第09讲 直线的一般式方程（教师版）-2022学年高二数学同步讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第09讲直线的一般式方程

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课程标准课标解读

1.理解与掌握直线的一般式方程的形式

及条件.会求直线的一般式方程.

通过本节课的学习要求能掌握直线一般式方程的形式，

2.能准确的将直线的五种形式的方程进

会求直线一般式方程，能进行五种形式直线方程的相互

行形式上的转换.理解直线的代数形式与几

转换，并能处理与直线位置有关的问题，并能解决与之

何意义.

有关的综合问题.

3.会用直线的一般式进行有关的直线位置

的判定与参数的求解，能解决与直线有关

的综合问题.

趣:知识精讲

知识点01直线的一般式方程

在平面直角坐标系中，任何一个关于X,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于X,y的二元一

次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.

【微点拨】解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式.

【即学即练1】已知直线/经过点且与直线2x-y-5=0垂直，则直线/的方程为（）

A.2x+y-1=0B,x-2y-3=0

C.x+2y+\=0D.2x-y-3=0

【答案】c

【分析】根据两直线的位置关系，设直线/：x+2y+c=0,再代入点，求直线/的方程.

［详解］..・直线/与直线2x_y_5=0垂直，.••设直线’的方程为x+2y+c=0,

••,直线/经过点（1,-1）,.•.l-2+c=0,即c=l.

直线/的方程为x+2y+l=0.故选：C

【即学即练2】直线x-石y+3=0的倾斜角是()

A.包B.卫C.迈

336

【答案】D

【分析】算出直线的斜率后可得倾斜角的正切值，从而可求倾斜角.

【详解】直线x-Jiy+3=0的斜率为芯，

设该直线的倾斜角为a,故tana=迫，又夕q0㈤，故a=*

故答案为：D.

知识点02直线的一般式与斜截式、截距式的互化

直线的一般式、斜截式、截距式如下表:

一般式斜截式截距式

A,4+十=1(4氏。都不为0)

Ax+By+C=0(A,B不同时为0)y=——x-—(B^O)

BB~A~B

直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线.因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进

行如下转化：

ArrA

(1)当时，Ar+3y+C=0可化为y=--x-—,它表示在y轴上的截距为一一，斜率为一一的

BBBB

直线.

v

(2)当A,民C均不为零时，Ar+3y+C=0可化为一x大+—=1,它表示在x轴上的截距为一C一，在

__A

一入~~B

y轴上的截距为的直线.

B

【即学即练3】若直线/：56-5y-a+3=0不经过第二象限，则实数。的取值范围是.

【答案】a>3

3113

【解析】将直线/的方程整理得y--=。(x--),所以直线过定点A(g,g),直线。4的斜率

坛-=3,要使/不经过第二象限，需斜率。之后4=3,所以423.

—0

5

【即学即练4】若直线数+切+c=0经过第一、二、三象限，则（）

A.ab>Ofbc>0B.ab>Ofbc>0

C.abv。,hc>0D.ah<0,hc<0

【答案】D

【解析】直线经过第一、二、三象限，则由），=一£》一方可知，

ah<Of

=>选D.

bc<Of

知识点03直线系方程

1.平行直线系方程

把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线Ax+为+C=0平行的直线系

方程都可表示为Ax+B），+根=0（其中m为参数且,然后依据题设中另一个条件来确定用的值.

2.垂直直线系方程

一般地，与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程都可表示为&-Ay+m=0（其中m为参数），

然后依据题设中的另一个条件来确定团的值.

【即学即练5】过点（7,3）且与直线x-2y+3=0平行的直线方程是（）

A.x-2y-5=0B.x-2y+7=0C.2x+y-1=0D.2x+y-5=0

【答案】B

【分析】设直线方程为x-2y+c=0,（cx3）,将点（-1,3）代入即可求解.

【详解】设直线方程为x-2y+c=0,（-3）,

••・直线过点（T，3）,.•.代入直线方程的—1—2x3+c=0,得c=7,

则所求直线方程为x-2y+7=0,故选：B.

【即学即练6】过点。,0）且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程是（）

A.2x+y+2=0B.x-2y-\=0C.x+2y-]=0D.2x+y-2=0

【答案】D

【分析】由题意设所求直线方程为2x+y+〃?=0,然后将点（1,0）代入方程中求出加的值

【详解】由题意设所求直线方程为2x+y+m=0,

因为直线过点(1,0),所以2xl+0+m=0,解得加=-2,所以所求直线为2x+y-2=0,故选：D

知识点04一般式方程中两直线平行与垂直的条件

若两条直线的方程是用一般式给出的，设直线心4的方程分别为+a=0,

4x+线y+C?=0,则可以在条件允许时将两方程化为斜截式方程，从而得出两直线平行与垂直的结论如

下：

(1)若当斜率存在时，A=当斜率不存在时，4=5,=0且

A?B2c2A,A2

即4〃4o4与一劣片=o,且用。2-82G声o或4。2一46声°・

⑵若/J4,当斜率存在时，当看=一1；当斜率不存在时，4=0,&=0或4=0,q=o.

即4_1_，2=A4+BtB2=0.

【即学即练7】直线L”ax-y+l=0与4：＞纱-1=0互相平行，则。的值为()

A.-1B.1C.-1或1D.0

【答案】B

【分析】根据直线一般式方程两直线平行的条件来求解.

【详解】因为直线乙：依一y+l=0与右：工一。丫一1=0互相平行，

ax(-a)-lx(-l)=0

所以\,解得。=1.故选：B.

【即学即练8】若直线x-2y+5=0与直线2x+阳-6=0互相垂直，则实数4的值()

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】B

【分析】根据两宜线垂直的公式，即可计算结果.

【详解】因为两条直线互相垂直，则1x2+(-2)加=0,得m=l.故选：B

能力拓展

考法01

直线的一般式方程：

(1)直线的一般式方程c=()中要求4,B不同时为0.

(2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程：

反过来，也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式方程，注意斜截式、截距式方程的使用条件.

【典例1】设直线/的方程为(根2-2加—3)x+(2m2+m-Dy=2根-6,根据下列条件分别确定加的值:

(1)/在x轴上的截距是—3；

(2)/的斜率是一1.

nr-2m-3^0①

【解析】(1)由题意可得I2m-6…，

—-----=-3②

、m--2m-3

由①得〃2。一1且〃2w3.由②得〃2=3或〃2=-2.・^・加=一*.

一一33

2m24-m—10(3)

(2)由题意得”-2m-31小，

2m~+“2-1

由③得W—1且相。，由④得加=一1或〃2=—2.

2

•*.m=—2.

考法02

由直线的位置关系求参数

对于由直线的位置关系求参数的问题，有下列结论：设直线4，/2的方程分别为4%+4卜+G=o(A，

B1不同时为0),A2x+B2y+C2=0(A2,%不同时为0),则4〃404名一4旦=0,且用G-B2clHO

或4G—4Gwo；4_L4=44+用与=o.

【典例2】求m,■的值,使直线/i：y=(AH-1)x-〃+7满足：

(1)平行于“轴；

(2)平行于直线/2：7n+15=0；

(3)垂直于直线h'7x-y+15=0.

【解析】(1)当直线人平行于x轴时，直线人的斜率为0,即加-1=0,〃口1.

又直线不与X轴重合，所以T2+7H0，即〃。7.综上，当力=1且昨7时，直线八平行于X轴.

（2）将7x-y+15=0化为斜截式得，k7x+15..•.直线h的斜率依7,械距b=15,

当乙〃/2时，应有直线r的斜率h=7且截距加声15,即m-l=7且-〃+7,15,：.m=S,且/-8.

6

（3）由题意及（2）可得（加-1）-7=-l,HGR即〃z=—,〃eR时，/4/2.

7

【典例3】已知直线4:x+2y+6=0,/2：（，〃-2）x+3y+2m=0,当/|〃4时、求，〃的值.

/77—2

【错解】・・・/2的斜率%=一一§一，］〃，2，・M的斜率，也一定存在，

11

由4的方程得K=-----，由4=乂，得------------,

m3m

解得加=3或加=一1.

・・・m的值为3或—1.

【错因分析】忽略了直线重合的情况，从而导致错误.

【正解】由题意4的方程可化为y=根，

则其斜率e=-肉工，在y轴上的截距打=-久

•.♦4〃4，的斜率一定存在，即加/（）.

.••4的方程为丁=一^^—9，斜率4=一,，在），轴上的截距a=一色.

mmmm

26

——-----

由///，，,得，3C加，，解得加=—1.

----m------2-----1--

.3m

二机的值为一1.

【误区警示】当两直线的斜率存在时，两直线平行的等价条件是斜率相等且纵截距不相等，做题时容易

忽略纵截距不相等，从而导致错解.

考法03

由直线的位置关系求方程：

一般地，直线Ax+3），+C=0中的系数A,B确定直线的斜率.因此，利用平行直线系或垂直直线系

直接设出直线方程，用待定系数法即可求解.

【典例4】已知直线4的方程为3x+4），T2=0,求直线4的方程，4满足：

（1）过点（T,3）,且与4平行；

（2）过点（-1,3）,且与4垂直.

3

【解析】（1）方法一：由题设4的方程可化为：y=--x+3,

33

的斜率为—，又人与4'卜行，4的斜率为—.

44

3

又4过（T，3）,由点斜式知方程为y—3=-一（x+1）,即3x+4y-9=0.

4

方法二：由4与4平行，可设，2的方程为3x+4y+〃i=0（附-12）.

将点（T,3）代入上式得，片一9....所求直线方程为3x+4y-9=0.

3

（2）方法一：由题设4的方程可化为：y=--x+3,

4

34

•••4的斜率为由4与4垂直，得4的斜率为不，

4

又4过（T，3）,由点斜式可得方程为y—3=E（x+l）,即4厂3?+13=0.

方法二：由4与4垂直，可设4的方程为4x-3y+〃=0.将（-1,3）代入上式得〃=13.

••.所求直线方程为4x-3y+13=0.

【典例5】已知直线/平行于直线3x+4y—7=0,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24,求直线/的

方程.

【解析】1•直线/平行于直线3x+4y-7=0,

...可设直线/的方程为3x+4y+〃=0（”w—7）.

»7YI

当x=0口寸，y=—^；当y=0时，x=~—.

nn\n~

由题意得I一一|-|一一I—=24,即==48,〃=±24.

43212

经检验，成立，

...直线/的方程为3x+4y+24=0或3x+4y-24=0.

考法04

直线方程的综合应用:

【典例6]已知直线/：6x-ay+必=0(必>0)经过点尸(-1,2).则2a+6的最小值为()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】由点P(-l,2)在直线/上得,+^=1,根据曲>0结合基本不等式1的代换，知2“+〃=4+。+半即

abab

可求其最小值.

12

【详解】由题意知：2a+h=ah,即一+：=1,

ab

••2。+b=(2。+Z?)(—i—)=4H----1-----,而cib>0,

ahab

A->0,^>0,则4+2+色*4+2•、他在=8当且仅当2=当时等号成立，

abahNabab

：.2a+〃的最小值为8.

故选：C

【点睛】

12

关键点点睛：由点在直线上得到■5■+[=1,应用力”的代换求目标代数式的最值.

ab

【典例7】已知aeR,若不论。为何值时，直线/：(l-2«)x+(3a+2)y-a=0总经过一个定点，则这个定点

的坐标是()

【答案】C

【分析】因为直线/总经过一个定点，所以与。值无关，参变量分离，解方程组即得.

【详解】直线/的方程(l-2a)x+(3a+2)y-a=0可化为：x+2y-a(2x-3y+l)=0.

2

x=——

2x-3y+l=07

•••直线/总经过一个定点，二x+2y=。廨得

所以不论。为何值，直线/总经过一个定点

故选：C.

【点睛】本题考查直线过定点问题，解题的关键是参变量分离.

分层提分

题组A基础过关练

1.直线x=o与直线y=o的位置关系是（）

A.垂直B.平行C.重合D.以上都不对

【答案】A

【分析】

由已知直线方程，直接判断它们的位置关系即可.

【详解】

x=o是表示y轴的直线，y=o表示X轴的直线，两条直线互相垂直.

故选：A.

2.直线2VL:+2指y-3=0的倾斜角为（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

【答案】A

【分析】

根据直线的一般式求得直线的斜率，再由直线的斜率与直线的倾斜角的关系可得选项.

【详解】

设直线—3=0的倾斜角为6,IIItan®=—,又0＜。＜不，所以0=150.

故选：A.

3..数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心

到垂心的距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知AA8C的顶点8（0,l）、C（2,0）,AB=AC,

则AABC的欧拉线方程为（）

A.2x-4j-3=0B.2x+4y+3=0

C.4x-2y-3=0D.2x+4y-3=0

【答案】C

【分析】根据题意得出AA6C的欧拉线即为线段BC的垂直平分线，求出线段BC的垂直平分线的方程即可.

【详解】

因为AABC的顶点8（0,1）、C（2,0）,

所以线段8c的中点坐标为（1，），线段BC所在直线的斜率怎c=ET'

所以线段8c的垂直平分线的斜率k=2,

则线段8c的垂直平分线的方程为y-；=2（x-l）,即4x-2y-3=0,

因为71B=AC,所以AABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上，

所以AABC的欧拉线方程为4x—2y—3=0.

故选：C.

4.直线or+（a+l）y+a—l=0过定点（）

A.（2,1）B.（2,-3）C.（-2,1）D.（-2,3）

【答案】C

【分析】将直线方程变形，可得出关于X、V的方程组，即可解得定点坐标.

【详解】直线方程可化为ax+y+1+y-l=0,由:八，解得，，

〔＞-1=0卜=1

因此，直线以+（a+l）y+a—1=0过定点（一2,1）.

故选：C.

5.已知直线/经过点（1,-2）,且与直线2x+3y-l=0垂直，则/的方程为（）

A.2x+3y+4=0B.2x+3y-8=0C.3x-2y-7=0D.3x-2y-l=0

【答案】C

【分析】求出宜线/的斜率，利用点斜式可得出直线/的方程.

2

【详解】•・•直线/与直线2x+3y-l=0垂直，且直线2x+3y-l=0的斜率为一：，

所以直线/的斜率为：3，

2

a

又因为直线/经过点P（『2）,所以直线/的方程为y+2=：（x-l）,

化简得3x-2y-7=0.

故选：C.

6.过点打1,2）引直线，使A（2,3）,8（4,-5）两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（）

A.2x+y-4=0B.x+2y-5=0

C.21+＞一4=0或不+2）一5=0D.3%+2y-7=0或4%+丁-6=0

【答案】D

【分析】就直线与A8平行或过AB的中点可求直线的方程.

【详解】若过尸的直线与A8平行，因为砥0=与今=7，

2—4

故直线/的方程为：y—2=T(x—1)即4x+y—6=0.

若过P的直线过AB的中点，因为的中点为(3,-1),此时心8=与宇=-入

1-32

故直线/的方程为：y-2=-1(x-l)Qp3x+2y-7=0.

故选：D.

7.设直线/的方程为(a+l)x+y+2-a=0(aeR).若/不经过第一象限，则实数。的取值范围是()

A.(-00,-3]B.[—1,2]C.[-3,0]D.[2,+oo)

【答案】B

f—(a+1)40

【分析】将直线方程化为斜截式方程，进而得｛\'，解不等式组即可得答案.

[«-240

【详解】

解：将直线方程化为斜截式方程得y=-(a+l)x+0-2,(aeR),

因为/不经过第•象限，

所以'：,解得一14a42,

6Z-2<0

所以实数”的取值范围是[-1,2]

故选：B

8.一条光线沿直线3x-4y+5=0入射到x轴后反射，则反射光线所在的直线方程为().

A.3x+4y-5=0B.3x+4y+5=0

C.3x-4y+5=0D.3x-4y-5=0

【答案】B

【分析】根据题意分析出反射光线过直线3x-4y+5=0与x轴的交点，且倾斜角与直线3x-4y+5=0的倾

斜角互补，故而可求反射光线所在的直线方程.

【详解】令y=0得x=_*所以直线3x-4y+5=0与x轴的交点为(-永0),

又直线3x-4y+5=0的斜率为:，所以反射光线所在直线的斜率为

44

所以反射光线所在的宜线方程为y=]卜+0，即3x+4y+5=0.

故选：B.

题组B能力提升练

1-若点和都在直线/:x+y=l上，则点尸和/的关系是（）

A.P和。都在/上B.P和。都不在/上

C.尸在/上，。不在/上D.「不在/上，Q在/上

【答案】A

【分析】

将M,N坐标代入直线方程可得a+y=\,h+-=\,从而得丁!—+'=1,进而可判断P,。与直线/的关系

bc\-ac

【详解】因为点〃卜,£|和N（b1）都在直线/:x+y=l上，所以〃+:=1/+：=1,

易知QW0且QW1,则力=,则----1=1,化简得C=1,

1-a\-aca

所以点在直线/上，因为6+3=1,所以。已，“在直线/上.

故选：A

1?

2.已知直线"一y+2Z-l=0恒过定点A,点A也在直线mx+〃y+2=。上，其中”均为正数，则一+—

mn

的最小值为（）

A.2B.4C.8D.6

【答案】B

【分析】先将直线方程变形得到定点A的坐标，根据点A在直线如+利+2=0上确定出也〃所满足的关系,

最后根据“1”的妙用求解出上+4的最小值.

mn

【详解】已知直线依-"2"1=0整理得：y+l=A（x+2）,

直线恒过定点A,即A（-2,-l）.

n

点A也在直线以+〃y+2=0上，所以2加+〃=2,整理得：m+-=l,

由于加，,均为正数，则-1+2=（刃+”，+2]=1+-^-+迎+192+2、"-.网=4,

mnI2）\mn）2mnV2mn

n=2m1

=一,,,

取等号时n,,即，2,故选：B.

机+—=I

2n=1

【点睛】方法点睛：已知M+功=l（x,y,a,b>0）,求?+?九〃>0）的最小值的方法：

将?+£变形为（刈+例]?+£|,将其展开可得9+冲+皿,丫衅，然后利用基本不等式可求最小值,

+ym-—>xm+yn+2dm，5)｛那，.xa+yb=\

upxtn+yn+xn=xtn+yn+2dxynrn,取等号时

xna2=ymb2

3.“a=l”是“直线x+ay-l=0与直线ar-y+l=0相互垂直”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】直线“+纱-1=0与直线6-丫+1=0相互垂直得到aeR,再利用充分必要条件的定义判断得解.

【详解】因为直线x+ay-l=0与直线依-y+l=0相互垂直，所以lx（〃）+a*（_l）=0,所以“eR.

所以”=1时，直线x+ay—l=0与直线or—y+1=0相互垂直，所以“。=1”是“直线x+ay—l=0与直线

ax-y+l=0相互垂直”的充分条件；

当宜线x+ay-l=0与直线or-），+l=0相互垂直时，。=1不一定成立，所以“。=1”是“宜线x+ay-l=0三宜

线ar-y+l=0相互垂直”的非必要条件.

所以“a=l”是“直线工+利-1=0与直线以-》+1=0相互垂直”的充分非必要条件.故选：A

【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据

已知条件灵活选择方法求解.

4.已知4—1,0）,8（0,2）,直线/：2x—2ay+3+a=0上存在点P,满足|PA|+|P8|=石，则/的倾斜角的取

值范围是（）

乃乃]「八万~|八「）、「江万]（

A-Li'2TjB.[%]u[2-可C.3匕D.（0,册7r~\,彳J3TT引A

【答案】D

【分析】根据|人目=石,|尸川+|尸8|=石上，得到点0在线段回上，其方程为y=2x+2,xe[-l,0]上，又点

在直线/上，联立其方程，求得2然1+3后由tana=L1=4誓T+3|求解.

4x+3a2x4-3

【详解】

将A(-l,0)代入2x-2ay+3+a=0得0=一1,

将8(0,2)代入2犬-2q丫+3+。=0得0=1,

所以A,B不在直线/上，

又|AB|=石,|PA|+|P8h石匕

所以点0在线段A8上，

直线A8的方程为：y=2x+2,xe[-1,0],

'y=2x+2

--c八..2x4-32x+32x+3

由2x—2缈+3+”0,解得"后=2（2x+2）-广不P

-l<x<0

直线方程2x-2ay+3+a=0,即为产L+孚，

a2。

设直线/的倾斜角为a,则tana='=答==2-密不，

a2x4-32x+3

33

因为一IWXWO,所以1V2X+3M3,则~-<3,—<1,即-iWtanaVl,

2x+32x+3

因为a£（。，万），所以a£（O,Ru匕万），故选：D

44

【点睛】关键点点睛：本题关键是得到点P在线段AB上，再根据点P的直线/上，联立求得

9r+32尤+32x+3

“=石二7=2（2；+2）-1=高）再利用斜率与倾斜角的关系而得解•

5.已知直线小x+冲+1=0与直线*尔7-3帆+2=0分别过定点A,B,且交于点P,则|必卜|「耳的最大

值是（）

A.75B.5C.8D.10

【答案】D

【分析】先根据直线方程求出AB的坐标，再根据两条巴线垂百得至“尸山2+归邳2=20,利用基本不等式可求

附.同的最大值.

【详解】因为4：x+my+l=o,故A（-1,O）,因为4：如—y—3相+2=0,故8（3,2）,

因为1XM+机X（-1）=O,故故|PA『+|PB『=k8『=20,

因为照2+\PBf>2\PA\-\PB\,故.|P5|410,

当且仅当|以|=|P3|=Jid时等号成立，故|巴纲期的最大值为10,故选：D.

【点睛】方法点睛：对于含参数的直线的方程，注意挖掘它们隐含的条件与关系，如直线过定点或直线之

间彼此平行或垂直.利用基本不等式求最值时注意对取等条件的验证.

6.已知〃?eR,过定点A的动直线〃河+"0和过定点B的动直线x-阳-m+3=0交于点p,则|PA|+有用

的取值范围是（）

A.（Vio,2Vio]B.（历呵

C.[加,呵D.[屈2啊

【答案】D

【分析】动直线如+y=0过定点A（0,0）,动直线x-my-m+3=0过定点8（-3,-1）,旦此两条直线垂直，

因此点P在以AB为直径的圆上，|A8|=屈,设/ABP=0,则|P4|=Jidsindl尸B|=JiUcos。，9e[0,y|,

代入|+61因中利用正弦函数的性质可得结果.

【详解】动直线小+y=0过定点A（o,o）,动直线x-my-w+3=0.

即x+3—袱y+1）=0过定点B（-3,-l）,且此两条直线垂直.

...点。在以A8为直径的圆上，|AB|=J『+32=回,,

设/A8P=0,贝iJ|PA|=VnJsine,|PB|=9cos。，6e[0,y|

.1PA|+百IPB|=亚sin<9+acos9=2x/iUsin(0+?),

V06[0,—；.9+£丘[£,],sin(0+£)I],2>/10sin|^+—|,2-Tw],

【点睛】本题考查直线过定点、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查正弦函数的性质，考查推理能力与

计算能力，属于中档题.

7.已知线段PQ两端点的坐标分别为P（—1,1）和。（2,2）,若直线/：x+枢y+/n=0与线段P。有交点，则

实数m的取值范围是.

【答案】H

【分析】由已知得出直线/：x+my+加=0恒过点40,—1),根据两点的斜率公式可求得答案.

【详解】由x+my+m=0得，x+m(y+1)=0,所以直线/：x+my+m=0恒过点A(0,—1),如下图所

-1-1-1-2313121

示，kAP=C।=一?，kAQ==—»则一一三7〃力＜①或——2(相＞°),所以一彳9/0不且"#(),当

0+10-22Mm2m32

m=0时，直线l：x+my-\-m=0与线段PQ有交点，所以实数m的取值范围是一。Sag；.故答案为：-；，;

2x

【点睛】方法点睛：求直线恒过点的方法：方法一(换元法)：根据直线方程的点斜式直线的方程变成

y=k(x-ci)+b,将x=。带入原方程之后，所以直线过定点(。，6)；方法二(特殊引路法)：因为直线的中

的m是取不同值变化而变化，但是一定是围绕一个点进行旋转，需要将两条直线相交就能得到一个定点.取

两个机的值带入原方程得到两个方程，对两个方程求解可得定点.

8.点P(—3,1)在动直线加r+即=机+〃上的投影为点M,若点N(3,3)那么|M/V|的最小值为.

【答案】2石一2

【分析】由动直线方程可得动直线经过定点从而得到"的轨迹为以线段R4为直径的圆，然后判断

点N在圆外，进而得到所求最小值.

【详解】直线显然经过定点A(1』),；.M的轨迹为以线段以为直径的圆，圆心坐标为

半径为2,|CN|="2+22=2百＞2..1N在圆外,.〔IMNLLZG-2,故答案为：2百-2.

【点睛】本题关键要分析出动直线经过定点，从而判定Af的轨迹，然后判定N在圆的外部是不可缺少的.

9.已知点A(3,2),8(-2,3),直线/：(&-3卜-2卜2%+6=0.若直线/与线段48有公共点，则实数上的取

值范围是.

【答案】(v，|U[7,+8)

【分析】

首先求出直线恒过定点P(2,o),表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围.

【详解】因为直线八(Z-3)x—2y-2%+6=0,所以％(x-2)+(-3x-2y+6)=0.

（x-2=0\x=2/、/、

令。3.2y+6=0解得J），=0故直线'：（"—3）x_2y_2A6=0恒过点P（2,0）

依题意直线/与线段AB有公共点，由图可知k寸22或k号-3K-；3

解得％27或《4I，即U[7,+s).

故答案为：(Y°，|U[7,+8)

【点睛】本题考查直线恒过定点问题以及直线的斜率的计算，属于中档题.

10.已知meR,动直线4：》+加了-1=0过定点A，动直线/2孙->>-2加+3=0过定点8,若/1与/2交于点?(异

于点A,B),则△P4?面积最大值是.

【答案】g

【分析】根据题意，将直线4、&的方程变形，分析可得A、8的坐标，又由直线的方程分析可得动直线4与

动直线4互相垂直，据此可得P在以A3为宜径的圆上，结合A、B的坐标可得P的轨迹方程，由宜线与圆

的位置关系分析可得当时，△R4B的面积取得最大值，计算可得答案.

【详解】根据题意，对于直线4：》+切7=0,其恒过定点A,则41,0)；

对于直线/2加氏一丫-2根+3=0,变形可得£加(x-2)=y-3,恒过定点8,则现2,3),

动直线4:x+”zy-l=0,动直线4“a-y-2机+3=0,有1%机+机、(-1)=0,

则动宜线4与动宜线4互相垂直，

又由直线4与4交于点P，则尸在以A8为直径的圆上,

22

又由A(1,O),S(2,3),AB=>/(l-2)+(O+3)=V10,

当△PAB为等腰直角三角形时，面积取得最大值，

则有P4=PB=®xV^=行时，△PAB的面积取得最大值，

2

此时△E3的面积的最大值:x石x^="故答案为：I，

222

【点睛】本题轨迹方程的计算，涉及恒过定点的直线，关键是找到P点的轨迹，属于中档题.

C培优拔尖练

1.已知直线/的方程为x+2y-1=0,点P的坐标为(1,-2).

(1)求过P点且与直线/平行的直线方程；

(2)求过P点且与直线/垂直的直线方程.

【解析】(1)设过P点且与直线/平行的直线方程为x+2y+：0,则l+2x(-2)+H0,即:3,

...过P点且与直线I平行的直线方程为x+2y+3=0；

(2)设过尸点且与直线/垂直的直线方程为2x-y+b=0,则2x1-(-2)+b=0,即b=-4,

.•.过P点且与直线I垂直的直线方程为2x-y-4=0.

2.已知△ABC中，A(1,-4),8(6,6),C(-2,0).求：

(1)AABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程；

(2)BC边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程.

【解析】(1)•.•总c=-2=±,.•.△A8C中平行于BC边的中位线的斜率&=2,

-2-644

又线段AB的中点为

/.△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程为y-l=[x—g],化为一般式6x-8)，-13=0,

二-2=1

可得截距式：1313.

68

-4-3

(2)边的中点为£>(2,3),心“=7号-=7,8。边的中线所在直线的方程为y-3=7(x-2),

A_Z=i

化为一般式方程7x-y-11=0,化为截距式方程II-.

7

3.已知直线/在x轴上的截距比在y轴上的截距大1,且过定点(6,-2),求直线/的方程.

【解析】解法一：设直线/的点斜式方程为)，+2=总-6)(后0).

令x=0,得y=-6%—2；令y=0,得工=1+6.・,•停+6)一(一6女-2)=1,解得：心=一；或22=一去

・,•直线’的方程为y+2=一|(为一6)或y+2=—去-6).即y=—汆+2或产一5+1・

.解法二：设直线的斜截式方程为y=h+〃.令y=0,则％=一1

-〃-[-2

-7=b+\,Zi=­彳，匕=一

依题意得：\kt2或3

6k+b=—2，i=le2=2.

:.直线/的方程为y=—5+1或y=—|x+2.

解法三：设直线/与)，轴的交点为(0,b.),则直线方程的两点式为丘勺=痣.

令y=0,得)=段^.二^^=1+6,解得加=1或匕2=2.

直线/的方程为x+2y—2=0或2x+3y—6=0.

解法四：设直线方程的截距式为鬲'+5=1,又直线/过点(6,-2)....岛■+£=1,解得"=1,左=2.

，直线/的方程为]+7=1或1+3=1.即x+2y—2