某中学高二（上）期末数学试卷（16班）

一中高二(上)期末数学试卷(16班)

姓名:年级:学号:

题型选择题填空题解答题判断题计算题附加题总分

得分

评卷人得分

一、选择题(共8题，共40分)

n3n

1、定义在R上的可导函数f(x)满足f(1)=1,且2产(x)>1,当X£[-5,2]时，不等式f(2cosx)

3x

>N-2sin2,的解集为()

n

A.(3,T)

B.)

C.(0,)

D.(-,)

【考点】

【答案】D

111

【解析】解：令g(x)=f(x)-2X-2,则g，(x)=fz(x)-2>o,

・••g(x)在定义域R上是增函数，

11

且g⑴=f⑴-2-2=0,

-*.g(2cosx)=f(2cosx)-cosx=f(2cosx)-cosx,

令2cosx>1,

1

则g(2cosx)>0,即f(2cosx)>2+cosx,

n3n

又...X£[-2,2],且2cosx>1

n

x£(-3,),

故选：D【考点精析】通过灵活运用基本求导法则和利用导数研究函数的单调性，掌握若两个函数可

导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导；一般

的，函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间&种内，(1)如果，'(力>0,那么函数/.人»在

这个区间单调递增；(2)如果/那么函数在这个区间单调递减即可以解答此题.

r2y2

2、已知F为双曲线八b==1(a>0,b>0)的右焦点，定点A为双曲线虚轴的一个顶点，过F,A的直线与

双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B,若凡4=(也7)AB,则此双曲线的离心率是()

A.

B.点

C.2

D.4

【考点】

【答案】A

bxy

【解析】解：设F(c,0),A(0,-b),渐近线方程为尸心，则直线AF的方程为厂5=1,与尸x联立

acbe

可得B,

...易二(西7)AB^

*,•(-c,-b)=(-1)(,+b),

*'•-c-(-1),

c

/.e=o=,

故选：A.

3、平行四边形ABCD中，AB.BD=Qf沿BD将四边形折起成直二面角A-BD-C,且2||2+||2=4,则三棱

锥A-BCD的外接球的表面积为()

n

A.2

n

B.4

C.4n

D.2n

【考点】

【答案】c

【解析】解：平行四边形ABCD中，，AB_LBD,

沿BD折成直二面角A-BD-C,

•••将四边形折起成直二面角A-BD-C,

二平面ABDJ•平面BDC，三棱锥A-BCD的外接球的直径为AC,

，AC2=AB2+BD2+CD2=2AB2+BD2,

,.-2||2+||2=4,

.,.AC2=4

•••外接球的半径为1,

故表面积是4n.

故选：C.

4、已知直线丫=1»<(kGR)与函数f(x)=+2(V>°)的图象恰有三个不同的公共点，则实数k的取

值范围是()

3

A.(2,+oo)

B.(一，-2)U(2,+8)??

C.(…，-2)

D.(2,+8)

【考点】

【答案】D

【解析】解：当x>0时，如图：设切点为(a,f(a)).(x)=x,

|a2+2

解得a=2,

.,.k=f,(2)=2,

1

当k>2时，且x>0,y=kx与y=2x2+2有两个交点,

1

当xVO时，y=kx,与y=3-(4)总有一个交点，

+〃2

5、已知人=J®x2dx,数列｛an｝是各项均为正数的等比数列，则门的最小值为()

A.

B.2

C.6

D.6

【考点】

【答案】D

【解析】解：..•X=Wx2dx=（/%l0x9,数列｛an｝是各项均为正数的等比数列,

+痛2+9a2。19'+9。楣q2+9g

.,.q>0,且。3=。3==~q-=q+a彳=6.

当且仅当q=,即q=3时，取最小值为6.

故选:D.

【考点精析】认真审题，首先需要了解等比数列的通项公式（及其变式）（通项公式：

）.

6、如图，网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（）

A.6

1

B.3

C.1

4

D.3

【考点】

【答案】D

【解析】解：由题意，原几何体为三棱锥，如图所示.P

点P在底面ABC上的射影与ACB组成正方形.

114

V=JXJX2X2X2=J

故选：D.

【考点精析】解答此题的关键在于理解由三视图求面积、体积的相关知识，掌握求体积的关键是求出

底面积和高；求全面积的关键是求出各个侧面的面积.

10i

7、复数z=#7(i为虚数单位)的虚部为()

A.1

B.3

C.-3

15

D.T

【考点】

【答案】B

3W(3T)

【解析】解：•••Z—3+i=(3+t)(3T)—'十复数(i为虚数单位)的虚部为3.

故选：B.

【考点精析】解答此题的关键在于理解复数的乘法与除法的相关知识,掌握设

.则

8、下列选项中，说法正确的是()

logia>logib

A.若a>b>0,贝2

B.向量。=(Lm)，b=(ni,2?n-l)(meR)共线的充要条件是m=o

C.命题“？nWN*,3n>(n+2)?2n-1"的否定是"？nWN*,3n2(n+2)?2n-1"

D.已知函数f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)?f(b)<0,则f(x)在

区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题

【考点】

【答案】D

【解析】解:对于A,因为函数在(0,+8)是减函数,故错；对于B,向量a=(l，m)力=(m,2?n-l)

(mGR)共线=1X(2m-1)=mXm=m=1,故错；

对于C,命题“VnEN*,3n>(n+2)»2n-1"的否定是"VnCN*,3nW(n+2)-2n-1",故错；

对于D,命题“若f(a)叶(b)<0,则f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点”的逆命题为："f

(x)在区间(a,b)内有一个零点“，则f(a)-f(b)<0：因为f(a)-f(b)》0时，f(x)在区间

(a,b)内也可能有零点，故正确；

故选：D【考点精析】根据题目的已知条件，利用命题的真假判断与应用的相关知识可以得到问题的

答案，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的

真假性没有关系.

二、填空题(共4题，共20分)

9、已知向量。，》的夹角为3且。.（a-b）=1,1。1=2,则|川=.

【考点】

【答案】3

【解析】解：根据条件：；4-2向十”

:0=3.

所以答案是：3.

n37r

10、将函数f（x）=sin3x（其中3>0）的图象向右平移彳个单位长度，所得图象经过点（不，0）,则

3的最小值是.

【考点】

【答案】2

n

【解析】解：将函数y=sinu）x（其中3>0）的图象向右平移工个单位长度，所得图象对应的函数为y=sin3

（x-）.

3nn

再由所得图象经过点（4，0）,可得sin3（-）=sin2w=0,

/.3二kn,k£z.

故3的最小值是2.

所以答案是：2.

【考点精析】关于本题考查的函数y=Asin（3x+。）的图象变换，需要了解图象上所有点向左（右）

平移阚个单位长度，得到函数了=皿°«+*的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到

原来的田倍（纵坐标不变），得到函数了=£皿（血+程）的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长

（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数了=4皿11（弧+程）的图象才能得出正确答案.

11、已知数列｛I若f（a4）=9,/.f（-1）=9..1.f（1）=-9

则f（a1）+f（a2017）=2f（a1）=-18.

所以答案是：-18.

【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式，需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用

一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案.

12、若方程|X2-2X-1|-t=0有四个不同的实数根x1,x2,x3,x4,且x1<x2Vx3<x4,则2

（x4-x1）+（x3-x2）的取值范围是.

【考点】

【答案】（W,8+2）

【解析】解：如图，由|x2-2x-1|-t=0得到：t=|（x-1）2-2|,则0<t<2..,.2<2+t<4.0<2-t

<2.

.•.4<4#+t<8,0V242T<2,

/.4<4+2<8+2.

二.方程|x2-2x-1|-t二0有四个不同的实数根x1,x2,x3,x4,x1<x2<x3<x4,

.'.x1+x4=x2+x3=2,x1・x4=-1-t,x2*x3=-1+t,

.'.2(x4-x1)+(x3-x2)

二2伍了产

=4+2,

/.4<2(x4-x1)+(x3-x2)<8+2.

故答案是：(4,8+2).

【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的零点与方程根的关系的相关知识，掌握二次函数的零点：

(1)A>0,方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点；(2)A=0,

方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点；

(3)A<0,方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.

三、解答题(共6题，共30分)

r2y2

E:—+-J=l(a>b>0)

13、如图，椭圆Mb2，的左焦点为F1,右焦点为F2,过F1的直线交椭圆于A,B

两点，4ABF2的周长为8,且AAFIF2面积最大时，Z\AF1F2为正三角

(1)求椭圆E的方程；

(2)设动直线I：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究：①以

P0为直径的圆与x轴的位置关系？②在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存

在，求出M的坐标；若不存在，说明理由.

【考点】

【答案】

⑴解：•「△ABF2的周长为8,「.4a=8,.\a=2.

又当AAFIF2面积最大时为正三角形，，A(0,b),a=2c,，c=1,b2=3,

x2y2

---1---=1

椭圆E的方程为4r3

y=kx+m

｛《+J1

(2)解：①由43,得方程(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0

由直线与椭圆相切得mWO,△=0,=4k2-m2+3=0.

4k3

求得「(一方百)，Q(4,4k+m),PQ中点到x轴距离

9m32122k2

d~=(2k+y+而)G|PQ|)-=(-j^—1)>0(4k2—m2+3=0=>zn=2k)

所以圆与x轴相交.

②假设平面内存在定点M满足条件，由对称性知点M在x轴上，设点M坐标为M(x1,0),

t4k3一

MP=(一方一巧,R，MQ=(4-Xp4fc+m)

由MP,MQ=0,得(4X1—4)记+*/—44+3=0

2

,4x1-4=x1-4x1+3=0(即Xu

所以定点为M(1,0).

【解析】(1)利用椭圆的定义、等边三角形的性质即可得出；(2)①判断圆心到x轴的距离与半径的大

小关系即可得出；②假设平面内存在定点M满足条件，则由对称性知点M在x轴上，再利用直径所对的圆

周角是直角即可求出.

【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：

—z-+^-z-=l(a>b>0)

ab,焦点在y轴:才能得出正确答案.

14、如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1B=B1A=AB=BC,NB1BC=90°,D为AC的中点,

AB±B1D.

(1)求证：平面ABB1A1_L平面ABC；

(2)在线段CC1(不含端点)上，是否存在点E,使得二面角E-B1D-B的余弦值为14?若存在,

CE

求出西的值，若不存在，说明理由.

【考点】

【答案】

(1)证明：取AB中点为0,连接0D,0B1.

因为B1B=B1A,所以0B1-LAB.

又AB_LB1D,0B1nB1D=B1,所以AB_L平面B10D,

因为ODu平面B10D,所以AB_LOD.

由已知，BC±BB1,又OD〃BC,

所以0D_LBB1,因为ABDBBkB,

所以OD_L平面ABB1A1.

又ODu平面ABC,所以平面ABCJ■平面ABB1A1

(2)解：由(1)知，OB,OD,0B1两两垂直.

以0为坐标原点，的方向为x轴的方向，||为单位长度1,建立如图所示的空间直角坐标系0-xyz.

由题设知B1(0,0,^),B(1,0,0),D(0,1,0),A(-1,0,0),C(1,2,0),C1(0,

2,).

；.BlD=(0,1,-),8凡a,。，-),

BEBCCE

设”=入。的，(0〈入<1),^ll=l+=(1-入，2,同"1)),

设平面BB1D的法向量血=(x,y,z),

{Tn■B[D=y—^z=0

则=@=O,取z=i,得二(国国1),

设平面B1DE的法向量八=(x,y,z),

In-B^D=y—^z=0

闻+1)

则n•BiE=(1—A)x+2y+0(2-1)=0

取z=1,得=(J,,1),

_£

•••二面角E-B1D-B的余弦值为14,

尝+3+11

|n・m|

O小(詈)2二=_/,

cos<n，"l>|=-|n|7m|=-

1

解得X=3,

CE

•••在线段CC1（不含端点）上，存在点E,使得二面角E-B1D-B的余弦值为，且西=.

4人

【解析】（1）取AB中点为0,连接0D,0B1.推导出0B1_LAB,ABLB1D,从而ABL平面B10D,进而AB10D.再

求出BC_LBB1,0D±BB1,从而0D_L平面ABB1A1.由此能证明平面ABC_L平面ABB1A1.（2）以0为

坐标原点，的方向为x轴的方向，||为单位长度1,建立如图所示的空间直角坐标系0-xyz.利用向量法

求出在线段CC1（不含端点）上，存在点E,使得二面角E-B1D-B的余弦值为，且=.

【考点精析】认真审题，首先需要了解平面与平面垂直的判定（一个平面过另一个平面的垂线，则这两

个平面垂直）.

sinB+sinC2—cosB-cosC

15、已知a,b,c为AABC的内角A,B,C的对边，满足一丽~=益数，函数f（x）:sin3x

(3>0)在区间［0,引上单调递增，在区间［,n］上单调递减.

(1)证明：b+c=2a；

n

(2)若f(9)=cosA,试判断aABC的形状.

【考点】

【答案】

sinB+sinC2-cosB-cosC

(1)证明：-sinA-cosA,

/.sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA化简得sin(B+A)+sin(C+A)=2sinA,

由A+B+C=n,则sinC+sinB=2sinA,

由正弦定理得，b+c=2a

n

(2)解：(x)=sina)x(u)>0)在［0,句上递增，在［,n］上递减，

1n27r47r3

.二473,贝I］T=3=3,解得co=2,

3

则f(x)=sin2‘，

1

—n—3*—n—n—

(9)=sin(29)=sjn6=cosA,则cosA=2,

又b+c=2a,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,

.,.a2=(b+c)2-3bc,则a2=bc,

联立b+c=2a得，b=c-a,

••.△ABC是等边三角形

【解析】(1)根据两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子，由正弦定理可得b+c=2a；(2)根据题

意和正弦函数的单调性求出周期，由周期公式求出3的值，化简f。=cosA,求出cosA的值，利用条

件和余弦定理列出方程，化简后联立方程求出a、b、c的关系，可判断出aABC的形状.

【考点精析】掌握余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道余弦定

理：箫=吩+cJ—TbccmA；产=，+—TcacosB；c?=a3-2abcosC.

(x+a)lnx

16、设f(x)=x+1(a£R)在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0垂直.

(1)若对于任意的xG[1,+8),f(x)Wm(x-1)恒成立，求实数m的取值范围；

(2)设函数g(x)=(x+1)f(x)-b(x-1)在[1,e]上有且只有一个零点，求实数b取值范围.

【考点】

【答案】

(三1/nx)(x+l)-(x+a)lnx

(1)解:f，(x)=(x+1)2,

•.,y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x+y+1=0垂直，

1

*(1)=2,

2(1+a)

4=,r.l+a=1,解得a=0.

xlnx

f(x)=X+1,

若对于任意的x£[1,+°°),f(x)Wm(x-1)恒成立，

1

即InxWm(x-x,

设g(x)=lnx-m(x-),

即对于任意的x£[1,+°°),g(x)WO,

1-mx+x-m

g'(x)=-m(1+L)=,

①若mWO,g'(x)>0,则g(x)2g(1)=0,这与题设g(x)WO矛盾.

②若m>0,方程-mx2+x-m=O的判别式△=1-4m2,

当△・()，即m2时，g，(x)W0.

.,.g(x)在(1,+8)上单减，

・・・g(x)Wg(1)=0,不等式成立.

当OVmV时，方程-mx2+x-m=0,设两根为x1,x2,(x1Vx2),

1-^/1-4m21+Jl-4m2

x1=-2m-e(0,1),x2=2nie",+oo),

当xG(1,x1),g，(x)>0,g(x)单调递增，g(x)>g(1)=0,与题设矛盾，

综上所述，m》

(2)解：因为g(x)=xlnx-b(x-1),注意到g(1)=0

所以，所求问题等价于函数g(x)=xlnx-b(x-1)在(1,e］上没有零点.

因为g'(x)=lnx+1-b,

所以由g'(x)<0«lnx+1-b<0«=>0<x<eb-1,

g'(x)>0<=>x>eb-1

所以g(x)在(0,eb-1)上单调递减，在(eb-1,+oo)上单调递增.

①当eb-1W1,即bW1时，g(x)在(1,e］上单调递增，所以g(x)>g(1)=0

此时函数g(x)在(1,e］上没有零点，

②当1<eb-1<e,即1<b<2时，g(x)在［1,eb-1)上单调递减，在(eb-1,e］上单调递增.

又因为g(1)=0,g(e)=e-be+b,g(x)在(1,e］上的最小值为g(eb-1)=b-eb-1

e

所以，(i)当1VbW=时，g(x)在［1,e］上的最大值g(e)

即此时函数g(x)在(1,e］上有零点.

(ii)当<bV2时，g(e)<0,即此时函数g(x)在(1,e］上没有零点.

③当eWeb-1即bN2时，g(x)在［1,e］上单调递减，

所以g(x)在［1,e］上满足g(x)<g(1)=0,

此时函数g(x)在(1,e］上没有零点

综上，所求的a的取值范围是b《1或Vb

【解析】(1)求函数的导数，根据导数的几何意义即可得到结论.求a的值；将不等式恒成立转化为求函

数的最值，求函数的导数，利用导数进行求解即可；(2)将条件转化为函数g(x)=xlnx-a(x-1)在(1,

e］上没有零点，即可得到结论.

【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的，函数的单

调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间日与内，(1)如果「(力>。，那么函数/在这个区间单调

递增；(2)如果那么函数7在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，

了解求函数在以同上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数在内的极值；(2)将函数的各极值与端点处的

函数值/Ta),虫&)比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.

%=1+cosa

。1：｛v=sin^a--

17、在直角坐标标系xoy中，已知曲线y4(a为参数，aER),在以原点。为极点，x

轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位)，曲线C2：psm(e+彳)=一"7,曲线C3：

P=2cose.(I)求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；

(ID设A,B分别为曲线C2,C3上的动点，求|AB|的最小值.

【考点】

x=1+cosa

G：,…Ja-2工

【答案】解：(I)曲线