2024年高中数学专题6-8计数原理全章综合测试卷基础篇教师版新人教A版选择性必修第三册

第六章计数原理全章综合测试卷（基础篇）一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2024秋·福建龙岩·高二阶段练习）某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,一同学从中选1门,则该同学的不同选法共有（

）A．7种 B．12种 C．4种 D．3种【解题思路】依据题意求出全部的可能性即可选出结果.【解答过程】解:由题知某校开设A类选修课4门,B类选修课3门,共7门,故该同学的不同选法共有7种.故选:A.2．（5分）（2024春·云南昆明·高二阶段练习）若3An3−6AA．5 B．8 C．7 D．6【解题思路】干脆依据排列数公式和组合数公式列式解方程即可得答案.【解答过程】解：∵3A∴3nn−1即3n−1求得n=5，或n=2故选：A.3．（5分）（2024秋·吉林长春·高二阶段练习）已知n，m为正整数，且n≥m，则在下列各式中，正确的个数是（

）①A63=120；②A127=A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】依据组合数的性质及排列数公式计算可得.【解答过程】解：对于①A63=6×5×4=120对于②因为C127=A12对于③因为Cnm+对于④Cnm=故选：C.4．（5分）（2024秋·北京·高二期末）在3x−2A．-112 B．112 C．-1120 D．1120【解题思路】求出3x−2x8【解答过程】二项式3x−令8−4r3=0,求得r=2,可得绽开式的常数项为故选:B.5．（5分）（2024春·江西抚州·高二期末）“杨辉三角”是中国古代数学文化的珍宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发觉这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为a1，第3行的第3个数字为a2,⋯，第n(n≥2)行的第3个数字为an−1，则A．165 B．180 C．220 D．236【解题思路】依据杨辉三角及二项式系数的性质确定a1，…，a【解答过程】由题意得，a1则a1故选：A.6．（5分）（2024·全国·高三专题练习）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（

）A．480 B．600 C．720 D．840【解题思路】利用分类加法计数原理、分步乘法计数原理列式计算作答.【解答过程】依题意，按安徽与陕西涂的颜色相同和不同分成两类：若安徽与陕西涂同色，先涂陕西有5种方法，再涂湖北有4种方法，涂安徽有1种方法，涂江西有3种方法，最终涂湖南有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案5×4×1×3×3=180种，若安徽与陕西不同色，先涂陕西有5种方法，再涂湖北有4种方法，涂安徽有3种方法，涂江西、湖南也各有3种方法，由分步计数乘法原理得不同的涂色方案5×4×3×3×3=540种方法，所以，由分类加法计数原理得不同的涂色方案共有180+540=720种.故选：C.7．（5分）（2024秋·湖南怀化·高三期末）已知Cn1011=①n=2023，②an=−32023，③其中正确的个数有（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】依据组合数的性质求得n，依据二项式绽开式的通项公式、赋值法、二项式系数和的学问求得正确答案.【解答过程】n=1011+1012=2023，①对.(2x−3)2023所以an=a令x=2得a0+a绽开式中全部项的二项式系数和为22023，④所以正确的说法有2个.故选：C.8．（5分）2024年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队支配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能支配到1个项目，且每个项目至少支配1个志愿团队，则不同的支配方案种数为（

）A．36 B．81 C．120 D．180【解题思路】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，再将4支志愿团队支配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，最终依据分步乘法原理求解即可.【解答过程】先从5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，有C5再将剩下的4支志愿团队支配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，有C4所以，依据分步乘法原理，不同的支配方案有C5故选：D.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2024秋·吉林长春·高二阶段练习）（多选）C9896+2A．C9997 B．C992【解题思路】由组合数的性质即可求得答案.【解答过程】C=C故选：CD．10．（5分）（2024春·广东佛山·高二期中）现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是（

）A．只需1人参加，有16种不同选法B．若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法C．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法D．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法【解题思路】依据分类计数原理和分步计数原理依次探讨各选项即可求解.【解答过程】解：选项A，分三类：取老师有3种选法，取男生有8种选法，取女生有5种选法，故共有3+8+5=16种选法，故A正确；选项B，分三步：第一步选老师，其次步选男生，第三步选女生，故共有3×8×5=120种选法，故B正确；选项C，分两步：第一步选老师，其次步选学生，其次步，又分为两类：第一类选男生，其次类选女生，故共有3×8+5选项D，若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同选法，故D错误.故选：ABC.11．（5分）（2024·高二课时练习）甲、乙、丙、丁、戊五人站成一排．（

）A．若甲、乙必需相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种B．若最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法有42种C．甲、乙不相邻的排法有82种D．甲、乙、丙按从左到右的依次排列的排法有20种【解题思路】利用捆绑法可推断A；分别算出甲在最左端时以及乙在最左端时的排法数，可推断B;用插空法可推断C；先从5个位置中选2个位置支配丁、戊两人，再把甲、乙、丙按从左到右的依次排在剩下的3个位置中，计算排法数，可推断D.【解答过程】对于A，甲、乙必需相邻且乙在甲的右边,把甲、乙看作一个人，两人只有一种排法，然后与其他人全排列，排法共有A4对于B，甲在最左端时，排法有A44=24（种），乙在最左端时，排法有A对于C，先解除甲、乙外的其他三人，再把甲、乙排进三人中间及两端的4个位置中，排法共有A3对于D，先从5个位置中选2个位置支配丁、戊两人，再把甲、乙、丙按从左到右的依次排在剩下的3个位置中，排法共有A5故选：ABD．12．（5分）若二项式x+2xnA．二项绽开式中各项系数之和为35 B．二项绽开式中二项式系数最大的项为C．二项绽开式中无常数项 D．二项绽开式中系数最大的项为240【解题思路】由二项式系数和求得n，令x＝1可求得各项系数之和即可推断A，由二项式系数的性质可得二项式系数最大的项即可推断B，由绽开式的通项中x的指数确定有无常数项即可推断C，列不等式组求得系数最大的项即可推断D．【解答过程】因为二项式x+2所以2n=64，得n=6，所以二项式为则二项式绽开式的通项Tr+1对于A，令x=1，可得二项绽开式中各项系数之和为36对于B，第4项的二项式系数最大，此时r=3，则二项绽开式中二项式系数最大的项为T4对于C，令6−32r=0，则r=4对于D，令第r+1项的系数最大，则C6r2因为r∈N，所以r=4，则二项绽开式中系数最大的项为T故选：BD．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2024·高二课时练习）有四位学生参加三项竞赛，要求每位学生必需参加其中一项竞赛，有81种参赛状况．【解题思路】依据分步乘法原理求解即可.【解答过程】解：依据乘法分步原理，每位学生都有三种选择方案，故有34故答案为：81.14．（5分）（2024秋·湖北·高三期末）1+xx−1x【解题思路】依据乘法支配律以及二项式绽开式的通项公式求得正确答案.【解答过程】二项式x−1x4令4−2r=0，解得r=2；令4−2r=−1，则r无自然数解.所以1+xx−1x故答案为：6.15．（5分）（2024秋·云南·高三期中）若x−25=−122.【解题思路】依据赋值法即可求解奇数项的系数和.【解答过程】令x=1得，a0令x=−1得，a故答案为：−122.16．（5分）（2024秋·辽宁沈阳·高二阶段练习）将5名志愿者支配到世界杯的3个不同体育场进行志愿者服务，每名志愿者支配到1个体育场，每个体育场至少支配1名志愿者，则不同的支配方案共有150种．【解题思路】5名志愿者分成三个小组,有2，2，1和1，1，3两种分法，分别求出两种分组方法对应的方案数即可得总的支配方案数.【解答过程】将5名志愿者分成三个小组，有2，2，1和1，1，3两种分法，当为2，2，1时，共有C5当为1，1，3时，共有C5故一共有90+60=150种支配方案.故答案为：150.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2024·全国·高三专题练习）解下列不等式或方程(1)A(2)1【解题思路】（1）先求出2≤x≤8，解不等式得到7<x<12，从而得到答案；（2）先得到0≤m≤5，解方程得到m=21或2，舍去不合题意的根.【解答过程】（1）由题意得：0≤x≤80≤x−2≤8，解得：2≤x≤8A8x<6解得：7<x<12，结合2≤x≤8，可得：x=8；（2）1C5m即m!5−m解得：m=21（舍去）或2，故方程的解为：m=2.18．（10分）（2024·全国·高二专题练习）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形态可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，假如只有5种颜色可供运用，求不同的染色方法种数．【解题思路】分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理可求解【解答过程】由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60种染色方法；当S,A,B染好时，不妨设所染颜色依次为1,2,3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4,则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法,即当S,A,B染好时，C,D还有7种染法.故不同的染色方法有60×7=420种.19．（12分）（2024·高二课时练习）某电视台连续播放6个广告，其中有3个商业广告、2个宣扬广告和1个公益广告，要求最终播放的不能是商业广告，宣扬广告与公益广告不能连续播放，2个宣扬广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？【解题思路】结合分类加法、分步乘法计数原理计算出正确答案.【解答过程】用1，2，3，4，5，6表示广告的播放依次，则完成这件事有3类方法．第1类，宣扬广告与公益广告的播放依次是2，4，6．分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式；第2类，宣扬广告与公益广告的播放依次是1，4，6．分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式；第3类，宣扬广告与公益广告的播放依次是1，3，6．同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1=36种不同的播放方式，由分类加法计数原理，得6个广告不同的播放方式共有36+36+36=108种．20．（12分）（2024春·上海黄浦·高一期末）已知对随意给定的实数x，都有(1−2x)100(1)a0(2)a1【解题思路】（1）利用赋值法求解，令x=0可得结果；（2）利用赋值法求解，令x=−2可得结果；【解答过程】（1）因为(1−2x)100令x=0，则a0（2）令x=−2，则a0由（1）知a0两式相减可得a121．（12分）（2024秋·辽宁朝阳·高二阶段练习）已知二项式x−3x(1)求x−(2)求x−【解题思路】（1）首先依据组合数公式求n，再利用二项绽开式的通项公式求第5项；（2）依据（1）的结果可知，C6【解答过程】（1）由Cn2=15，得nn−12=15，即x−3x当r=4时，T5=−34C（2）因为C63是T4=−33C22．（12分）（2024秋·辽宁铁岭·高二期中）从集合A=1,3,5,7中取一个数字和集合B={0,2,4,6,8}(1)可组成多少个三位数?(2)可组成可重复一个数字的四位数多少个?【解题思路】（1）先从集合A中任取一个数，有C41种取法，再从集合（2）先从集合A中任取一个数，