高中数学-单调性与最大（小）值教学设计学情分析教材分析课后反思

教学设计

一'教材分析

地位与作用：”函数的单调性”是学生掌握了函数的概念，函数的

表示方法等知识后，学习函数的第一个性质，主要刻画了函

数的变化趋势。又是函数的一个重要性质.在中学数学内容

里占有十分重要的地位.它体现了函数的变化趋势和变化特

点，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用，起着

承上启下的作用.

重点与难点：重点是函数的单调性定义理解(从形到数，从文字

语言到符号语言).难点是利用函数的单调性定义判断、证

明函数的单调性.

二'教学目标

知识目标：

(1)通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性；

(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

(3)能够熟练应用定义判断函数在某区间上的的单调性.

能力目标：

通过概念的教学，培养学生观察、联想、比较、分析、综合、抽

象、概括的逻辑思维能力，使其能体验和感悟数学的一般思维方

法.

德育目标:

通过形式化与符号化对函数单调性的描述，促使学生养成用运动、

发展、变化的观点认识世界的思维习惯.

三、学情研究

本班学生的基础和学习能力存在差异，学生在认知过程中主

要存在两方面的困难：1）把具体的、直观形象的函数单调性的特

征抽象出来，用数学符号语言进行描述。2）利用定义进行证明函

数单调性的过程中，对学生在代数方面严格推理证明能力的要求

比较高，教师应该给以适当的点拨和纠正。

在讲授函数的单调性之前，学生已经学过一次函数，二次函

数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来

的任务是对函数应该继续研究什么.从各种函数关系中研究它们

的共同属性，应该是顺理成章的，有必要的和有意义的.而且，函

数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质,

学生也容易产生共鸣.

四、教具选择

多媒体课件，通过对图形的直观体验理解概念，化解难点.

五'过程设计

问题情境：观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相

应函数的哪些变化规律：

用多媒体技术展示函数动态的变化态势，让学生对图像的各种变

化以及相关联的方面得到充分感知.从而获得丰富的表象信息，产生

众多的联想.

学生活动：学生通过充分观察提出自己意见：①随％的增大，y

的值有一定变化；②有的函数有最大值或最小值；③有的函数图

象有上升或下降的情形或具有某种对称性……

师：图1：函数图像在整个定义域上都是上升的.

图2：函数图像在(YO,0)上下降，在(0,+8)上上升.

师：引导学生讨论一个实际问题：校门口与地下车库之间的路是上坡

还是下坡？

生：有的说上坡，有的说下坡.

师：为何说法不一？

生：讨论之后形成共识：究竟上升还是下降要看方向.不然，容易产

生歧义.

师：就函数图像的上升、下降而言，以什么为参照或方向比较好？

生：以％轴的方向为参照较好.

师：图像的上升或下降表明了函数在变化中一种不变的性质.数学上

把函数的这种性质称之为“单调性”.把上升称为“单调增”，把下降

称为“单调减”.

意义建构：建构主义的学习理论认为，学习不是一个被动的吸收过程，

而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程，因此，从具

体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律.对函数的单调性

的建构有两个重要的过程：一是建构函数单调性的意义，二是通过思

维构造把这个意义用数学的形式化语言加以描述.

师：“上升、下降”是一种日常语言，这样来描述函数的性质是不够

准确的.能否用数学的语言来描述函数的这一特点呢？

生：讨论之后提出一种表示：

上升：函数y=f(x)随％的增大而增大

下降：函数尸“力随X的增大而减小

师：能否用数字化的符号给出一种定量的描述？

生：%的增大nX\<Xz，y=/(x)的增大n

故猜想上升即汨<%2=

同理：下降即/&)>,(/)

师：按刚才所说：对于函数y=V而言，因为-1<3时，f(-l)<"3),所

以函数y=f是增函数.对不对？

生：联系图像，发现问题，改进猜想.

师：总结之后给出定义.

数学理论：函数单调性定义

一般地，设函数y="x)的定义域为I,如果对于定义域

I内的某个区间D内的佳惠两个自变量两,％2,当%2时，

都有〃为)<〃当)，那么就说y=〃x)在区间D上是增函数.D

称为产f(x)的单调增区间.

注意:

①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数

的局部性质；

②必须是对于区间I内的佳喜两个自变量当X\<X2时，

总有.

思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义.

数学运用：例L根据函数图象，写出函数的单调区间：

解：（略）

点评：对于某些函数，如果能画出其图像，那么寻找函数的单调

区间就十分容易了，因此，图像法是求函数单调区间的一

种重要方法.

例2（!）函数v=工在整个定义域上是否为单调函数？2.（略）（学生分组

X

讨论）

函数在某个区间上是单调函数，并不能说明函数在整个定义域上

也是单调的.

例3、：试用函数的单调性定义证明函数f（x）=2x-5在区间（-8,+

°°）上为增函数。

根据函数单调性定义证明函数的单调性.

例4.

证明函数丁=》+工在（1,+8）上为增函数.

X

解：（略）

小结：判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f（x）在给定的区间I上的单调性的一般步骤:

①任取%1，%2$1，且为＜%2；

②作差”表一优）；

③变形（通常是因式分解，配方或有理化）；

④定号（即判断差〃XJT（XJ的正负）；

⑤下结论（即指出函数），=〃力在给定的区间I上的单调性）.

回顾反思：函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画

函数图象可以借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定

义域，单调性的证明一般分五步：

取值f作差f变形f定号f下结论

六'教后反思

⑴本节课由浅入深，由具体到抽象，符合学生的认知规律

⑵教学中，采用教师引导学生探究学习的方法，通过创设意境,

引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法

⑶从课堂反应来看，学生能熟练的通过函数的图像来判定函数的

单调性，正堂课下来，学生反应积极，达到预期效果

本节课的问题是单调性与实际生活联系的不够，在以后的教学

中多注意从学生的已有知识和生活经验出发，围绕知识目标展开教学

学情分析

1.对于函数的单调性，学生的认知困难主要是两个方面：（1）要求

用准确的数学符号语言去刻画图像的上升与下降，这种由形到数的翻

译，从直观到抽象是比较困难的（2）单调性的证明是比较困难的，

2.学生数形结合的思想方法学生理解还不够透彻

3.函数单调性是函数重要性质，是函数概念的延伸，又是函数应用的

基础。通过个别访谈，学生对函数单调性抽象概念有压力，讲解时知

识的深度不要大，数形结合，让学生积极讨论，老师引导会起到很好

的教学成果。初中学过函数的概念及图像画法、一次函数、反比例函

数、二次函数,对函数的单调性理解有初步认识，会观察函数变化趋

势，为学习函数的单调性打下了基础。

以此，应该重视学生的亲身体验，重视学生的发现过程，重视课堂问

题的设计，引导学生发现问题。解决问题。

效果分析

多数学生反馈课堂感觉良好由，有兴趣也能集中精力，能理解函

数单调性的概念，但课后解题比较困难

对于概念形成过程中出现的问题，教师做出了正确的引导并及时

进行反馈和纠正，使学生基本掌握了概念。学生做题时，教师巡视给

学生答疑解惑，增加了与学生的亲和力，充分调动了学生的积极性。

从整节课的活动过程看，有学生的观察感受，动手操作，又是生

的问答交流，合作总结，发挥了老师的引导作用，体现了学生的主体。

通过一系列的问题，激发了学生对函数单调性的探讨和学习兴趣。学

生基本掌握了运用概念判断及证明，效果较好。

教材分析

一、教材的地位与作用

《函数的单调性》系人教A版高中数学必修一第三章第2节的

内容，主要学习用符号语言刻画函数的变化趋势及简单的应用。该

内容包括函数的单调性的定义与判断及其证明。函数的单调性是函

数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一

节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合

称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、塞函数及

其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、

比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节

中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个

高中数学教学。以此，函数的单调性是高中数学核心知识之一，是

函数教学的战略要地。

二、教材内容

这节通过对具体函数图像的归纳和抽象，概括出函数在某个区间

上是增函数或减函数的准确含义，明确指出函数的增减性是相对于某

个区间来说的。教材中判断函数的增减性，既有从图像上进行观察的

直观方法，又有根据其定义进行逻辑推理的严格方法，最后将两种方

法统一起来，形成根据观察图像得出猜想结论，进而用推理证明猜想

的体系。具体安排如下：

1、以学生熟悉的一次函数和二次函数为例，给出函数的图像，

让学生从图像上获得“上升”“下降”的整体认识

2、针对二次函数给出表格用自然语言描述图像特征“上升”“下

降”，即“图像在y轴左侧下降，在y轴右侧上升。

3、运用数学符号将自然语言的描述提升到形式化的定义。

三、教学目标

1、知识与技能目标

理解函数单调性的概念，并明确函数的单调性是函数的局部性质。

学会运用函数图像理解和研究函数的性质，能够找出函数的单调区间,

并会用定义严格证明。

2、过程与方法目标

掌握用定义证明函数单调性的一般步骤，利用数形结合思想研究函数

的性质从而化难为简。通过对函数单调性的学习，初步体会知识发生、

发展、运用的过程，培养对数学的理解能力和逻辑推理能力。体会数

形结合，分类讨论和类比的思想。

3、情感态度价值观目标

引导学生参与课堂学习，进一步养成识辨和严谨的思维习惯，锻

炼探究、概括和交流的学习能力。

四、教学重点、难点

重点：理解函数单调性的概念，明确概念的内涵，用定义证明函数的

单调性。

难点：求函数的单调区间，及其证明过程

五、教法及学法

《函数的单调性》这一节课是概念课，重点在于理解函数单调性

的概

概。因而对于概念的深度剖析就非常重要，概念的本质属性以及引入

这一概念的作用都将帮助学生理解概念。因而再给出概念前要做好铺

垫工作，即根据函数图象观察走势再进行数学的严格刻画。由于该概

念是根据函数图象性质而来，因此数形结合的思想方法就显得格外重

要。在教学过程中，要注意学生第一次接触代数形式的证明，为使学

生能迅速掌握代数证明的格式，要注意让学生在内容上紧扣定义贯穿

整个学习过程，在形式上要从有意识的模仿逐渐过渡到独立的证明。

学生在学习过程中应动手操作，积极参与到教学活动中，注意概念的

本质属性理解及概念的内涵，积极思考善于观察。

测评练习

选择题

1.如图是函数y=/(x)的图象，则此函数的单调递减区间的个数是

()

y

A.1B.2C.3D.4

2.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()

尸:尸一|%+

A.y=3~xB.y=x1+lC.D.1|

3.函数〃力=*-2|的增区间是()

A.(—oo,1]B.[2,+oo)

C.(—8,1],[2,+oo)D.(—00,+oo)

4.下列函数/(x)中，满足对任意大，毛G(0,ZO),当为<X2时，都有

/(与)>〃切的是()

A./(x)=x2B./(x)=1

C.〃x)=|x|D.〃x)=2x+l

5.若函数/("=履+1为R上的增函数，则实数A的值为()

A.(-°°,2)B.(-2,+oo)

C.(-7,0)D.(0,+?)

6.函数/(x)=l-一二()

x—1

A.在(-1,+oo)上单调递增B.在(1,+oo)上单调递

增

C.在(-1,+co)上单调递减D.在(1,+co)上单调递

减

7.函数/(%)=/+2(4-4)*+2在区间(-8,3］是减函数，则实数。的取值

范围是()

A.«>-7B.«>7

C.a>3D.«<-7

8.函数y=在R上为增函数，且〃2加)>/(-机+9),则实数加的

取值范围()

A.(—oo,-3)B.(0,+oo)

C.(3,+oo)D.(-00,-3)U(3,+

00)

填空题

9.如图所示为函数y=«x),工£［-4,7］的图象，则函数人%)的单调递

增区间是.

10.函数丁=9_甸的单调减区间为

三.解答题

11.判断并证明函数〃x)=-4+1在(0,+8)上的单调性.

12.已知於）是定义在［—1,1］上的增函数，且加一2）勺（1一%）,求工

的取值范围.

课后反思

1分析概念时