专题1-2 二次根式（运用整体思想解题的技巧）解析版-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲（人教版）

专题1-2二次根式（拓展提升，运用整体思想解题的技巧）1.（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）若，则代数式的值为（

）A．7 B． C． D．5【答案】D【分析】本题考查代数式求值，二次根式的混合运算，完全正确平方公式．能够灵活运用完全平方公式是解答本题的关键．将代数式化简为，然后再代入求解即可．【详解】解：∵∴．故选：D2.（22-23八年级下·江苏·期末）已知，则的值为（

）A． B．4 C． D．【答案】B【分析】将化为，将，代入值进行计算即可得到答案．【详解】解：，，，故选：B．【点睛】本题主要考查求代数式的值，将式子进行配方以及采用整体代入法是解题的关键3.（21-22八年级下·四川成都·期末）已知，，则的值为．【答案】【分析】根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．【详解】解：∵，，∴原式====故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分4.（23-24八年级下·河南商丘·阶段练习）已知，则．【答案】【分析】本题考查了完全平方公式的合理运用，将，完全平方展开后有共同的式子是解决问题的关键．【详解】解：，，，．故答案为：5.（22-23八年级下·广东湛江·期中）已知：，求，的值．【答案】，【分析】先利用完全平方公式得到，由此求出，再根据完全平方公式求出的值即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键6.（20-21八年级下·河南商丘·期末）（1）先化简，再求值：，其中；（2），，求的值．【答案】（1），；（2）15【分析】（1）先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，最后代入求值．（2）由a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，得到a﹣c＝4，再都变成完全平方公式的形式，然后三式相加即可求出．【详解】解：＝[]•＝•＝•＝，当时，原式＝（2）∵a﹣b＝2+，b﹣c＝2﹣，∴a﹣b+b﹣c＝4，即a﹣c＝4，∴（a﹣b）2＝7+4，（b﹣c）2＝7﹣4，（a﹣c）2＝16，即a2﹣2ab+b2＝7+4，①b2﹣2bc+c2＝7﹣4，②a2﹣2ac+c2＝16．③①+②+③得，a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+a2﹣2ac+c2＝30，即2（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac）＝30，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝15．【点睛】本题考查分式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握分式混合运算的运算顺序（先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的）和计算法则是解题关键．7.（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化：（1）先利用分母有理化法则求出，进而得到，，再根据完全平方公式的变形求解即可；（2）根据进行求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，，，，∴；（2）解：．8.（2022春•庐阳区校级期中）已知：，，求（1）的值；（2）的值．【分析】先分母有理化得到，，再计算出，，的值，接着把变形为，把变形为，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：，，，，，（1）；（2）．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．9.（2022春•东营区校级月考）已知，，求：（1）求的值；（2）求的值．【分析】（1）先利用完全平方公式得到，然后把的值代入计算即可；（2）先计算出与的值，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1），；（2），，，，．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．10.（2021春•孝义市期中）已知，．求的值．【分析】先计算出与的值，再通分和利用完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：，，，，．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．11．（2021春•西丰县期中）已知，，求代数式的值．【分析】先计算出的值，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：，，，．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．12．（2021春•建阳区期中）已知，，求下列代数式的值：（1）；（2）．【分析】先计算出与的值，（1）利用平方公式得到；（2）利用完全平方公式得到，然后分别利用整体代入的方法计算．【解答】解：，，，，（1）；（2）．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．13．（2021春•钟祥市期中）已知，，求下列各式的值：（1）．（2）．【分析】（1）先计算出与的值，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算；（2）把变形为，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1），，，，；（2）．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．14．（2020春•田东县期中）已知，，求代数式的值．【分析】先计算出与的值，再利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：，，，，．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．15．（2023秋•长沙期末）已知，，求下列各式的值；（1）；（2）．【分析】（1）先计算出和的值，再把分解因式，然后利用整体代入的方法计算；（2）先计算出，再通分，则根据完全平方公式得到原式，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：（1），，，，；（2），，，原式．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．16．（23-24八年级上·山西吕梁·阶段练习）阅读下列材料，完成下列任务．小丽在数学资料上看到这样一道题：已知，求代数式的值．解：∵，∴，∴，∴，∴，∴．任务：(1)在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是（

）A．平方差公式

B．完全平方公式C．因式分解

D．单项式与多项式的乘法(2)在材料解答的过程中，主要用的思想方法是（

）A．整体与化归思想

B．方程思想C．分类讨论思想

D．数形结合思想(3)已知，求的值．【答案】(1)B(2)A(3)【分析】本题考查了完全平方公式的应用，整体代入法求代数式的值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键．（1）根据变形时用到了可知用到的数学知识是完全平方公式；（2）由可知用了整体代入法；（3）由得，两边平方后用整体代入法求解即可．【详解】（1）在材料解答过程中，主要用了我们学过的数学知识是完全平方公式．故选B；（2）在材料解答的过程中，主要用的思想方法是整体与化归思想．故选A；（3）∵，∴．∴，∴，∴，∴，∴的值为．17．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）在课外学习活动中，小明遇到一道题：已知，求的值．他是这样解答的：，所以．所以，即．所以所以．小明的解题过程运用了二次根式化简的方法和整体思想，请你参考他的解题过程，解决如下问题：(1)______；(2)化简：；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，仿照材料方法解决问题．（1）根据已知材料的方法分母有理化即可；（2）将每个加数分母有理化，再合并即可；（3）仿照材料的方法解答即可．【详解】（1）解：，故答案为：；（2）解：；（3）解：，，，即，．18．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边．阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，，∴，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2．请根据阅读材料解答下列问题(1)若正数x，则的最小值为______．(2)若正数a，b满足，，n为的最小值，求；(3)若正数a，b满足，若不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据材料2即可求解；（2）先根据分式的性质以及恒等式变形求得的值，再根据负指数幂即可求解；（3）根据题意可得，进而解不等式组，即可求解．【详解】（1）解：∵∴的最小值为故答案为：．（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴（3）∵正数a，b满足，∴∵不等式恒成立，∴∴①或②∴解不等式组①无解，解不等式组②得【点睛】本题主要考查了不等式恒成立与最值关系的转化，二次根式的性质化简，分式的加减运算，负整数指数幂，理解题意，利用好不等式的性质是解题的关键19．（20-21八年级上·江苏南通·阶段练习）《见微知著》读到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展重要途径，是思想阀门发现新问题、结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．例如：，求证：证明：左边：波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征：阅读材料二基本不等式（，），当且仅当时等号成立时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下的，当x为何值时，有最小值，最小值是多少？解：∵，，∴，即，当且仅当，即时，有，最小值为2，请根据阅读材料解答下列问题：（1）已知，求下列各式的值：①____________②____________（2）若，求的值；（3）已知长方形的面积为9，求此长方形周长的最小值；（4）若正数a、b满足，求的最小值．【答案】（1）①1；②1；（2）5；（3）12；（4）【分析】（1）