,6分别在

直线a,6上，且在直线"'的左侧，点户是直线斯上一动点（不与点反尸重合），设/用£=N1,/APB

=Z2,Z.PBF=/3.

（1）如图1,当点P在线段收上运动时，试说明N1+/3=N2；

（2）当点尸在线段砂外运动时有两种情况.

①如图2写出Nl,Z2,/3之间的关系并给出证明;

②如图3所示，猜想/I,Z2,/3之间的关系（不要求证明）.

6.（2023春•七年级课时练习）已知直线45〃切，成是截线，点〃在直线力反刃之间.

（1）如图1,连接掰HM.求证：/M=NAGM+/CHM；

⑵如图2,在/版的角平分线上取两点4Q,使得//加.试判断/〃与/G"之间的数量关系,

并说明理由.

7.（2023春•全国•七年级专题练习）阅读下面内容，并解答问题.

已知：如图1,ABCD,直线跖分别交A3,CD于点E,F.ZBEF的平分线与/£>FE的平分线交于点

(1)求证：EG上FG；

⑵填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由.我选择—题.

①在图1的基础上，分别作乙5EG的平分线与/DPG的平分线交于点得到图2,则/EMF的度数

为—,

②如图3,ABCD,直线分别交AB,CD于点E,F.点。在直线A2,8之间，且在直线E尸右

侧，N3E0的平分线与/DR9的平分线交于点尸，则NEO尸与NEPF满足的数量关系为.

8.(2023春•江苏•七年级专题练习)如图1,ABHCD,ZPAB^130°,ZPCD=120°,求/APC的度数.小

明的思路是：如图2,过P作PE〃A5,通过平行线性质可求/APC的度数.

(1)请你按小明的思路，写出/"C度数的求解过程;

(2)如图3,AB〃CD,点尸在直线3。上运动，记443=Na,NPCD=N£.

①当点尸在线段近》上运动时，则/APC与/£、4之间有何数量关系？请说明理由;

②若点P不在线段即上运动时，请直接写出-APC与Na、”之间的数量关系.

9.(2023春•七年级课时练习)请在横线上填上合适的内容.

(1)如图(1)已知A3〃CD,则N3+ND=NB£D.

解：过点E作直线环7/AB.

Z.ZFEB=().()

VAB//CD,EF//AB,

：.()//().(如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行)

Z.ZFED=().().

ZB+ZD=Z.BEF+Z.FED.

：.ZB+ZD=ZBED.

(2)如图②，如果AB〃CO,则NB+NBED+ND=()

10.(2023春•七年级课时练习)如图1,AB//CD,E是43,5之间的一点.

BBB

D

图1图2图3

⑴判定/掰£,应与//项之间的数量关系，并证明你的结论；

⑵如图2,若NBAE,/侬的角平分线交于点凡直接写出//必与之间的数量关系；

（3）将图2中的射线小沿施翻折交"'于点G得图3,若/力3的余角等于2/£的补角，求/风出的大小.

11.（2023春•七年级课时练习）已廓AB]/CD.

（1）如图1,E为AB,。之间一点，连接阳DE,得到项.求证：2BED=2B+/D；

（2）如图，连接力〃BC,BF平■分/ABC,如平分//〃C,且阴以所在的直线交于点尸.

①如图2,当点6在点力的左侧时，若/4?C=50°,N4OC=60°,求/母》的度数.

②如图3,当点6在点力的右侧时，设,请你求出的度数.（用含有a,B的

式子表示）

A____________

E

CL>DCD

图1图2图3

12.（2023春•七年级课时练习）已知，4?〃阳点〃在上，点N在冲上.

(1)如图1中，/BME、/£、/觊9的数量关系为：；(不需要证明)

如图2中，/BMF、NF、的数量关系为：；(不需要证明)

(2)如图3中，NE平■分4FND,MB平■6/FME,且2/£+/尸=180°,求/项F的度数；

(3)如图4中，NBME=60°,EF平■令/MEN,质平分/功9,旦EQ〃NP,则/侬的大小是否发生变化,

若变化，请说明理由，若不变化，求出/用2的度数.

图1图2图3图4

13.(2023春•七年级课时练习)如图1,点A、8分别在直线GH、MN上,ZGAC=ZNBD,NC=/D.

(1)求证：GH//MN；(提示:可延长AC交A/N于点尸进行证明)

(2)如图2,AE平分NGAC,DE平分NBDC,^ZAED=ZGAC,求/GAC与/ACD之间的数量关系;

(3)在(2)的条件下，如图3,B尸平分点K在射线跖上，ZKAG=^ZGAC,^ZAKB=ZACD,

直接写出NG4c的度数.

14.(2023春•七年级课时练习)已知相〃切，//庞的角分线与应的角分线相交于点尸.

(1)如图1,若傲荻分别是//斯和/0方的角平分线，且/颔=100°,求N〃的度数；

(2)如图2,若NABM=；NABF,ZCDM=^ZCDF,ZBED=a°,求/〃的度数;

(3)若/ABM=LNABF,ZCDM=-ZCDF,请直接写出与/戚之间的数量关系.

15.(2023春•七年级课时练习)已知直线4A9和点8在同一平面内，且/〃〃gAB±BC.

(1)如图1,求//和/C之间的数量关系；

(2)如图2,若BDJLAM,垂足为〃求证：/ABD=/C；

(3)如图3,已知点D、E、户都在直线/〃上，a/ABD=Z.NCB,BF平■分■2DBC,BE平%4ABD.若/FCB叱NCF

=180°,NBFC=3/DBE,请直接写出/欧'的度数.

16.(2021春•辽宁大连•七年级统考期中)如图，AB//CD,点。在直线。上，点P在直线A3和。之

间，ZABP=NPDQ=a,PD平分NBPQ.

D

D

(1)求/BPD的度数(用含a的式子表示)；

(2)过点。作OE〃尸。交PB的延长线于点E,作—DE尸的平分线麻交尸。于点尸，请在备用图中补全图

形，猜想所与尸。的位置关系，并证明；

(3)将(2)中的“作—DEP的平分线E尸交尸D于点尸”改为“作射线跳1将2DE尸分为1:3两个部分，

交PD于点F"，其余条件不变，连接EQ,若EQ恰好平分NPQD,请直接写出ZEEQ=(用

含a的式子表示).

题型二：笔尖型

一、单选题

1.（2023春•七年级课时练习）①如图1,AB//CD,则ZA+ZE+NC=36O。；②如图2,AB//CD,则

ZP=ZA-ZC；③如图3,AB//CD,贝ijNE=/4+/l；④如图4,直线A3〃CD//4,点。在直线E尸

上，贝||4-4+々=180。.以上结论正确的个数是（）

二、填空题

2.（2023春•七年级课时练习）如图,若直线乙〃乙，/a=/B,Zl=30°则/2的度数为

3.（2023春•七年级课时练习）如图,直线a与/出力的一边射线处相交，Zl=130°,向下平移直线a

得到直线6,与//如的另一边射线如相交，则/2+/3=

三、解答题

4.（2021春•山东德州•七年级统考期中）（1）如图1,AB//CD,ZA=33°,ZC=40°,则NAPC=

(2)如图2,M//OC,点P在射线。乱上运动，当点尸在3、。两点之间运动时，ZBAP=Na,NDCP=N/3,

求NCR4与/a、"之间的数量关系，并说明理由；

(3)在(2)的条件下，如果点尸在3、。两点外侧运动时(点尸与点8、D、。三点不重合)，请你直接

写出NCR4与Na、夕之间的数量关系.

5.(2023春•全国•七年级专题练习)(1)如图(1)AB//CD,猜想、/BPD与/B、/〃的关系，说出理由.

(2)观察图(2),已知AB〃CD,猜想图中的/〃力与/B、的关系，并说明理由.

(3)观察图(3)和(4),已知四〃缪,猜想图中的/勿力与/氏N〃的关系，不需要说明理由.

(1)(2)(3)(4)

6.(2021春•安徽合肥•七年级统考期末)问题情景：如图1,AB//CD,/以6=140°,ZP6Z?=135°,

求/"C的度数.

(1)丽丽同学看过图形后立即口答出：,请补全她的推理依据.

如图2,过点户作阳〃

因为4?〃必，所以也〃0.()

所以/4+//必'=180°,/3/陛=180°.()

因为/以8=140°,/阳9=135°,所以/4也=40°,Z67^=45°,

AAPC=AAPE+Z(7^=85°.

问题迁移：

(2)如图3,AD//BC,当点P在力、6两点之间运动时，4ADP=/a,/BCP=/6,求/。刃与Na、N£

之间有什么数量关系？请说明理由.

(3)在(2)的条件下，如果点P在46两点外侧运动时(点户与点/、B、。三点不重合)，请直接写出

乙CPD与乙a、/£之间的数量关系.

7.(2023春•全国•七年级专题练习)已知直线46〃5，尸为平面内一点，连接用、PD.

(1)如图1,已知N/=50°,ZZ?=150°,求//如的度数；

(2)如图2,判断/R瓜/CDP、N4加之间的数量关系为

(3)如图3,在(2)的条件下，APVPD,DN平■令人PDC,若4PAN^4PAB=4APD,求/AW的度数.

8.(2022春•贵州黔南•七年级统考阶段练习)综合与探究：

(1)问题情境：如图1,AB//CD,ZPAB=130°,ZPCD=120°.求，"C的度数.

小明想到一种方法，但是没有解答完：

如图2,过户作PEAB,：.ZAPE+ZPAB=180°.

，ZAPE=180°-ZPAB=180°-130°=50°.

,/ABCD.：.PE//CD.

请你帮助小明完成剩余的解答.

(2)问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：

如图3,点尸在射线上运动，AADP=Za,ABCP=Z/3.当点尸在45两点之间时,

之间有何数量关系？请说明理由.

图1

图3

9.(2023春•全国•七年级专题练习)(1)问题发现

如图①，直线AB〃CD,E是AB与AD之间的一点，连接BE,CE,可以发现：ZB+ZC=ZBEC,请你

写出证明过程；

(2)拓展探究

如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：NB+NC=360。-NBEC.

（3）解决问题

如图③，AB//DC,ZC=120°,ZAEC=80°,则/A=.（直接写出结论，不用写计算过程）

图①

10.（2023春•七年级课时练习）阅读下面材料，完成（1）〜（3）题.

数学课上，老师出示了这样一道题：

如图1,已知AB〃C£）,点瓦/分别在A3,。上，EP±FP,Z1=6O°.求N2的度数.

Abjf

CFD

图1

同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：

小明：“如图2,通过作平行线，发现N1=N3,N2=N4,由已知可以求出N2的度数.”

图2

小伟：”如图3这样作平行线，经过推理，得N2=N3=/4,也能求出/2的度数.”

.4B

Q®

图3

图4

（1）请你根据小明同学所画的图形（图2）,描述小明同学辅助线的做法，辅助线：；

⑵请你根据以上同学所画的图形，直接写出N2的度数为°；

老师：”这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广.”

请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：

（3）如图，AB〃CD,点E,尸分别在AB,CD上，FP平分NEFD,NPEF=NPDF,若NEPD=a,请探究NCFE

与ZPEF的数量关系（（用含a的式子表示），并验证你的结论.

11.（2023春•七年级课时练习）问题情境:如图1,AB//CD,ZPAB^130°,ZPCD=120°,求/APC

的度数.

A

D

图1图2图3图4

MMM

P

BtB,B,

N-N-N/D

cO'DcOco

图5备用图1备用图2

思路点拨：

小明的思路是：如图2,过户作PEAB,通过平行线性质,可分别求出NAPE、ZCPE的度数，从而可求

出/APC的度数;

小丽的思路是：如图3,连接AC,通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出-APC的度数;

小芳的思路是：如图4,延长相交。C的延长线于E,通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出

—APC的度数.

问题解决:请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的ZAPC的度数为

问题迁移：

（1）如图5,AD//BC,点户在射线31上运动，当点户在/、6两点之间运动时，ZADP=Za,

ZBCP=ZJ3.ZCPD,/«、4之间有何数量关系？请说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在46两点外侧运动时（点户与点点B、。三点不重合），请你直接写

出/CP。、/a、/间的数量关系.

12.（2023春•七年级课时练习）已知直线点4。分别在4，4上，点方在直线乙，4之间，且

ZBCN<ZBAM<90°.

①②备用图

(1)如图①，求证：ZABC=ZBAM+ZBCN.

阅读并将下列推理过程补齐完整：

过点、B作BG//NC,因为“4,

所以()

所以ZABG=/R4M,ZCBG=ZBCN()

所以ZABC=ZABG+NCBG=NBAM+NBCN.

(2)如图②，点〃£在直线4上，且ZDBC=/AW,BE平■分NABC.

求证：ZDEB=ZDBE；

(3)在(2)的条件下，如果/CBE的平分线即与直线乙平行，试确定4W与/3CN之间的数量关系,

并说明理由.

13.(2023春•七年级课时练习)已知AB//CD,定点E,尸分别在直线8上，在平行线AB,CD之

间有一动点P.

B

D

备用图1

EB

EB

D

D

备用图3

备用图2

(1)如图1所示时，试问ZAEP,NEPF,/PFC满足怎样的数量关系?并说明理由.

(2)除了（1）的结论外，试问NEPF,NPPC还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明

当NEPF满足（T<Z£PF<180。，且QE,。尸分别平分/PEB和NPFD,

①若NEP尸=60°,则NEQF=

②猜想NEP尸与/EQ尸的数量关系.（直接写出结论）

题型三：“鸡翅”型

一、解答题

1.（2021春•浙江台州•七年级统考期末）如图，已知AD1AB于点4/£〃切交8C于点£,且所，AB

于点F.

求证：NC=N1+N2.

证明：2AB于点4EFLAB于点、F,（已知）

:.NDAB=NEFB=90°.（垂直的定义）

：.AD//EF,（）

=Z1（）

,：AE//CD,（已知）

AZC=.（两直线平行，同位角相等）

,/ZAEB=ZAEF+Z2,

：.ZC=Z1+Z2.（等量代换）

2.（2023春•七年级课时练习）（1）已知：如图（a）,直线。E〃AB.求证：ZABC+NCDE=NBCD；

（2）如图（6）,如果点。在4?与切之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新

的猜想？

3.（2022•全国•七年级假期作业）已知，AE//BD,ZA^ZD.

（1）如图1,求证：AB//CD；

（2）如图2,作，54E的平分线交CO于点/，点G为AB上一点，连接尸G,若NCFG的平分线交线段AG

于点H,连接AC,ZACE=ZBAC+ZBGM,过点“作JLfH交FG的延长线于点M,且

3ZE-5ZAFH=18°,求/应1F+NGMH的度数.

4.（2023春•七年级课时练习）直线〃/%，/是4上一点，8是4上一点，直线％和直线4，4交于点「和〃

在直线切上有一点P.

（1）如果P点在C、2之间运动时，问/PAC、/APB、NPBD有怎样的数量关系？请说明理由.

（2）若点尸在a。两点的外侧运动时（尸点与点C、〃不重合），试探索/PAC、NAPB、之间的

关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）

5.（2023春•七年级课时练习）已知AM//CN,点B为平面内一点，ABI3c于B.

图1图2图3

（1）如图1,点8在两条平行线外，则NA与/C之间的数量关系为；

（2）点8在两条平行线之间，过点8作于点D.

①如图2,说明NABD=NC成立的理由；

②如图3,BF平分/DBC交DM于点、F,BE平分/ABD交DM于点、E.若

ZFCB+/NCF=180°,/BFC=3NDBE,求/EBC的度数.

题型四：“骨折”型

一、填空题

1.（2023春•全国•七年级专题练习）如图，如果/6〃朗EF//CD,则/I,Z2,Z3的关系如：

2.（2023春•全国•七年级专题练习）如图所示，AB//CD,Z£=37°,AC=20°,则/反步的度数为

3.（2023春•全国•七年级专题练习）如图，已知〃/）E,/力除80°,NCDE=\40°,则/加氏

4.(2023春•全国•七年级专题练习)如图，若ABHCD,则N1+/3-/2的度数为

二、解答题

5.(2023春•七年级课时练习)(1)如图，AB//CD,CF平分NDCE,若NaK30。，