新教材2024高考数学二轮专题复习分册一专题四立体几何第一讲空间几何体的表面积与体积截面与交线-小题备考微专题2与球有关的切接问题

微专题2与球有关的切、接问题常考常用结论1．球的表面积S＝4πR2，体积V＝πR3.2．长方体、正方体的体对角线等于其外接球的直径．3．n面体的表面积为S，体积为V，则内切球的半径r＝.4．直三棱柱的外接球半径：R＝，其中r为底面三角形的外接圆半径，L为侧棱长，假如直三棱柱有内切球，则内切球半径R′＝.5．正四面体中，外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径R＝a(a为正四面体的棱长)，球心原委面的距离为内切球的半径r＝a，因此R∶r＝3∶1.1．表面积为8的正四面体的外接球的表面积为()A．4πB．12πC．8πD．4π2．[2024·山东泰安模拟]将半径为4，圆心角为π的扇形围成一个圆锥(接缝处忽视不计)，则该圆锥的内切球的表面积为()A．2πB．3πC．D．4π3．[2024·湖南常德二模]在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是线段A1C1的中点，若四面体MABD的外接球体积为36π，则正方体棱长为________．2.(1)若棱长均相等的正三棱柱的体积为16，且该三棱柱的各个顶点均在球O的表面上，则球O的表面积为()A．B．C．6πD．(2)[2024·福建泉州联考]已知正四棱台的高为1，下底面边长为2，侧棱与底面所成的角为45°，其顶点都在同一球面上，则该球的体积为()A．B．C．8πD．36π技法领悟1．确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．2．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何学问找寻几何中元素间的关系求解．3．补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体．[巩固训练2](1)[2024·江苏南京二模]直角三角形ABC中，斜边AB长为2，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为，则AC长为()A．B．1C．D．(2)[2024·江西鹰潭一模]直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，其侧面积是8，若该直四棱柱有外接球，则该外接球的表面积的最小值为________．微专题2与球有关的切、接问题保分题1．解析：设正四面体的棱长为a，则依据题意可得：a2×4＝8，解得a＝2；该正四面体的外接球与棱长为2的正方体的外接球的半径相等，又正方体的外接球半径为，故该正四面体外接球的表面积S＝4π×()2＝12π.故选B.答案：B2．解析：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，由题意可得l＝4，由2πr＝4π，所以r＝2.因为l＝2r，圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，该等边三角形(如图)的内切圆半径为圆锥内切球半径R，而等边三角形的边长为4，故R＝＝，故S＝4πR2＝π.故选C.答案：C3．解析：设该正方体的棱长为a，设四面体MABD的外接球的半径为R，∵πR3＝36π，∴R＝3.如图，取BD的中点H，可得H是下底面ABCD的中心，设四面体MABD的外接球的球心为O，在正方体ABCDA1B1C1D1中，∴MH⊥平面ABCD，即MH⊥平面ABD，则点O在MH上，连接OA，∵MH＝a，OH＝MH－R＝a－3.∵AH＝a，OA＝R＝3，OA2＝AH2＋OH2，∴32＝(a)2＋(a－3)2，∵a>0，∴a＝4，即正方体棱长为4.答案：4提分题[例2](1)解析：设该正三棱柱棱长为x，底面三角形的外接圆半径为r，则sin60°·x2·x＝16，∴x＝4，则底面三角形的外接圆的半径为r＝x×＝.设三棱柱的外接球O半径为R，则R2＝r2＋()2＝＋4＝，S表＝4πR2＝4π×＝.故选D.(2)解析：设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为r1，r2，连接AC，如图，过A1作AC的垂线垂足为E，过C1作AC的垂线垂足为F，因为正四棱台的高为1，下底面边长为2，侧棱与底面所成的角为45°，可得AE＝CF，EF＝A1C1＝2，即r1＝1，r2＝2，设球心到上下底面的距离分别为d1，d2，球的半径为R，可得d1＝，d2＝，故|d1－d2|＝1或d1＋d2＝1，即||＝1或＝1，解得R2＝5，符合题意，所以球的体积为V＝πR3＝π.故选B.答案：D答案：B[巩固训练2](1)解析：如图，设AC＝m，因为AB＝2，所以BC＝＝，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为R，所以4πR2＝，解得R＝，设外接球的球心为O，则球心在直线AC上，所以4－m2＋(m－)2＝，解得m＝.故选D.(2)解析：因为直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，且它有外接球，所以其底面是正方形，设直四棱柱ABCDA1B1C1D1底面边长为a，侧棱长为h，则其侧面积为4ah＝8，故