任意角+高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

§2任意角第一章三角函数对比：初高中“角”的概念角(高中)：射线OA绕着端点O从起始位置OA按一定方向旋转到终止位置OB，形成∠AOB.始边终边角(初中)：有公共端点的两条射线构成的几何图形.思考1：如何刻画圆周运动中的动点位置？圆周运动是一种常见的周期性变化现象.PAO圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的圆周运动;1.如何刻画点P的位置变化？

是什么引起点P的变化？始边OA旋转角α的度数旋转方向(逆时针)终边OPP为射线OP与圆的交点α思考2：如何刻画圆周运动？圆周运动是一种常见的周期性变化现象.圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的圆周运动;1.如何刻画点P的位置变化？

是什么引起点P的变化？始边OA旋转角α的度数旋转方向(逆时针)终边OPP为射线OP与圆的交点2.如何描述点P逆时针旋转了一周半？射线OP逆时针旋转了540°扩大角的范围任意角生活中的任意角时钟慢了1小时10分钟，校准时分针要___时针旋转____°顺420体操运动员单手侧空翻转体540°体操运动员前空翻转体720°主动轮逆时针旋转80°被动轮顺时针旋转80°旋转的方向旋转的度数新知1：任意角的定义正角：负角：一条射线绕其端点顺时针旋转形成的角.如：α=﹣540º，α=﹣120º.一条射线绕其端点逆时针旋转形成的角.如：α=60º，α=425º.零角：一条射线没作任何旋转.(零角的始边与终边重合)任意角已知一条射线的起始位置OA：巩固：任意角的定义①经过过1小时，时针旋转形成的角为30°.()②终边与始边重合的角是零角.()③小于90°的角是锐角.()[练习1]判断正误：顺时针旋转30°，即为﹣30°始边终边重合的角可为0°,360°,720°,-360°等，即k·360°小于90°的角可为45°，-120°，0°等；锐角是大于0°小于90°的角.[注]①在不引起混淆的情况下，“角

”或“∠

”可以简写成“

”;

②角的表示：A，B，C，…或α，β，θ，…;

③角的“±”表示旋转方向：“﹢逆﹣顺”

(与﹣互为相反角);

④角的加法：规定，把角α的终边旋转角β，

此时终边对应的角是α+β.

⑤角的减法：α－β=α+(﹣β)[教材答疑][教材P7思考交流]已知角α为锐角，则角α的终边与α＋180°，α－180°，180°－α终边的几何关系分别是什么？

当角α为锐角，则角α＋180°的终边与α的终边关于原点对称，见图1；角α－180°的终边与α的终边关于原点对称，见图2；角180°－α的终边与α的终边关于y轴对称，见图3.当角α是任意角，它们的关系同上．新知2：象限角的定义我们通常在直角坐标系内讨论角。使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴非负半轴重合，则角的终边在第几象限，就说该角是第几象限角。如：α=﹣130°的终边在第三象限，则α是第三象限角.

锐角是第一象限角，钝角是第二象限角.角的终边在坐标轴上，则认为此角不属于任何一个象限,称为轴线角.[练习1]已知A={第一象限的角},B={锐角},C={小于90º的角},则下列正确的是()A.A=B=CB.B∪C=AC.A∩C=BD.B∪C=CD新知3：终边相同的角思考：在直角坐标系中，给定一个角，则该角对应的终边唯一确定；反之，若给定终边位置OB，则该终边对应的角唯一吗？与45°终边相同的角为_________45°+k·360°(k∈Z)yxo45°与角α终边相同的所有角组成的集合：

例2.写出终边在y轴上的角的集合.①终边在y轴正半轴的角的集合:②终边在y轴负半轴的角的集合:则终边在y轴上的角的集合:[变式1]写出终边在x轴上的角的集合.[变式2]写出终边在直线y=x上的角的集合.巩固：象限角与终边相同的角第一象限角：第二象限角：第三象限角：第四象限角：[练习3]若角α的终边在如图所示的阴影部分(包括边界)，请指出角α的取值范围.思考：写出如图所示阴影部分(包括边界)的角α的范围．解析：(1)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(1)阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°≤α≤45°＋k·360°，k∈Z}．(2)因为与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与360°－60°＝300°角终边相同的角可写成300°＋k·360°，k∈Z的形式，所以图(2)阴影部分的角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．DCyx二等分逆时针标1-4三等分思考1：在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为_

___(错误说法的序号都写上)．①③④

C思考3：如果θ为小于360°的正角，θ的4倍角的终边与θ的终边重合，求θ的值．解：依题意知4θ＝k·360°＋θ，∴θ＝k·120°.又∵0°<θ<360°，∴