高三数学二轮培优微专题36讲09.三变量极值点偏移

三变量极值点偏移我们通常遇到的极值点或极值点偏移问题多以二元为主，其实已经很困难了，但近来我遇到了几道三元的极值点问题，此处想简要的总结一下三极值点问题中的一点处理技巧，其实通过这些例题你会发觉，三变量问题往往可能是个纸老虎，因为通常其中一个变量是一个已知数，只是你须要找到它的详细值，或者其中两个变量之间存在关系，当然这些都须要你的积累和总结.基本原理两个重要的三变量命题函数先介绍两个函数：，.这两个函数的零点要留意，首先，确定是一个零点，其次，当满意确定条件时，还会再有两个零点出现，并且，这两个函数有一个很重要的特点，若，则有，这就意味着剩下的两个零点会有隐含关系：，这个关系在解决相关多极值点问题时至关重要！要留意特别的零点，比如上面两个函数中的特别点，换句话说，有的多元极值点问题就是个纸老虎，会有个别极值点（零点是可求）.留意一些可能的极值点偏移情形：假如上述可得：，当时，会有两个零点且（下面例1会证明）.二．典例分析例1.已知函数（1）若有三个零点，求的取值范围；（2）设的三个零点分别为，求证：.（3）设的三个零点分别为，求证：.解析：（1）若有三个零点，则.（2）依题.同时，需留意于是，由可得：，同除，且留意到，可得：.（3）依题.同时，需留意于是，由可得：，同除，且留意到，可得：.例2．已知函数．(1)求函数的极值；(2)当时，记在区间的最大值为，最小值为．已知．设的三个零点为，求的取值范围．解析：（1），令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减，当时取得极大值，，当时取得微小值，，所以的极大值为，微小值为.（2）因为，所以在上单调递减，上单调递增，，因为，，所以，，解得，设，令，所以，，，在上单调递减，当，所以的取值范围为.例3.已知函数.自己设置一个送分的小问；若有三个极值点，为，且，求的取值范围.提示：有一个极值点，所以此题只是一个纸老虎（2）解析：，对函数，设上一点为，过点的切线方程为，将代入上式得，所以过的的切线方程为，.所以，要使与有两个交点，则，此时有两个极值点，且.，，，令，则，所以，所以，即所以，令，，易知在上恒成立（见第一章）.所以在上恒成立.所以在上递增.，所以当时，，所以的取值范围是.例4.设函数.（1）当时，证明：；（2）已知恰好有个极值点.（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：.解析：（ⅰ）由于故（ⅱ）证明：此时有，设，则只需证明，求导得，所以在上单调递增，留意得到，所以，所以只需证明，事实上，上式等价于成立，所以原不等式得证.例5.已知函数，其中．（1）求的极值；（2）设函数有三个不同的极值点．（i）求实数的取值范围；（ii）证明：．解析：（1）由题可得，∴在单调递增，∵，∴时，时，∴在单调递减，在单调递增，∴，无极大值；（2）（ⅰ），由题可知有三个不同的正实根，令，则，令，有三个不同的正实根、、，，∴有两个不同的正实根，∴∴，设的两个不同的正实根为m、n，且，此时在和单调递增，单调递减，又∵，∵，且，∴有三个不同的正实根，满意题意，∴a的取值范围是；（ⅱ）令、，由（ⅰ）知，且、为的正实根，，令，则，∴在单调递减，在单调递增，令，则∵，∴，令，，∴在单调递增，∴，∴在单调递减，∵，∴，∵，∴，∵在单调递增，∴，∴.例6.（金华十校）已知函数