高中数学-双曲线的标准方程教学设计学情分析教材分析课后反思

2.6.1双曲线的标准方程

--教学背景

1.1学生特征分析

我授课班级是胜利一中理科班，方法储备上，学生经过学习，已经基本适应高中数学学

习规律，但是学习方法还是停留在简单模仿，反复练习层次上，对知识的生成与发展，区别

与联系认识不深，缺少抽象概括及分析综合能力。

知识储备上，学生已经系统的学习了直线方程，圆的方程以及椭圆的相关知识，学生熟

知椭圆的定义，会根据题目条件求简单的椭圆的标准方程。但是由于接触学习椭圆的时间还

相对较短，对椭圆的基本性质了解不深，而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使

得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困难。把新问题转化为已解决问题的能力有待提高,

缺乏选择、调整解决问题策略的能力。

1.2教师特点分析

自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于与信息技术的整合、善于鼓励学

生，能对学生进行有效指导。

不足：课堂教学语言相对不够准确简练。

1.3学习内容分析

1、内容分析：学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的

进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以

说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习

打下基础。从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，

在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的

重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无

法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比

的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促

进。

2、试验探究：

温故：帮助学生复习椭圆的定义，提出问题。

动手试验：

（1）实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分；

2.在拉开的两边各选择一点，分别固定在点Fi，Fz上；

3.把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，画出一条曲线.

点M在运动过程中满足什么几何条件？（如图）

归纳双曲线的定义。

（2）分组探究：观看视频短片并分组探究:

记平面内两定点E|、BI,|FE|=2c,动点M在运动过程中满足||MFJ-|MF2||=2a,|QF2|=2c,

当2a与2c大小关系发生变化时，动点M的轨迹始终是双曲线吗？还有其他可能吗？

从参数变化的情况认识双曲线满足的条件，以及其他轨迹可能性，帮助学生树立分类讨论的

意识。

二.教学目标

1、掌握双曲线的定义和标准方程。

2、学生经历定义的归纳、发现，和标准方程的推导过程，进一步体会类比和数形结合

的思想方法，提高观察能力和探究分析能力。

3、在教师的指导下进行交流探索，能用联系的观点认识问题，对数学学科方法有所认

识，能对数学学科产生兴趣。

【教学重点】理解和掌握双曲线的定义及其标准方程

【教学难点】双曲线标准方程的推导

【教学方式】启发式、探究式

【辅助工具】多媒体课件，视频动画。

三.教学方法

著名数学家波利亚认为：”学习任何东西最好的途径是自己去发现。”

双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，因此在教学中采

用了“启发探究”式的教学方法，重点突出以下两点：

（1）以类比思维作为教学的主线（2）以自主探究为主要学习方式

四.教学过程

(-)复习引入

教师提问：双曲线与椭圆同为圆锥曲线，在定义上有相似之处。

椭圆的定义是什么？

学生回答:

平面内与两定点以、卜\的距离的和等于常数2a的点的轨迹是椭圆.

(二)概念探究

教师提问：平面内与两定点■、艮的距离的差等于常数2a的点的轨迹是什么呢？

设计意图：复习巩固旧知识，为引入双曲线定义作铺垫激发学生兴趣，让学生带着问题学习

1.探究一：

教师展示动手实验一一用拉链按以下步骤作图：

取一条拉链，拉开它的一部分；在黑板上选取Fz两点：

将拉链一端固定在K处，另一端与拉头之间取一点固定在七处;记拉链的另一端为F；

把粉笔放在拉头M处，随着拉链逐渐拉开，粉笔将作出一条曲线。

根据作图过程思考：动点M的轨迹是否为“到两个定点距离之差等于常数”的点的轨

迹，为什么？

学生上台操作，下面的同学观察并思考教师提出的问题。

双曲线靠近强的一支双曲线靠近F1的一支

其中科在运动过程中满足条件：

\MFI-\MF2\=\F2F\

将这两次作图合在一起，两条曲线就构成完整的双曲线

设计意图：通过学生动手操作，感受双曲线图象的形成过程，加深对双曲线的理解，提升学

生的学习兴趣，加强学生动手能力，团结协作能力。通过观察操作得出动点满足的几何条件，

提升学生分析问题、解决问题的能力，总结归纳能力。

2.探究二：

探究实验——观看短片并分组探究：

教师提出问题：

记平面内两定点尸||、尸2|，|FIF2|=2C,动点M在运动过程中满足IIMFIIL附Bll=2a,

|QB|=2c,当2a与2c大小关系发生变化时，动点M的轨迹始终是双曲线吗？还有其

他可能吗？

教师播放视频，学生观看视频并分组探究，得出结论

若2a=2c,轨迹为FR延长线和反向延长线（两条射线）

若2a>2c,轨迹不存在

若2a=0,则轨迹是线段FE的垂直平分线

设计意图：通过观看视频所展示的动点轨迹，提升学生兴趣，简化思维难度，类比椭圆定义

产生时动点轨迹的情况，进行探究，提升学生分析问题的能力，培养分类讨论的意识。进而

对双曲线满足的条件加深理解。

3.形成概念

由以上两个探究可以得出：要使动点M轨迹为双曲线，需要满足两

个条件：⑴帆用―|M《|=2a（2）0<2a<2c

学生总结双曲线定义，教师板书，强调定义重点

定义：平面内与两个定点Fl,F2的距离的差的绝对值等于非零常数

的点的轨迹叫做双曲线.

(1)两个定点Fl、F2——双曲线的焦点；

(2)|FlF2|=2c——焦距；

(3)记||MF1|-|MF2||=2a

(三)方程探究

1.推导双曲线的标准方程

教师提出问题：

类比椭圆标准方程的建立过程，如何求双曲线的标准方程呢?如何建系?化简？

为何可令”和6有没有大小关系？椭圆中。和b谁大？

椭圆分焦点在x轴上，和y轴上两种，双曲线是否也有类似情况？

焦点在y轴上的双曲线的标准方程如何求？

学生借助椭圆的推导过程，推导双曲线标准方程，并上台展示推导过程，并思考回答教师提

出的问题。

推导过程：

(1)建系：取过焦点鼻、F2的直线为x轴,取线段FE的中垂线为y轴。

(2)设点：设M(x,y)点为曲线上任意一点，•••|FE|=2c,AF.(-c,o),F2(c,0)

(3)列式：依定义得：|iMFj-lMFzlI=2a

---\MF^\=J(x+c)2+y2；\MF^\-yj(,x—c)2+y2

-J(x+c)~+y~一个(尤一c)-+厂=±2。

(4)化简：化简得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)

令c2-a2^b2

x2y2

——7T=1(a>0,b>0)

ab'

设计意图：本环节不断刺激学生回顾椭圆的标准方程的推导过程，类比说明双曲线的标准方

程推导的关键步骤。体会椭圆与双曲线的的区别与联系，同时强化求曲线方程的一般步骤。

2.双曲线的标准方程:

II1=2a(0<2a<IF)F1)

定义|MF|-|MF2|2

焦点在X轴上的图像焦点在y轴上的图像

图象

7

X2V22x2

方程j—==1(。>00>0)Jv-a=l(a>0,b>0)

a~b-

F,(-c,0)F(C,0)F.(0,-c),F(0,C)

焦点22

a.b.c的关系c2=a2+Z?2(Q>0,Z?>0)

（四）课堂练习

练习1：根据双曲线标准方程结构形式，判断以下双曲线的焦点在哪个坐标轴上，并总结

确定双曲线的焦点位置的方法。

丫2V2222222

1.—--^-=12.土-匕=13.乙-土=14.------=1

1696309755

总结：一,黄哪一个的系数为正，焦点就在哪一个轴上。

练习2：写出以上双曲线方程的焦点坐标。

学生独立完成，快速口答，相互纠正，教师指导。

设计意图：方程推导结束后，此时由于椭圆方程，双曲线方程的相似性，不少同学会将二者

混淆，且判断焦点位置的方法也需要根据实例加以落实，因此故意安排椭圆方程，双曲线方

程及变式要学生加以区分巩固。检验学生对标准方程基本形式和双曲线定义的理解程度

(五)例题探究

例题：已知双曲线的焦点为Fi卜5Q),Fz(5,0)，双曲线上一点P到F「F；的距离的差的绝对值等

于6,求双曲线的标准方程.

解：根据题意得双曲线的焦点在x轴上，

设它的标准方程为：

*-m=1(a>0,d>0)

2a=6$c=5

a=3,c=5

•••b3=5:-3:=16

所求双曲线的标准方程为：

x，y2.

——---=1

916

学生分析解题思路，教师完善，板演解答过程。

变式：双曲线3mx2-my2=3的一个焦点坐标为(-2,0).求m的值。

解：将双曲线化为标准方程得三-<=1.

mm

由一个焦点为(-2,0)得m>0,

—+—=4,解得m=l.

mm

课堂练习：

1.写出适合下列条件的双曲线的标准方程

1)a=4，b=3，焦点在x轴上.

管：双曲线的标准方程为

-广--->-,*=J1

169

2)a=而»c=4，焦点在坐标轴上.

答：・・・ft:=c2-a:=16-15=l

二标准方程为JL=1或=1

1)15

2.方程x2/,表示双曲线，求m的取值范围.

-----------=1

2-冽冽+1

a

分析：得一1<相<2由(2—m)(机+1)>0

学生独立完成，快速口答，相互纠正，教师指导。

设计意图：通过例题和练习，检测学生对方法掌握情况。加深对双曲线标准方程的理解，加

深对待定系数法的理解，规范解题过程。

（六）课堂小结

学生自己说，教师做必要补充

教师提问：请同学们回顾一下，本节课有哪些知识点？

学生自己说，教师做必要补充

1=2a(0<2a<|FiF|)

定义||MFI|-|MF2|2

焦点在x轴上的图像焦点在y轴上的图像

Y

图象

/。弋,X

2222

方程[-4=1(。>00>0)4—==1(“>0，〃>0)

a2b2a2b2

(-c,0),F(C,0)F,(0,-c),Fz(0,c)

焦点2

a.b.c的关系c2=a2+b2(tz>0,/?>0)

设计意图：通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位

和应用，培养学生养成对所学知识及时总结提炼的习惯，不断提升自己。通过学生口述，检

测学生课堂知识的掌握情况。

（七）课后作业

作业：

必做：课本P141练习ATl,T2,练习BTl,T3

思考：当0"<a<180°时，表急+总=1示什么图形?

设计意图：针对本节课的教学重点：理解双曲线定义和会求简单双曲线的标准方程，设计作

业题，帮助学生落实课程要求。

(八)板书设计:

双曲线的定义及其标准方程

、双曲线的定义二、双曲线的标准方程学生展示：

定义：推导方法：

说明：方程：例题展示：

五.课后反思

本节课是高中数学人教B版(2019)选择性必修第二章第六节《双曲线的标准方程》。本

节课从生活实例引入，借助短片激发学生学习双曲线的兴趣，再以生活实例为切入口，通过

学生动手操作，实现双曲线的作图，分析双曲线满足的几何条件。再借助动画呈现出不同条

件下的轨迹变化，引导学生合作探究，学生为主，教师为辅，由学生提出问题，探究问题，

给出答案。培养学生分类讨论的意识。类比椭圆，推导和认识双曲线的标准方程，锻炼学生

的运算能力和类比能力通过练习加深对双曲线标准方程的理解。例题的选取体现了本节课的

重点，考察了同学们对双曲方程的认识水平.

通过课堂小结总结加深巩固，课后作业难易得当。课后随机调查了几个学生的掌握情况，

比预期的效果要好。

不足之处：教师在引导学生探究问题的过程中还是不够放手，稍显着急。

学情分析

前面已经学习了椭圆的标准方程，本节课与上一节课的研究顺序和方法基本相同，学生

也有了一定的研究经验。主要有以下两个方面：

L通过观察实例，在老师指导下动手操作，探究双曲线的定义。

2.结合椭圆标准方程的整理过程，运用对比类推的思想由学生自己尝试得到双曲线标准方程。

考察计算能力的同时也考察大家对上节课学习内容的掌握情况。

效果分析

本节课主要从一些生活中常见到的双曲线模型，引导学生通过动手操作，类比椭圆从而

得到双曲线定义，进一步得到双曲线标准方程。本节课主要采用学生为主，教师为辅的探究

模式，由学生提出问题，探究问题，给出答案。很大的调动了学生学习的兴趣，使得抽象的

数学问题生活化。

标准方程的化简考察了大家对复杂代数式子整理的能力，由学生到黑板前展示作业，并

且由其余的学生参与改错加深印象并及时发现学生的问题;例题有教师演示强化大家对定义

的认识，并强调书写格式和步骤。通过课堂小结总结加深巩固，课后作业分必做和选做，对

不同层次的学生有不同的要求。课后随机调查了几个学生的掌握情况，比预期的效果要好。

教材分析

本节课是高中数学人教B版(2019)选择性必修一第二章第六节双曲线的标准方程。本节

内容在进一步研究双曲线性质的基础，在圆锥曲线中有着重要的作用。

本节课是在前面已学曲线方程、椭圆的标准方程的基础作为学习的出发点，类比椭圆，

结合有关的实物操作和视频动画过程性展示，探究出双曲线的定义和标准方程。本节课的学

习对培养学生类比推理、运算化简能力、探究问题能力起到重要作用。

评测练习

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1.焦点分别为（-2,0），（2,0月经过点（2,3）的双曲线的标准方程为（）

A'=l民工_产=]0•==]D•二—£=]

3azJa22

2.以原点为中心，焦点在y轴上的双曲线c的一个焦点为F（0,2々），一个顶点为

八（0「2），则双曲线C的方程为',

3.双曲线3*：-产=12的焦点坐标是，

A-（±2vT0）B.@±2々）C-（±4.0）D-（0.±4）

二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）

4.已知双曲线M_4》：=16上一点即到一个焦点的距离等于2,则点即到另一个焦

点的距离为一.

5.