初中数学试题分类

初中数学试题分类精编

四边形的认识与证明

(时间：100分钟满分:120分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

1.给出下列命题：①平行四边形的对边相等；②对角线相等的四边形

是矩形；③正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形；④一条对角线平

分一组对角的平行四边形是菱形.其中真命题的个数是()

A.1B.2

C.3D.4

2.如图1,在矩形ABCD中，对角线AC,BD交于点0,以下说法错误

的是()

A.ZABC=90°B.AC=BD

C.0A=0BD.0A=AD

图13.如图2,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于0,点E,F分别是

AB,BC边上的中点，连接EF,若EF=3,BD=4,则菱形ABCD的周长为()

图2A.4B.46

C.47D.28

4.若顺次连接四边形ABCD四边的中点，得到的图形是一个矩形，则

四边形ABCD一定是()

A.矩形

B.菱形

C.对角线相等的四边形

D.对角线互相垂直的四边形

5.如图3,四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E,使DE=AD,连接

EB,EC,DB.添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是()

图3A.AB=BEB.BE±DC

C.ZADB=90°D.CE±DE

图46.如图4,在aABC中，AD平分NBAC,按如下步骤作图：第一步，

分别以点A,D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两

点M,N；第二步，连接MN分别交AB,AC于点E,F；第三步，连接DE,

DF.若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是()

A.2B.4

C.6D.8

7.如图5,正方形ABCD的面积为12,aABE是等边三角形，点E在正

方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE最小，则这个最小值为

()

图5A.3B.23

C.26D.6

8.如图6,在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A,B,E在同一直线上，P

是线段DF的中点，连接PG,PC.若NABC=NBEF=60°,则PGPC=()

图6A.3B.2

C.22D.33

二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

9.边长为1的一个正方形和一个等边三角形如图7摆放，则4ABC的

面积为.

图7图810.如图8,菱形ABCD的边长为15,sinZBAC=35,则对角线

AC的长为.

11.如图9,平行四边形ABCD中，ZABC=60°,E,F分别在CD和BC

的延长线上，AE〃BD,EF±BC,EF=3,则AB的长是.

12.如图10,在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC=1：2,则

BF：BE=.

图9图1013.如图11,正方形ABCD的边长为1,以对角线AC为边作

第二个正方形ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去,

第n个正方形的边长为.

图1114.已知正方形ABC1D1的边长为1,延长C1D1到A1,以A1C1为

边向右作正方形A1C1C2D2,延长C2D2到A2,以A2C2为边向右作正方形

A2C2C3D3（如图12）,依此类推，若A1C1=2,且点A,D2,D3,…，D10

都在同一直线上，则正方形A9c9C10D10的边长是.

图12图1315.如图13,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上，

AE=3,点F是边BC上不与点B,C重合的一个动点，把AEBF沿EF折叠，

点B落在B'处，若△CDB'恰为等腰三角形，则DB'的长为.

三、解答题（共75分）

16.（8分）如图14,在平行四边形ABCD中，E,F分别是AB,DC边

上的点,且AE=CF.

图14(1)求证：△ADEg/MSBF；

(2)如果NDEB=90°,求证：四边形DEBF是矩形.

17.(9分)如图15,在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD,过

点D作DE_LAF,垂足为点E.

图15(1)求证：DE=AB；

(2)以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G,若BF=FC=1,试求

EG的长.

18.(9分)如图16,平行四边形ABCD中，AB=3cm,BC=5cm,ZB=60°,

G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F,

连接CE,DF.

图16(1)求证：四边形CEDF是平行四边形.

(2)①当AE=cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE=cm时，四边形CEDF

是菱形(直接写出答案，不需要说明理由).

19.(9分)如图17,在ZkABC中,AB=AC,NDAC是aABC的一个外角.

实践与操作：根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母(保留作图

痕迹，不写作法).

图17(1)作NDAC的平分线AM；

(2)作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F,与BC边交于点E,

连接AE,CF.

猜想并证明：判断四边形AECF的形状并加以证明.

20.(9分)两个全等的^ABC和^DEF重叠在一起，固定AABC,将4

DEF进行如下变换:

（1）如图18,Z2XDEF沿直线CB向右平移（点F在线段CB上移动），

连接AF,AD,BD,请直接写出SZ\ABC与S四边形AFBD的关系.图

18图19（2）如图19,当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为

正方形，那么aABC应满足什么条件？请给出证明.

（3）在（2）的条件下，将4DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线

上的点G处，连接CG.请你画出图形，并求出sin/CGF的值.

21.（10分）已知点E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD上的点，AF,

DE相交于点G,当E,F分别为边BC,CD的中点时，有①AF=DE；②AF_L

DE成立.

试探究下列问题：

（1）如图20,若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，但CE=DF,

上述结论①②是否仍然成立（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要

证明）？

（2）如图21,若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且

CE=DF,此时，上述结论①②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，

若不成立，请说明理由.

（3）如图22,在（2）的基础上，连接AE,EF,若点M,N,P,Q分

别为AE,EF,FD,AD的中点，请判断四边形MNPQ是矩形、菱形、正方形

中的哪一种，并证明你的结论.

图20图21图2222.（10分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有

一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.

（1）概念理解.如图23,在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边

形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.

(2)问题探究.①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是

菱形.她的猜想正确吗？请说明理由.

②如图24,小红画了一个RtZ\ABC,其中NABC=90°,AB=2,BC=1,

将Rt/XABC沿NABC的平分线BB'方向平移得到4A'B'C',连接AA',

BC'.小红要使平移后的四边形ABC'A;是"等邻边四边形”，应平移多少

(线段BB'的长)？

图23图24图25(3)应用拓展.如图25,“等邻边四边形"ABCD中,

AB=AD,ZBAD+ZBCD=90°,AC,BD为对角线，AC=2AB,试探究BC,CD,

BD的数量关系.

23.(11分)如图26,在矩形ABCD中，E为CD的中点，F为BE上的

一点，连接CF并延长交AB于点M,MNLCM交射线AD于点N.

(1)当F为BE的中点时，求证：AM=CE；

(2)若ABBC=EFBF=2,求ANND的值；

(3)若ABBC=EFBF=n,当n为何值时,MN〃BE?

图26(河南曹松峰)

圆的认识与证明

(时间：100分钟满分:120分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

图11.如图1,经过原点0的。P与x,y轴分别交于A,B两点，点C

是劣弧0B上一点，则NACB=()

A.80°B.90°

C.100°D.无法确定

2.如图2,四边形ABCD为。0的内接四边形，已知NB0D=100°,则

ZBCD的度数为()

A.50°B.80°

C.100°D.130°

图2图33.如图3,PA和PB是。0的切线，点A和点B是切点，AC是

。。的直径，已知NP=40°,则NACB的大小是()

A.60°B.65°

C.70°D,75°

4.已知圆的半径是23,则该圆的内接正六边形的面积是()

A.33B.93

C.183D.363

5.已知圆锥的底面半径长为5,侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥

的母线长为()

A.2.5B.5

C.10D.15

6.已知在。0中，AB是弦，半径0C_LAB,垂足为D,要使四边形0ACB

为菱形，还需要添加一个条件，这个条件可以是()

A.AD=BD

B.0D=CD

C.ZCAD=ZCBD

D.Z0CA=Z0CB

7.如图4,在矩形ABCD中，已知AB=4,BC=3,矩形在直线1上绕其

右下角的顶点B向右旋转90°至图4中①的位置，再绕右下角的顶点继续

向右旋转90°至图4中②的位置，依此类推，这样连续旋转2015次后，

顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）

图4A.3024nB.3019.5n

C.3018nD.2015Ji

8.如图5,AD,BC是。。的两条互相垂直的直径，点P从点0出发，

沿0-C~D-0的路线匀速运动，设NAPB=y（单位：度），那么y与点P

运动的时间x（单位：秒）的关系图是（）

图5二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

9.如图6,点A,B,C在。0上，C0的延长线交AB于点D,ZA=50°,

ZB=30°,则NADC的度数为.

图610.如图7,AB是。。的直径，弦CD_LAB,垂足为E,连接AC.若

NCAB=22.5°,CD=8cm,则。0的半径为cm.

图711.一条排水管的截面如图8所示，已知排水管的半径0A=lm,水

面宽AB=L2m,某天下雨后，水管水面上升了0.2m,则此时排水管水面宽

CD等于m.

图812.已知点P是半径为1的。0外一点，PA切。0于点A,且PA=1,

AB是。0的弦，AB=2,连接PB,则PB=.

13.如图9,AB为。。的直径，延长AB至点D,使BD=OB,DC切。0于

点C,点B是CF的中点，弦CF交AB于点E,若。。的半径为2,则CF=.

图914.如图10,在矩形ABCD中，AB=8,AD=12,过A,D两点的。0

与BC相切于点E,则。0的半径为.图1015.在以0为圆心，3为半

径的圆周上，依次有A,B,C三个点，若四边形0ABC为菱形，则弦AC所

对的弧长等于.

三、解答题（共75分）

16.（8分）如图11,A0是aABC的中线，。。与AB相切于点D.

图11（1）要使。。与AC边也相切，应增加条件；

（2）增加条件后，请你证明。。与AC相切.

17.（9分）如图12,在4ABC中，AB=AC,以AC为直径的。0交AB

于点D,交BC于点E.

图12（1）求证：BE=CE；

（2）若BD=2,BE=3,求AC的长.

18.（9分）如图13,已知4ABC内接于。0,AB=AC=a,BC=b,AE切

。。于点A,BC〃AE,在射线AE上是否存在一点P,使得以A,P,C为顶

点的三角形与AABC相似？若不存在，请说明理由；若存在，求出AP的长.

图1319.（9分）如图14,AC是。0的直径，点B在。0上，ZACB=30°.

图14（1）利用尺规作NABC的平分线BD,交AC于点E,交。0于点

D,连接CD（保留作图痕迹，不写作法）.

（2）在（1）所作的图形中，求4ABE与4CDE的面积之比.

20.（9分）如图15,OC过坐标原点，且与两坐标轴分别交于A,B

点，A点的坐标为（0,4）,M在圆上，且NBMO=120°.

图15（1）求证：AB是。C的直径；

（2）求。C的半径及点C的坐标.

21.(10分)如图16,在AABC中，BC是以AB为直径的。。的切线，

且。。与AC相交于点D,E为BC的中点，连接DE.

图16(1)求证：DE是。0的切线；

(2)连接AE,若NC=45°,求sinNCAE的值.

22.(10分)如图17,在4ACE中，CA=CE,ZCAE=30°,。0经过点

C,且圆的直径AB在线段AE上.

图17(1)试说明CE是。。的切线；

(2)若4ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示。0的直径

AB；

(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD,当12CD+0D

的最小值为6时，求。0的直径AB的长.

23.(11分)。。是AABC的外接圆，AB是直径，过BC的中点P作。

0的直径PG交弦BC于点D,连接AG,CP,PB.

(1)如图18,若D是线段0P的中点，求NBAC的度数；

(2)如图19,在DG上取一点K,使DK=DP,连接CK,求证：四边形

AGKC是平行四边形；

图18图19图20(3)如图20,取CP的中点E,连接ED并延长ED交

AB于点H,连接PH,求证：PH±AB.

(河南曹松峰)图形与变换

(时间:100分钟满分：120分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

1.下列电视台的台标，是中心对称图形的是()

2.下列四个图形中，是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个

数是()

A.1B.2

C.3D.4

3.如图1,将AABC沿BC方向平移2cm得到△DEF,若aABC的周长为

16cm,则四边形ABFD的周长为()

图1A.16cmB.18cm

C.20cmD.22cm

4.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图2所示的三种图形,

现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是()

图2A.甲种方案所用铁丝最长

B.乙种方案所用铁丝最长

C.丙种方案所用铁丝最长

D.三种方案所用铁丝一样长

5.如图3,在AABC中，ZCAB=65°,将aABC在平面内绕点A旋转到

△AB'C'的位置，使CC'〃AB,则旋转角的度数为()

图3A.35°B.40°

C.50°D.65°

6.在平面直角坐标系中，把点P(-5,3)向右平移8个单位得到点

P1,再将点P1绕原点旋转90°得到点P2的坐标是()

A.(3,-3)

B.(-3,3)

C.(3,3)或(-3,-3)

D.(3,-3)或(-3,3)

7.如图4,如果把aABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格

到达A，点，连接A'B,则线段A，B与线段AC的关系是()

图4A.垂直B.相等

C.平分D.平分且垂直

8.如图5,AB是。0的直径，AB=8,点M在。0上，ZMAB=20°,N是

MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN=1,则APMN周长的最小值为

()

图5A.4B.5

C.6D.7

二、填空题(本大题共7小题，每小题3分，共21分)

9.如图6,有一个英语单词，四个字母都关于直线1对称，请在试卷

上补全字母，在答题卡上写出这个单词所指的物品.

图610.如图7,在正方形方格中，阴影部分是所形成的图案，再将方

格内空白的一个小正方形涂黑，使得到的新图案成为一个轴对称图形的涂

法有种.

图711.把直线y-x-1沿x轴向右平移2个单位，所得直线的函数解

析式为.

12.如图8,在4ABC中，AB=2,AC=4,将Z\ABC绕点C按逆时针方向

旋转得到4A'B'C,使CB'〃AB,分别延长AB,CA'相交于点D,则线

段BD的长为.图813.如图9,在菱形ABCD中，AB=1,ZDAB=60°,

把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB'C'）,其中点C的运

动路径为CC',则图中阴影部分的面积为.

图914.如图10,在四边形ABCD中，AD〃BC,ZC=90°,E为CD上一

点，分别以EA,EB为折痕将两个角（ND,ZC）向内折叠，点C,D恰好

落在AB边的点F处.若AD=2,BC=3,则EF的长为.

图10图1115.如图11,在四边形纸片ABCD中，AB=BC,AD=CD,ZA=

NC=90°,NB=150°,将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的图形沿从

一个顶点出发的直线裁剪，剪开后的图形打开铺平，若铺平后的图形中有

一个是面积为2的平行四边形，则CD=.

三、解答题（共75分）

16.（8分）如图12,在长方形纸片ABCD中，M为AD的中点，将它沿

EF折叠（点E,F分别在边AB,CD上），使点B落在AD边上的点M处，点

C落在点N处，MN与CD相交于点P,连接EP.求证：EP=AE+DP.

图1217.（9分）如图13,在方格网中已知格点AABC和点0.

图13（1）画出4A'B'C'和△ABC关于点0成中心对称；

（2）请在方格网中标出所有以点A,0,C',D为顶点的四边形是平

行四边形的点D.

18.（9分）如图14,在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，

将4ADE沿AE对折至AAFE,延长EF交BC于点G,连接AG.

图14（1）求证：4ABG之4AFG；

（2）求BG的长.

19.（9分）如图15,在平面直角坐标系中，已知点A（3,1）,B（2,

0),0(0,0),反比例函数y=kx的图象经过点A.

图15(1)求k的值；

(2)将AAOB绕点0逆时针旋转60°,得到△COD,其中点A与点C

对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上.

20.(9分)平面内有一个等腰直角三角板(NACB=90°)和一条直线

MN.过点C作CE±MN于E,过点B作BF±MN于F.当点E与点A重合时(如

图16),易证：AF+BF=2CE.当三角板绕点A顺时针旋转到图17,图18的

位置时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段

AF,BF,CE之间又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需证明.

图16图17图1821.(10分)在正方形ABCD中，BD是一条对角线，

点P在射线CD上(与点C,D不重合)，连接AP,平移aADP,使点D移动

到点C得到ABCQ,过点Q作QHJ_BD于H,连接AH,PH.

(1)若点P在线段CD上，如图19.①依题意补全图形；②判断AH与

PH的数量关系与位置关系并加以证明.

图19(2)若点P在线段CD的延长线上，且NAHQ=152°,正方形ABCD

的边长为1,请写出求DP长的思路(可以不写出计算结果).

22.(10分)如图20,点0是正方形ABCD两条对角线的交点，分别

延长0D到G,0C到E,使0G=20D,0E=20C,然后以0G,0E为邻边作正方

形OEFG,连接AG,DE.

(1)求证：DE±AG.

(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点0逆时针旋转a角(0。

<a<360°）得到正方形0E'F'G',如图21.

图20图21①在旋转过程中，当NOAG'是直角时，求a的度数；

②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中，求AF'长的最大值和

此时a的度数，直接写出结果不必说明理由.

23.(H分)在RtZ^ABC中，ZBAC=90°,AC=AB=4,D,E分别是AB,

AC的中点.若等腰RtAADE绕点A逆时针旋转，得到等腰RtAADlEl,设

旋转角为a(0°<a^180°),直线BD1与CE1的交点为P.

(1)如图22,当a=90°时，线段BD1的长等于，线段CE1的长等于

(直接填写结果).

图22图23(2)如图23,当a=135°时,求证：BD1=CE1,且BD1_L

CE1.

(3)①设BC的中点为M,则线段PM的长为；②点P到AB所在直线

的距离的最大值为(直接填写结果).

(河南木山)相似与解直角三角形

(时间:100分钟满分：120分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

1.在Rt^ABC中，如果各边长度都扩大2倍，则锐角A的正切值()

A.扩大2倍B,缩小2倍

C.扩大4倍D,没有变化

2.在RtZ^ABC中，ZC=90°,BC=1,AB=2,则下列结论正确的是()

A.sinA=32B.tanA=12

C.cosB=32D.tanB=3

3.如图1,在直角坐标系中，有两点A(6,3),B(6,0).以原点0

为位似中心，相似比为13,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,

则点C的坐标为()

图1A.(2,1)B.(2,0)

C.(3,3)D.(3,1)

4.如图2,点P在AABC的边AC上，要判断△ABPsaACB,添加一个

条件，不正确的是()

图2A.ZABP=ZC

B.ZAPB=ZABC

C.APAB=ABAC

D.ABBP=ACCB

5.如图3,在RtZ^ABC中，ZACB=90°,CD_LAB于D,AC=22,AB=23,

设NBCD=a,那么cosa的值为()图3A.33B.63

C.22D.2

图46.如图4,已知AB,CD,EF都与BD垂直，垂足分别是B,D,F,

且AB=1,CD=3,那么EF的长是()

A.13B.23

C.34D.45

7.若正方形ABCD的边长为2,点P是直线CD上一点，若DP=1,则tan

ZBPC的值是()

A.2B.23

C.2或23D.非上述答案

8.如图5,在四边形ABCD中，DC/7AB,CB_LAB,AB=AD,CD=12AB,点

E,F分别为AB,AD的中点，则aAEF与多边形BCDFE的面积之比为（）

图5A.17B.16

C.15D.14

二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

9.若两个相似三角形的周长比为2:3,则它们的面积比是.

10.如图6,ZABC是放置在正方形网格中的一个角，则sinZABC的

值是.

图611.在AABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A,E,

F为顶点的三角形与4ABC相似，则需要增加的一个条件是（写出一个即

可）.

12.某人沿着坡度为1：3的坡面前进了10米，则他上升的最大高度

为米.

13.已知在Rt/XABC中，ZC=90°,且tanA,tanB是关于x的一元二

次方程x2+2kx+k2-3=0的两个实数根，求得k的值为.

14.如图7,机器人从A点沿着西南方向走了42个单位，到达B点后

观察到原点0在它的南偏东60°的方向上，则点A的坐标为（结果保留根

号）.

图715.如图8,在四边形ABCD中，AB=AD=6,AB_LBC,AD±CD,Z

BAD=60°,点M,N分别在AB,AD边上，若AM:MB=AN:ND=1：2,则tan

ZMCN=.

图8三、解答题（共75分）

16.（8分）在RtaABC中，ZACB=90°,CD是斜边AB上的中线，已

知BC=8,CD=5,求sinA和tanZACD.

图917.（9分）生活经验表明，靠墙摆放的梯子，如图9,当50°<

aW70°（a为梯子与地面所成的角）时，能够使人安全攀爬，现在有一

长为6m的梯子AB,试求能够使人安全攀爬时，梯子的顶端能达到的最大

高度AC（结果保留两个有效数字，sin70。40.94,sin果。^0.77,cos70°

%0.34,cos50°"0.64）.

18.（9分）如图10,在A岛周围25海里的水域有暗礁，一艘轮船由

西向东航行到0处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海

里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，若该船不改变航向继续前进，有

无触礁的危险（参考数据：2g1.414,3g1.732）?

图1019.（9分）如图11,矩形纸片ABCD,将4AMP和△BPQ分别沿

PM和PQ折叠（AP>AM）,点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠,

点C落在线段EQ上点F处.

图11（1）判断△AMP,ABPQ,ZkCQD和△FDM中有哪几对相似三角形

（不需说明理由）？

（2）如果AM=1,sinZDMF=35,求AB的长.

图1220.（9分）如图12,正方形ABCD中，M为BC边上一点，F是

AM的中点，EF1AM,垂足为F,交AD的延长线于点E,交DC于点N.

（1）求证：AABM^AEFA；

（2）若AB=12,BM=5,求DE的长.

21.（10分）如图13,在Rt^ABC中，ZACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,

动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时

动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动

时间为t秒(0<t<2),连接PQ.

图13图14(1)若4BPQ与aABC相似，求t的值；

(2)如图14,连接AQ,CP,若AQ_LCP,求t的值.

22.(10分)(1)如图15,已知NACB=NDCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,

AE=3,ZCAE=45°,求AD的长.

图15图16(2)如图16,已知NACB=NDCE=90°,NABC=NCED=N

CAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的长.

23.(11分)如图17,在AABC中，点E,P在边AB上，且AE=BP,

过点E,P作BC的平行线，分别交AC于点F,Q,记4AEF的面积为S1,

四边形EFQP的面积为S2,四边形PQCB的面积为S3.

图17(1)求证：EF+PQ=BC；

(2)若S1+S3=S2,求PEAE的值；

(3)若S3-S1=S2,直接写出PEAE的值.

(河南木山)统计与概率

(时间:100分钟满分：120分)

一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

1.如图1所示的折线图描述了某地某日的气温变化情况，根据图中信

息，判断下列说法错误的是()

图1A.4：00气温最低

B.6：00气温为24℃

C.14：00气温最高

D.气温是30℃的为16：00

2.在下列调查中，适宜采用全面调查的是()

A.了解我省中学生视力情况

B.了解某校九(1)班学生校服的尺码情况

C.检测一批电灯泡的使用寿命

D.调查台州《600全民新闻》栏目的收视率

3.为了解一路段车辆行驶速度的情况，交警统计了该路段上午7：00

至9：00来往车辆的车速(单位：千米/时)，并绘制成如图2所示的条形

统计图.这些车速的众数、中位数分别是()A,众数是70千米/时，

中位数是60千米/时

B.众数是70千米/时，中位数是70千米/时

C.众数是60千米/时，中位数是60千米/时

D.众数是80千米/时，中位数是60千米/时

图24.小明统计了他家今年5月份打电话的次数及通话时间，并列出

了频数分布表：

通话时间x/min0<x<55〈xW1010<x〈1515〈xW20频数(通话次数)

201695则通话时间不超过15min的频率为()

A.0.1B.0.28

C.0.5D.0.9

5.某村引进甲、乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时

播种并核定亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分

别为s2甲=141.7,$2乙=433.3,则产量稳定，适合推广的品种为()

A.甲、乙均可B.甲

C.乙D.无法确定

图36.如图3,有一个质地均匀的正四面体，其四个面上分别画着圆、

等边三角形、菱形、正五边形.投掷该正四面体一次，向下的一面的图形

既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是（）

A.13B.12

C.23D.34

7.已知点A,B,C,D,E,F是边长为1的正六边形的顶点，连接任

意两点均可得到一条线段，在连接两点所得的所有线段中任取一条线段，

取到长度为3的线段的概率为（）

A.14B.25

C.23D.59

8.甲、乙两布袋装有红、白两种小球，两袋装球总数量相同，两种小

球只有颜色不同.甲袋中，红球个数是白球个数的2倍；乙袋中，红球个

数是白球个数的3倍.将乙袋中的球全部倒入甲袋，随机从甲袋中摸出一

个球，摸出红球的概率是（）

A.512B.712

C.1724D.25

二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）

9.在“争创美丽校园，争做文明学生”示范校评比活动中，10位评委

给某校的评分情况如下表所示：

评分（分）80859095评委人数1252则这10位评委评分的平均数是分.

图410.某学校在“你最喜爱的球类运动”调查中，随机调查了若干名

学生（每名学生分别选了一项球类运动），并根据调查结果绘制了如图4

所示的扇形统计图.已知其中最喜欢羽毛球的人数比最喜欢乒乓球的人数

少6人，则该校被调查的学生总人数为名.

11.某工程队有14名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所

示：

工种人数每人每月工资/元电工57000木工46000瓦工55000现该工

程队进行了人员调整：减少木工2名，增加电工、瓦工各1名，与调整前

相比，该工程队员工月工资的方差（填“变小”“不变”或“变大”）.

12.用2,3,4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率

为.

13.一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的

点数，将这枚骰子连续掷两次，其点数之和为7的概率为.

14.两组数据：3,a,2b,5与a,6,b的平均数都是6,若将这两组

数据合并为一组数据，则这组新数据的中位数为.

15.有10张卡片，分别写有1〜10这十个数字，将它们背面朝上洗匀

后,任意抽出一张，记卡片上的数字为a,则关于x的不等式组4x23（x+l）,

2x-x-12三、解答题（共75分）

16.（8分）老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋,

其中装有三张分别标有数字1,2,3的卡片，卡片除数字外其余都相同，

老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字

之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片

的所有可能的结果，图5是小明同学所画的正确树状图的一部分.

图5（1）补全小明同学所画的树状图；

（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.

17.（9分）甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘

A,B分别分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如

图6）,指针的位置固定.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，

若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域

的数字之和为4的倍数，乙胜.如果指针落在分割线上，则需要重新转动

转盘.

图6（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率.

（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由.如果不公

平，请为其设计一种公平的游戏规则.

18.（9分）某校分别于2014年、2015年随机调查相同数量的学生，

对数学课开展小组合作学习的情况进行调查（开展情况分为较少、有时、

常常、总是四种），绘制成部分统计图如图7.请根据图中信息，解答下列

问题：

图7（1）a=%,b=%,“总是”对应阴影的圆心角为。.

（2）请你补全条形统计图.

（3）若该校2015年共有1200名学生，请你统计其中认为数学课“总

是"开展小组合作学习的学生有多少名？

（4）相比2014年、2015年数学课开展小组合作学习的情况有何变化？

19.（9分）（1）甲、乙、丙、丁四人做传球游戏：第一次由甲将球随

机传给乙、丙、丁的某一人，从第二次起，每一次都由持球者将球再随机

传给其他三人中的某一人.求第二次传球后球回到甲手里的概率(请用画

树状图或列表的方法给出分析过程).

(2)如果甲跟另外n(n22)个人做与(1)相同样的游戏，那么，

第三次传球后球回到甲手里的概率是(请直接写结果).20.(9分)

阅读下列材料：

2015年清明小长假，北京市属公园开展以“清明踏青，春色满园”为

主题的游园活动，虽然气温小幅走低，但游客踏青赏花的热情很高，市属

公园游客接待量约为190万人次，其中玉渊潭公园的樱花，北京植物园的

桃花受到了游客的热捧，两公园的游客接待量分别为38万人次、21.75万

人次；颐和园、天坛公园、北海公园因皇家园林的厚重文化底蕴与满园春

色成为游客的重要目的地，游客接待量分别为26万人次、20万人次、17.6

万人次；北京动物园游客接待量为18万人次，熊猫馆的游客密集度较高.

2014年清明小长假，北京晴好，北京市属公园游客接待量约为200万

人次，其中，玉渊潭公园游客接待量比2013年清明小长假增加了25%；颐

和园游客接待量为26.2万人次，比2013年清明小长假增加了4.6万人次;

北京动物园游客接待量为22万人次.

2013年清明小长假，玉渊潭公园、陶然亭公园、北京动物园游客接待

量分别为32万人次、13万人次、14.9万人次.

根据以上材料回答下列问题：

(1)2014年清明小长假，玉渊潭公园游客接待量为万人次.

(2)选择统计表或统计图，将2013-2015年玉渊潭公园、颐和园和

北京动物园的游客接待量表示出来.

21.（10分）某运动品牌对第一季度A,B两款运动鞋的销售情况进行

统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图8所示：

图8（1）一月份B款运动鞋的销售量是A款的45,则一月份B款运

动鞋销售了多少双？

（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销

售额（销售额=销售单价义销售量）.

（3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售

等方面提出一条建议.

22.（10分）小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居

住的小区450户居民的生活用水情况，他从中随机调查了50户居民的月

均用水量（单位：t）,并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图（如

图9）.

图9月均用水量（单位：t）频数百分比2Wx<324%3Wx<41224%4〈x〈55

^x<61020%6^x<712%7^x<836%8^x<924%（1）请根据题中已有的信息补

全频数分布表和频数分布直方图.

（2）如果家庭月均用水量“大于或等于4t且小于7t”为中等用水量

家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？

（3）从月均用水量在2Wx<3,8Wx<9这两个范围内的样本家庭中任

意抽取2个，求抽取出的2个家庭来自不同范围的概率.

23.（11分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同

的小球，分别标有数字0,1,2,乙袋中装有3个完全相同的小球，分别

标有数字T,-2,0,先从甲袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为x,

再从乙袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为y,确定点M(x,y).

(1)用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；

(2)求点M(x,y)在函数y=-x+l的图象上的概率；

(3)在平面直角坐标系xOy中，。。的半径是2,求过点M(x,y)

能作。0的切线的概率.

(河南木山)

参考答案

四边形的认识与证明

1.C2.D3.C4.D5.B6.D

图17.B如图1,由题意，得BE与AC交于点P.,点B与点D关于AC

对称，.,.PD=PB..,.PD+PE=PB+PE=BE最小...•正方形ABCD的面积为12,，

AB=23.又：4ABE是等边三角形，，BE=AB=23.故所求最小值为23.故选B.

图28.A如图2,延长GP交DC于点II.VP是线段DF的中点，，FP=DP.

由题意，得DC〃GF,AZGFP=ZHDP.VZGPF=ZHPD,AAGFP^AHDP.

/.GP=HP,GF=HD...•四边形ABCD是菱形，，CD=CB.，CG=CH,△CHG是等腰

三角形....PG_LPC.又ZABC=ZBEF=60°,ZGCP=600,

PGPC=tan60°=3.故选A.

9.1410.2411.112.3：513.(2)n-1

14.3827(或写成6561128)设AD2与A1D1交于点M,AlM=x，则DlM=l-x.

易证△AD1MS/\D2A1M,，D1MA1M=AD1D2AL...l-xxR....x=23,即A1M=23.

还可证得aAIMD2s△AZDZDB,A1MA2D2=A1D2A2D3.设A2c2=y,则

23y-2=2y.，y=3,即A2c2=3.同理可得A3c3=92,A4c4=274,A5C5=818,

由此规律可得AnCn=3n-l2n-2.把n=9代入得A9c9=3827....正方形

A9C9C10D10的边长为3827.

15.16或45由题意，若ACDB'恰为等腰三角形，需分三种情况讨论:

(1)当DB'=DC时,则DB'=16(易知点F在BC上且不与点C,B重

合).

(2)当CB'=CD时,VEB=EB/,CB=CB',.'.点E,C在BB'的垂直

平分线上.，EC垂直平分BB，.由折叠可知点F与点C重合，不符合题意,

舍去.

(3)如图3,当CB'=DB'时，过点B'作BzG±AB于点G,交CD

于点H.VAB/7CD,.,.B,H±CD.VCBZ=DB',.,.DH=12CD=8..,.AG=DH=8.

；.GE=AG-AE=5.在RSB'EG中,由勾股定理，得B'G=12,.,.B/H=GH-BZ

G=4.在RtZ\B'DH中,由勾股定理，得DB'=42+82.

综上所述，DB'=16或45.图316.(1)二•四边形ABCD是平行

四边形，/.AD=CB,NA=NC.又•.•AE=CF,.,.AADE^ACBF.

(2)二•四边形ABCD是平行四边形,/.AB=CD,AB#CD.VAE=CF,/.

BE=DF.四边形DEBF是平行四边形.又♦:ZDEB=90°,四边形DEBF是

矩形.

17.(1)VDE±AF,.•.NAED=90°.又•.•四边形ABCD是矩形，/.Z

B=90°,AD/7BC.AZDAE=ZAFB.XVAF=AD,AAADE^AFAB..,.DE=AB.

(2)•;BF=FC=1,.\AD=BC=2,XVAADE^AFAB,.,.AE=BF=1.

△ADE中,AE=12AD,/.ZADE=30°,DE=3.，EG的长为36”.

图418.(1)如图4,•.•四边形ABCD是平行四边形,ACF/ZED.AZ

FCG=NEDG.是CD的中点，，CG=DG.XVZCGF=ZDGE,AAFCG^AEDG.

.,.FG=EG.VCG=DG,四边形CEDF是平行四边形.

(2)①当AE=3.5时，平行四边形CEDF是矩形.(理由如下：过A作

AM_LBC于M,ANB=60°,AB=3,，BM=1.5.3四边形ABCD是平行四边形,

.,.ZCDA=ZB=60°,DC=AB=3,BC=AD=5.若AE=3.5,则DE=1.5=BM..'△MBA

g△EDC,...NCED=NAMB=90°.•四边形CEDF是平行四边形，，四边形

CEDF是矩形.)②当AE=2时，四边形CEDF是菱形(理由如下：’.飞口=5,

AE=2,.,.DE=3,XVCD=3,ZCDE=60°,是等边三角形.，CE=DE.

•••四边形CEDF是平行四边形，四边形CEDF是菱形.)

19.(1),(2)作图如图5.猜想：四边形AECF是菱形.证明如下：;

AB=AC,AM平分NCAD,；.NB=NACB,NCAD=2NCAM.：NCAD是AABC的

夕卜角，.•.NCAD=NB+NACB=2NACB....NCAMM/ACB.，AF〃CE.TEF垂直平

分AC,...OAuOC,ZA0F=ZC0E=90o..,.AOF^ACOE..,.AF=CE.在四边形AECF

中，AF〃CE,AF=CE,，四边形AECF是平行四边形.又•；EF，AC,工四边

形AECF是菱形.

图520.(1)SAABC=S四边形AFBD.

(2)AABC为等腰直角三角形，即AB=AC,NBAC=90°.理由如下：

为BC的中点，.，.CF=BF.YCFuAD,，AD=BF.又•.,AD〃BF,.•.四边形AFBD

为平行四边形.•;AB=AC,F为BC的中点，•••AFLBC....平行四边形AFBD为

矩形...•NBAC=90°,F为BC的中点,；.AF=12BC=BF.四边形AFBD为正

方形.

图6(3)画出图形如图6.由(2)知，AABC为等腰直角三角形，AF

±BC.设CF=k,则GF=EF=CB=2k.由勾股定理，得CG=5k,sinZ

CGF=CFCG=k5k=55.

21.(1)上述结论①②仍然成立.

(2)上述结论①②仍然成立.理由如下：•.•四边形ABCD为正方形，

.\AD=DC,ZADC=ZBCD=90°.VDF=CE,/.AADF^ADCE..*.AF=DE,ZAFD=

ZDEC.VZADG+ZEDC=90°,AZADG+ZFAD=90°..,.ZAGD=90°,即AF

±DE.

(3)四边形MNPQ是正方形.证明：如图7,设MQ交AF于点0,PQ交

DE于点H.•.,点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点，，MQ=PN=12DE,

PQ=MN=12AF,MQ〃DE,PQ〃AF.又AF=DE,，四边形MNPQ是菱形.又YAF

±DE,.•.NAGD=90°.NHQO=NAGD=90°.四边形MNPQ是正方形.

图722.(1)AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB(写出一个即可).

(2)①正确.理由如下：•.•四边形的对角线互相平分，，该四边形是

平行四边形.又•.•四边形是“等邻边四边形”，，该“等邻边四边形”是菱

形.②根据题意，得BB'=AA',A'B'〃AB,A'B'=AB=2,B'C=BC=1,

A'C=AC=5.(?o缤?8,当AA'=AB时;BB'=AA'=AB=2.(??)如图

9,当AA'=A'C时，BB'=AA'=A'C=5.(?#-|缤？10,当A'C=BC'

=5时,延长C'B'交AB于点D,则C'B'±AB.VBB,平分NABC,/.Z

ABBZ=12NABC=45°.，NBB'D='ZABB,=45°.：,B'D=BD.设B'

D=BD=x,则C'D=x+1,BB'=2x.•在RtZ\BC'D中，BD2+C'D2=BCZ2,

••.乂2+6+1)2=(5)2.解得乂1=1»2=-2(舍去)..・48'=2x=2.(?i「？BC'

=AB=2时，如图11,与(？#-|?理可得BD2+C'D2=BC/2,设B'D=BD=x,

则x2+(x+1)2=22.解得xl=-l+72,x2=-l-72(舍去).：.W=2x=14-22.

综上所述，应平移2或5或2或14-22.

图8图9图10图。图12(3)BC,CD,BD的数量关系为BC2+CD2=2BD2.

如图12,VAB=AD,.•.将4ADC绕点A旋转到aABF.连接CF..,.AABF^A

ADC.AZABF=ZADC,NBAF=NDAC,AF=AC,FB=CD.AZBAD=ZCAF,

ACAF=ADAB=1./.△ACF△ABD.CFBD=ACAB=2.CF=2BD.VZBAD+Z

ADC+ZBCD+ZABC=360°,AZABC+ZADC=360°-(ZBAD+ZBCD)=360°

-90°=270°.AZABC+ZABF=270°.ZCBF=900./.BC2+FB2=CF2=

(2BD)2=2BD2./.BC2+CD2=2BD2.23.⑴；F为BE的中点，，BF=EF.

•.•AB〃CD,，NMBF=NCEF,NBMF=NECF.

.,.△BMF^AECF.AMB^E.

VAB=CD,CE=DE,

Z.MB=AM./.AM=CE.

(2)i^BM=a.VABZ/CD,.,.△BMF^AECF.

VEFBF=12,，CEBM=2.，CB=2a.

/.AB=CD=2CE=4a.

/.AM=AB-BM=4a-a=3a.

VABBC=2,.\BC=AD=2a.

VMN1MC,ZA=ZABC=90°,

.,.△AMN^ABCM.

.,.ANBM=AMBC,即ANa=3a2a....AN=32a.

.,.ND=AD-AN=2a-32a=a2,

.,.ANND=32aa2=3.

(3)已知ABBC=EFBF=n,设MB=a,由(2)得BC=2a,CE=na.

当MN〃BE时，CM±BE,可证得△MBCsaBCE.

MBBC=BCCE..\a2a=2ana.AnM.

圆的认识与证明

LB2.D3.C4.C5.C6.B7.A8.B9.il。°10.4211.1.612.1或

513.2314.254

15.21或4n.如图如连接0B和AC交于点D.V四边形OABC为菱形,

.*.OA=AB=BC=OC.半径为3..•.OAMCXXB.TOARB,.•.△OAB为等边三角

形....ZAOB=60°.ANA0C=120°.劣弧AC的长度为1201X3180=2n