高中数学6.1.2空间向量的数量积同步练习教师版苏教版选择性必修第二册

6.1.2空间向量的数量积一、单选题1．下列各命题中，不正确的命题的个数为（

）①

②

③

④A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【分析】利用平面对量数量积的运算性质及运算律可推断①③，利用数乘向量的结合律可推断②，利用数量积的意义及相等向量推断④作答.【解析】由向量数量积的运算性质知，①正确；由数乘向量的结合律知，②正确；因，③正确；都表示两个非负实数，表示与共线的向量，表示与共线的向量，即与不愿定相等，④不正确.故选：D2．在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为．其中正确的命题有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．0个【答案】B【分析】依据空间向量的垂直和异面直线所成的角求解即可【解析】解：对于①，所以①正确；对于②，，所以②正确；对于③，因为∥,分别为面的对角线，所以,所以与的夹角为，所以③错误故选：B【点睛】此题考查空间向量垂直和异面直线所成的角，属于基础题3．若向量垂直于向量和，向量，，且，则A． B．C．不平行于，也不垂直于 D．以上都有可能【答案】B【分析】依据平面对量垂直的定义和数量积运算的性质，即可推断．【解析】解：向量垂直于向量和，则，，又向量，所以，所以．故选：．4．在正三棱柱中，若，则在上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】如图建系，求得各点坐标，可得，依据投影向量的求法，代入公式，即可得答案.【解析】过作，分别以为x，y，z轴正方向建系，如图所示，设正三棱柱的棱长为2，则，所以，所以在上的投影向量为.故选：B5．已知空间向量，，，，且与垂直，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依据已知可得，依据数量积的运算律即可求出，进而求出结果.【解析】因为与垂直，所以，即，所以.又，所以.故选：D.6．三棱锥中，，，，则等于A．0 B．2 C． D．【答案】A【解析】依据所给的条件把三棱锥底边上的向量写成两条侧棱的差，进行数量积的运算，这样应用的边长和角都是已知的，得到结果．【解析】解：因为，即，所以故选：．【点睛】本题考查平面对量的数量积的运算，本题解题的关键是把未知量转化为已知量，用侧棱做基底表示未知向量，属于基础题．7．已知空间向量满意，，则与的夹角为（

）A．30° B．45°C．60° D．以上都不对【答案】D【分析】设与的夹角为θ，由，得，两边平方化简可得答案【解析】设与的夹角为θ，由，得，两边平方，得，因为，所以，解得，故选：D.8．正方体的棱长为1，为棱的中点，则有（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由空间向量数量积的运算律对选项逐一推断，【解析】对于A，，故A错误，对于B，，故B正确，对于C，平面，则，故C错误，对于D，，，由垂直关系化简得，故D错误，故选：B9．已知为两两垂直的单位向量，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依据向量数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果.【解析】由题意知：，，，.故选：B.10．已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（

）A．5 B．6 C．4 D．8【答案】A【分析】利用向量的数量积公式即可求解.【解析】如图，平行六面体中，向量、、两两的夹角均为，且，，，.，故选：A.11．在棱长为1的正方体中，设，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由正方体的性质可知、、两两垂直，从而对化简可得答案；【解析】解：由题意可得，，所以，，所以，，所以，故选：B12．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满意，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解【解析】分别取BC，AD的中点E，F，则，所以，故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，，又，所以，，所以的取值范围为．故选：D．二、多选题13．设，为空间中的随意两个非零向量，下列各式中正确的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】依据空间向量数量积的定义与运算律一一推断即可；【解析】解：对于A：，故A正确；对于B：因为向量不能做除法，即无意义，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确；故选：AD14．三棱锥中，两两垂直，且，下列命题为真命题的是（

）A． B．C．和的夹角为 D．三棱锥的体积为【答案】ABC【分析】依据空间向量数量积的运算性质，结合棱锥体积公式逐一推断即可.【解析】A：，因为两两垂直，所以，而，所以，本命题是真命题；B：，因为两两垂直，所以，因此，本命题是真命题；C：，因为两两垂直，所以，所以，，因为相互垂直，所以，而，所以，，因为相互垂直，所以，而，所以，设和的夹角为，因为，所以因此本命题是真命题；D：，因为两两垂直，所以，所以，，因为相互垂直，所以，而，所以，，因为两两垂直，且，所以三棱锥的体积为：，因此本命题是假命题，故选：ABC15．已知为正方体，则下列说法正确的有（

）A．；B．；C．与的夹角为；D．在面对角线中与直线所成的角为的有8条【答案】ABD【分析】画出图形，利用向量的运算结合正方体的性质逐项推断.【解析】如图所示：A.由向量的加法运算得，因为，所以，故正确；B.正方体的性质易知，所以，故正确；C.因为是等边三角形，且，所以，则与的夹角为，故错误；D.由正方体的性质得过的面对角线与直线所成的角都为，这样有4条，然后相对侧面与之平行的对角线还有4条，共8条，故正确；故选：ABD16．定义空间两个向量的一种运算，，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有A．B．C．D．若，，，，则【答案】AD【解析】和须要依据定义列出左边和右边的式子，再验证两边是否恒成立；由定义验证若，且，结论成立，从而得到原结论不成立；依据数量积求出，，再由平方关系求出，的值，代入定义进行化简验证即可．【解析】解：对于，，，，，故恒成立；对于，，，，故不会恒成立；对于，若，且，，，，，，，明显不会恒成立；对于，，，，，即有．则恒成立．故选：．三、填空题17．已知四面体棱长均为，点，分别是、的中点，则___________.【答案】【分析】依据数量积的运算律及定义计算可得.【解析】解：因为点，分别是、的中点，所以，，，，所以.故答案为：18．设空间中有四个互异的点A､B､C､D，若，则的形态是___________.【答案】等腰三角形【分析】由，利用向量的减法和数量积运算求解.【解析】解：因为，所以，则，即，所以的形态是等腰三角形，故答案为：等腰三角形19．如图，在三棱锥中，两两垂直，，，为的中点，则的值为______.【答案】##0.5【分析】依据空间向量基本定理，用基地向量表示,进而依据数量积的运算律即可求解.【解析】由题意得，故．故答案为：20．已知空间单位向量，，，，，则的最大值是___________.【答案】【分析】向量，，，平移共起点O，终点在半径为1的球面上，令，，求出与的夹角，借助几何图形确定与夹角的最小值即可计算作答.【解析】因，，，是空间单位向量，则把向量，，，平移到以O为起点，终点在半径为1的球面上，如图，由得，解得，，同理，令，，则有，且，平方解得，，于是得绕向量所在直线旋转一周得圆锥的侧面，绕向量所在直线旋转一周得圆锥的侧面，明显，由此得，，视察图形知，当，旋转到在平面内，且都在内时，向量与的夹角最小，令此最小角为，因此，，，，所以的最大值是.故答案为：【点睛】方法点睛：空间两个向量夹角为一确定的锐角时，先将二向量平移到共起点，并将其中一个向量固定，另一向量运动可形成一圆锥的侧面，再借助几何图形的直观性解决问题.四、解答题21．已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点.(1)用表示，并求出；(2)求证：.【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）由向量加法的三角形法则表示，再把平方即可得到答案.（2）用表示，然后证明.（1）因为点是的重心，所以因为点是线段的中点，所以.因为正四面体的棱长为，所以,所以，所以.（2），所以.22．如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)0【分析】（1）记，利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得；（2）利用基底表示所求向量，依据数量积运算律计算可得.（1）记，则：，，，，，即有；（2）．23．如图所示，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点．计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】确定向量的模与向量的夹角，再运用向量的数量积运算即可.（1）因为，由题意，可知，所以，所以.（2）.（3）由题意，可知，.（4）.24．已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，．(1)求，为邻边的平行四边形的面积S；(2)求，夹角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用算出答案即可；（2）分别求出、、的值即可.【解析】（1）依据条件，，∴；∴；（2）；，；∴.25．如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，．(1)用向量、、表示、；(2)求；(3)推断与是否垂直．【答案】(1)，(2)(3)垂直【分析】依据向量的线性运算法则和向量的数量积的运算公式，精确运算，即可求解.(1)解：依据空间向量的运算法则，可得，.(2)解：依据空间向量的运算法则和数量积的运算公式，可得，则.(3)解：依据空间向量的运算法则，可得；则，所以与垂直．26．如图所示，点是矩形所在平面外一点，且平面，，分别是，上的点，且，为的中点.（1）求满意的实数，，的值；（2）若，，求的长.【答案】（1），，；（2）.【分析】（1）取的中点，连接，利用几何图形中各线段所代表的空间向量，结合空间向量加减法的几何意义将转化为的线性表达式，即可知，，的值；（2）由已知条件，结合（1）的结论求的模，即为的长.【解析】（1）取的中点