2024新高考数学基础知识梳理与课本优题目巩固-模块03-二次函数、一元二次方程及不等式的解集

2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块03-二次函数、一元二次方程及不等式的解集模块三：二次函数、一元二次方程及不等式的解法1、一元二次方程的解集及其根与系数的关系(1)一元二次方程的解集利用配方法,总可以将ax2+a其中Δ=1)当Δ=b22)当Δ=b23)当Δ=b22、一元二次方程根与系数的关系当一元二次方程ax2+x3、二次函数的图象与性质CONEXHISK解析式一般式:y=ax2一般式与顶点式互化:yaa图象对称轴直线x顶点−增减性x<−b2a时,y随x增大而减小x>−bx<−b2a时,y随x增大而增大x>−b最值当x=−b2a当x=−b2a4、二次函数在闭区间上最值二次函数y=ax2+bx+其中对称轴x0=−b2a,区间(1)(2)(3)(4)(1)若x0<p(2)若p≤−b2a(3)若x0≤−b(4)若q≤−b2a5、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系ΔΔΔy=ax2+有两个不相等的实数根x没有实数根ax2+ax6、分式不等式解法(1)fxgx(2)fxgx7、绝对值不等式解法(1)三角不等式:a−(2)绝对值不等式的解法:1.ax+2.ax+b>cc4.ff8、一元二次不等式恒成立问题2.在某范围内恒成立1.在R上恒成立一元二次不等式在R上恒成立问题的题型及求解策略一元二次不等式a对任意实数x恒成立的条件aa>0aa>0aa<0aa<0解决一元二次不等式在某范围内恒成立问题,可结合二次函数的图象进行求解.设fx1)确定形如当a≤x≤b时,fx2)确定形如当a≤m≤b时,fx9、一元二次方程根的分布(1)一元二次方程根的0分布方程的根相对于零的关系:比如二次方程有一正根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根分布在零的两侧.0分布结合判别式,韦达定理以及0处的函数值列不等式,即可求出参数的取值范围。(2)一元二次方程根的k分布分布情况两根都小于k即x两根都大于k即x一根小于k，一大于k即x大致图象a得出的结论2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固分布情况两根都小于k即x两根都大于k即x一根小于k，一大于k即x大致图象a得出的结论(2)一元二次方程根在区间上的分布分布情况两根都在m,两根仅有一根在m,一根在m,n内，另一根在p大致图象a得出的结论大致图象a得出的结论【课本优质习题汇总】新人教A版必修一P556.如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45∘方向(第6题)处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450 km以内的地区都将受到影响.据以上预报估计,从现在起多长时间后,该码头将受到热带风暴的影响,影响时间大约为多长(精确到新人教A版必修一P586.当k取什么值时,一元二次不等式2kx2+新人教A版必修一P589.如图,居民小区要建一座八边形的休闲场所,它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛,造价为4200元/m2;在四个相同的矩形(图中阴影部分)上铺花岗岩地坪,造价为210元/m2;再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪,造价为80元/m2.设总造价为S(单位:元),AD长为新人教A版必修一P1004.已知函数fx=4x2新人教A版必修一P1557.设函数fx=ax2+bx+新人教A版必修一P15613.有一道题“若函数fx=24ax2由f−1f所以,实数a的取值范围是−1上述解答正确吗?若不正确,请说明理由,并给出正确的解答.新人教B版必修一P53(2)已知方程x2−22x(1)x12x(3)已知关于x的方程x2−2x(5)你知道吗?配平化学方程式其实可以通过解方程组来完成.例如,Mg在O2中燃烧生成MgOx其中x,x令y=1,则2用这种方法配平化学方程式()新人教B版必修一P60(1)已知方程x2−3x+1(1)x13+(1)已知关于x的方程x2+2新人教B版必修一P75(5)求关于x的不等式x2新人教B版必修一P81(2)已知不等式ax−1>x+(3)已知a∈1,(4)已知A={x∣(3)已知x2−2mx+m(2)已知−x2+ax+新人教B版必修一P81(10)已知关于x的不等式2x−ax−2新人教B版必修一P81(2)已知使不等式x2+a−1x−新人教B版必修一P851.已知a,b,c是△ABC的三边长,关于x的方程1(1)判断△ABC(2)若a,b为关于x的方程x22.已知关于x的方程x2−mx3.已知α和β是方程x2+2x(2)已知fx=mx2−m新人教B版必修一P127(1)求证:方程x4−4x(2)已知fx=x−1x−m,不等式(3)设函数fx=3x2(4)已知关于x的方程x2−m(5)已知函数fx=2m+1模块四：函数的概念与性质 1、函数的概念(1)函数的概念:一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:集合A到集合B的一个函数(function),记作y其中所有输入值x组成的集合A叫作函数y=fx的定义域;所有输出值y(2)函数的三要素:定义域、值域、对应关系1)函数的定义域:分母0;偶次被开方数0;0次幂的底数y=sinx、y实际问题应考虑实际限制。2)函数的值域:函数值域要综合函数定义域和函数单调性.如图,函数fx是定义在[a,b尝试与发现函数Dx(3)同一函数:(1)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同.(2)同一函数的判断:一看定义域一定义域不同,则两函数不是同一个函数二看对应关系一对应关系不同,则两函数不是同一个函数三定结论一只有定义域和对应关系都相同,两函数才是同一个函数2、函数的表示方法1.解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.○用三种方法表示函数的注意事项1.解析法必须注明函数的定义域;2.列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系;3.图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”.2.图象法:以自变量x的值为横坐标,与之对应的函数值fx为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点x,f3.列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值.3、分段函数值域(最值)、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论;分段函数是一个函数,其定义域是各段定义域的_______、值域是各段值域的4、复合函数的定义域若已知fx的定义域为[a,b],则fgx中g2)已知fgx的定义域,求若已知fgx的定义域为[m,n],则由3)已知fgx的定义域,求若已知fgx的定义域,先由x的取值范围,求出gx的取值范围,即fx中的x的取值范围,即hx的取值范围,再根据h5、函数的单调性(1)函数单调性的判断设x1,x(1)x1−x(2)x1−x(3)如果f′x>0,则fx为 函数;(4)复合函数的单调性:根据“同”异””来判断原函数在其定义域内的单调性.(2)自变量大小与函数值的大小关系1)函数fx单调递增:x1<x2(3)函数单调性常用结论1)y2)y=ka4)函数的运算与单调性若函数fx,gx在区间在公共定义域内:有以下性质:1)fx与f2)当a>0时,fx与afx具有相同的单调性;当a<3)若fx恒为正值或恒为负值,则当a>0时,fx与afx具有相反的单调性;当4)若fx≥0,则f5)当fx,gx都是增(减)函数时,若两者都恒大于零,则fx5)复合函数的单调性:6、函数的最大值与最小值(1)最大值与最小值的定义○对函数最值的理解最大值最小值一般地,设函数y=fx的定义域为I,如果存在实数M条件ff∃x0结论M是函数y=M是函数y=几何意义fxfx1.最值首先是一个函数值,即存在一个自变量x0,使得f2.对于定义域内的任意元素x,都有fx≤fx03.使函数fx4.不是所有函数都有最值,要根据给定区间进行确定.最值点也可能并不唯一。(2)总结求函数最大值与最小值的方法7、函数的奇偶性(1)函数奇偶性定义●温馨提示定义等价形式偶函数一般地,设函数fx的定义域为1,如果∀x∈I,都有−x奇函数一般地,设函数fx的定义域为I,如果∀x∈I,都有−x若fx≠0,则f−x1.函数fx2.若奇函数fx在x=0处有定义,则f3.若fx为偶函数,则fx(2)对函数奇偶性的理解1)奇函数⇔f偶函数⇔f2)函数的奇偶性是整体性质,函数的单调性是局部性质.3)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称.(3)奇、偶函数图象的特征1)函数y=fx2)函数y=fx(4)奇、偶函数图象的单调性1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.可简记为“奇同偶异”.2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.(5)常见奇函数(1)fx=ax−(4)fx=tanx(6)fx(6)fx7(6)常见偶函数(1)fx=ax7、函数的周期性(1)fx=fx+a,则fx(2)fx+a=−fx(3)fx8、函数的对称性(1)y=fx的图象关于直线 (2)y=fx的图象关于直线 (3)fx关于点Aa,b○周期性与对称性的关系若函数y=fx的图像关于直线x=a推论:偶函数y=fx图像关于x=a注:以上结论请证明一下!9、函数对称性与函数周期性相关结论(理解本质,熟记结论,熟练应用!)类型一:对函数对称性的理解(理解并熟记)(1)关于一个函数图象的对称轴与对称中心(你能理解其中的本质意义么?)(1)函数y=fx满足fa+fa+x特别的:y=fx+a(3)函数y=fx满足fa+(4)函数y=fx满足fa+(5)fa+x特别的:y=fx+a(2)几个初等函数的对称:(1)二次函数fx=a(2)简单分式函数fx=ax(3)三次函数fx=a(其中x0是f′′x0=0的根;f′类型二:函数的周期性(1)周期函数的定义和简单性质(1)对于函数y=fx,若存在一个常数T≠0,使得当x取遍其定义域内的一切直时,都有f(2)周期函数的定义域是无界的.(3)若TT≠0是函数y=f(4)周期函数y=fx的周期有无数多个,若这些周期中存在最小正值T,则T叫做函数y(2)周期函数的常用结论(以下总假定函数fx的定义域是无界的)(写出周期,并证明)(1)若函数y=fx恒满足fa(2)若函数y=fx恒满足fa+x(3)若函数y=fx恒满足fa(4)若函数y=fx恒满足fa(5)若函数y=fx恒满足fa(6)若函数y=fx恒满足fa(7)若函数y=fx的图象有两条相邻的对称轴x周期T(8)若函数y=fx的图象有两个相邻的对称中心A周期T(9)若函数y=fx的图象有对称中心Aa,周期T(10)若函数y=fx是偶函数,还有与坐标原点相邻的对称轴x周期T(11)若函数y=fx是偶函数,与y轴相邻的对称中心A周期T(12)若函数y=fx是奇函数,与坐标原点相邻的对称轴是x周期T(13)若函数y=fx是奇函数,与坐标原点相邻的对称中心A周期T(说明:上述结论在理解中记忆并熟练应用)类型三:关于两个函数图象的对称轴与对称中心(图象的变换)(1)函数y=fx的图象←关于.辅对称→(2)函数y=fx的图象←关于y轴对称→(3)函数y=fx的图象←关于直线x(4)函数y=fa+x的图象↔(5)函数y=fx的图象←关于原点0(6)函数y=fx的图象←关于点a(7)函数y=fx的图象←关于点a(8)函数y=fa【课本优质习题汇总】新人教A版必修一P7413.函数fx=[x]的函数值表示不超过x的最大整数,例如,[−3.5]=−415.如图所示,一座小岛距离海岸线上最近的点P的距离是2 km,从点P沿海岸正东12(1)假设一个人驾驶的小船的平均速度为3 km/h,步行的速度是5 km/h,t(单位:h)表示他从小岛到城镇的时间,x(单位:km)表示此人将船停在海岸处距点P的距离.请将t(2)如果将船停在距点P4 km处,那么从小岛到城镇要多长时间(精确到0.1(第15题)新人教A版必修一P8712.已知函数fx是偶函数,而且在0,+∞上单调递减,判断fx13.我们知道,函数y=fx的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=fx为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数(1)求函数fx(2)类比上述推广结论,写出“函数y=fx的图象关于y新人教A版必修一P964.图(