新教材高中数学第4章概率与统计一元线性回归模型导学案新人教B版选择性必修第二册

4.3.1一元线性回归模型

13凰喝阚皆因（教师独具内容）

课程标准：结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义，

了解最小二乘原理.

教学重点：掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法.

教学难点：1.了解相关关系、线性相关、回归直线的概念.2.针对实际问题，会用一元线

性回归模型进行预测.

核心概念掌握

对应学生用书

HEXINGAINIANZH,

】知识］

知识点一相关关系

1.变量间的常见关系

（1）变量之间的关系具有C1确定性,当一个变量确定后，另一个变量就C2确定了.

（2）变量之间确实有因一定的关系,但没有达到可以互相决定的程度，它们之间的关系带

有一定的随机性.

2.正相关与负相关

（1）正相关：一个变量增大，另一个变量大体上圆也增大.

（2）负相关：一个变量增大，另一个变量大体上四减少.

知识点二回归直线方程

（1）回归直线方程：一般地，已知变量x与y的〃对数据（必，匕），/=1,2,3,…，n,

任意给定一个一次函数y=6x+a,对每一个已知的小，由直线方程可以得到一个估计值力=

bx；+a,如果一次函数y=8x+a能使残差平方和即（%一%尸+（姓一㈤----1_（%一犷=£

/=1

加一切）2取得最小值，贝独=bx+a称为y关于x的01回归直线方程,对应的直线称为外回归

直线.

（2）回归方程的最小二乘法推导过程：对于一组具有线性相关关系的数据（刘，必），（如

_，，一

2（可一为（%一歹）

，=】___________________

_了）2

度），…，（x〃，％）,存在回归直线方程而且Z?=03/=I=

'Exjyi—nxy

t=l__________________

'f,a=国亍-6称为回归系数，也就是回归直线方程的蟹匡

知识点三回归直线方程的性质

1.回归直线一定过点位(二，7).

2.一次函数y=6x+a的单调性是由026的符号决定的，函数递增的充要条件是03力0,这

说明：y与x正相关的充要条件是四核0；y与x负相关的充要条件是团仅0.

3.当x增大一个单位时，y增大四底单位，这就是回归系数6的实际意义.

知识点四相关系数

£(弓一看)(y•一夕)

i=1

K=L-"

J♦(肛—二)2)(％—JO」

1.计算公式：v-=11=1

i—nxy

_____________i_=_\__________________________

AJ(SJC--nx2)(Sj?--ny2)

2.相关系数的性质

(Dlrlwi,且「与X正相关的充要条件是皿力0,y与X负相关的充要条件是LZ0.

(2)越小，说明两个变量之间的朋线性相关性越弱,也就是得出的回归直线方程越没

有价值，即方程越不能反映真实的情况；|力越大，说明两个变量之间的能线性相关性越强,

也就是得出的回归直线方程越有价值.

(3)6|=1的充要条件是成对数据构成的点都在回归直线上.

知识点五非线性回归

y与A■不是线性相关关系，但可以通过变量替换后，借助线性相关的内容求出方程，

则v与x的关系称为61非线性相关关系,所得方程称为62非线性回归方程,简称63回归方程.

，新知I

1.变量之间的关系具有确定性，可以用函数表示，则变量之间的关系是函数关系.

2.利用回归直线方程可以进行预测估计总体，但是只有当散点图大致呈线性时;求出的

回归方程才有实际意义，否则就毫无意义.因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其

散点图是否成线性，若成线性，再按求回归方程的步骤求解.

±1评价自测

1.判一判(正确的打“J”，错误的打"X")

(1)已知变量X的值，可由回归方程y=6x+a得到变量y的精确值.()

(2)回归方程尸6x+a必经过点(7,7).()

(3)由一组数据(小，为)，(如㈤，…，⑸，％)得到的回归直线方程y=0+a至少经过

(X1,%),(X2,/2)>,•,»(x„,%)中的一个点.()

(4)|r|Wl,且越接近1,两变量的线性相关程度越大：行|越接近0,两变量的线性

相关程度越小.()

答案⑴X(2)J(3)X(4)J

2.做一做(请把正确的答案写在横线上)

(1)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为

(2)下列各组变量是相关关系的是.

①电压〃与电流/；②圆面积S与半径/?；③粮食产量与施肥量；④广告费支出与商品销

售额.

(3)工人工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的线性回归方程为y=50+80x,则劳动生

产率提高1000元时，工资提高一元.

答案(1)正相关(2)③④(3)80

核心素养.形成

对应学生用书P()5«»

HEXINSUYANGXI

题型一相关关系的判断

例1在下列两个变量的关系中，哪些是相关关系？

(1)正方形边长与面积之间的关系；

(2)作文水平与课外阅读量之间的关系；

(3)人的身高与年龄之间的关系；

(4)降雪量与交通事故的发生率之间的关系.

［解］两变量之间的关系有两种：函数关系与带有随机性的相关关系.

(1)正方形边长与面积之间的关系是函数关系.

(2)作文水平与课外阅读量之间的关系不是严格的函数关系，但是具有相关性，因而是相

关关系.

(3)人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一

定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具备相关关系.

(4)降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.

综上，(2)(4)中的两个变量具有相关关系.

点睛

(1)函数关系是一种确定的关系，而相关关系是随机变量与随机变量的关系，函数关系是

一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，可能是伴随关系.

(2)准确理解变量间的相关关系是解答本例的关键.要准确区分两个变量间的相关关系和

函数关系，事实上，现实生活中相关关系是处处存在的，从某种意义上讲，函数关系可以看

作一种理想的关系模型，而相关关系是一种普遍的关系.两者区别的关键点：是“确定性”

还是“不确定性”.

[跟踪训练1](1)已知变量x和y近似满足关系式尸一0.lx+1,变量y与z正相关.则

下列结论中正确的是()

A.x与y正相关，x与z负相关

B.x与y正相关，*与z正相关

C.x与y负相关，x与z负相关

D.x与y负相关，x与z正相关

(2)下列两个变量中具有相关关系的是(填写相应的序号).

①正方体的棱长和体积；②单产为常数时，土地面积和总产量；③日照时间与水稻的亩

产量.

(3)下列命题：

①任何两个变量都具有相关关系；

②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；

③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；

④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；

⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研

究.

其中正确的命题为.

答案(1)C⑵③(3)③④⑤

解析(1)由y=-0.lx+1,知x与y负相关，即y随片的增大而减小，又y与z正相

关，所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随*的增大而减小，x与z负相关.

(2)正方体的棱长x和体积/存在着函数关系眸，单产为常数a公斤/亩，土地面积

x(亩)和总产量y(公斤)之间也存在着函数关系了=ax；日照时间长，则水稻的亩产量高，这

只是相关关系，应填③.

(3)两个变量不一定是相关关系，也可能是确定性关系，故①错误；圆的周长与该圆的半

径具有函数关系，故②错误；③④⑤都正确.

题型二线性回归方程

例2某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据:

X681012

y2356

(1)请画出上表数据的散点图；(要求：点要描粗)

(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程x+a；

(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力.

n

ILxty-nxy__

a

(相关公式：b~~彳-----——，~y-bx)

国舅一〃x

［解］⑴如图:

4

(2)由表中数据得/E=1x,y,=6X2+8X3+10X5+12X6=158,

-6+8+10+12

x=-------------=9

4

-2+3+5+6

y=4=4,

2H=62+82+10,+12=344,

…158-4X9X4

所以"=344-4X92=°-7,

a—y—bx—4—0.7X9=—2.3,

故线性回归方程为尸0.7*—2.3.

(3)由(2)中线性回归方程可知，当x=9时，y=0.7X9—2.3=4,故预测记忆力为9

的同学的判断力约为4.

点睛

求线性回归方程的步骤

(1)画出散点图.从直观上分析数据间是否存在线性相关关系.

(2)计算7,£恳等相关数据.

(3)代入公式求出y=6x+a中参数6,a的值.

(4)写出回归方程并对实际问题作出估计.

［跟踪训练2］某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四

次试验，得到的数据如下：

零件的个数x(个)2345

加工的时间y(小时)2.5344.5

(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图;

(2)求出y关于x的线性回归方程x+a,并在坐标系中画出回归直线;

(3)试预测加工10个零件需要多少时间？

»田一nxy

注：b=a=y—bx.

2^x2-n-x2

7=1

解(1)散点图如图.

零件个数/个

(2)由表中数据得i>,%=52.5,

x=3.5,y=3.5,Z舅=54,

/=1

=52.5-4X3.5X3.5

所以。

54-4X3.5一

所以a=y~bx=1.05.

所以y=0.7x+1.05.

回归直线如图中所示.

(3)将x=10代入回归直线方程，得y=0.7X10+1.05=8.05,

所以预测加工10个零件大约需要8.05小时.

题型三相关系数的应用

例3要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学学习的影响，在高一年级学生中

随机抽取10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学成绩如下表所示：

学生编号12345678910

入学数学成63674588817152995876

绩X

高一期末数

65785282928973985675

学成绩y

(1)画出散点图；

(2)计算入学成绩x与高一期末成绩y的相关系数；

(3)对变量x与y进行相关性检验，如果x与y之间具有线性相关关系，求出一元线性回

归方程.

［解］(1)以入学数学成绩x为自变量，高一期末数学成绩y为因变量，作散点图如图所

示.可以看出，这两组变量有比较好的线性相关关系.

高一期末数学成绩

95.

85°

75.,«

65.

55,•

451.........................................—►

5565758595入学数学成绩力

,—1

(2)因为x=—X(63+674---卜76)=70,

—1

y=—X(65+78+…+75)=76,

10

所以Z(%—X)(匕-P)=1894,

z=i

X(%—x”=2474,Z(必一y”=2056.

2=12=1

因此求得相关系数为

10

2(巧一忑)(%—50

—O840.

(3)由(2)知2^0.84,这说明数学入学成绩与高一期末数学成绩存在很强的线性相关关

系.

设线性回归方程为y=6x+a,在两组变量具有显著的线性关系的情况下,

10

2（肛一Z）（y-歹）

i=1

~1O

S-T）2

b=J=1^0.766,

a=y~bx=22.38.

因此，所求的线性回归方程是y=0.766x+22.38.

点睛

判定两个变量正、负相关性的方法

(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下

角，两个变量负相关.

(2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关.

(3)线性回归方程：力0时，正相关；伙0时，负相关.

［跟踪训练3］对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较,

正确的是()

35

30

25

20

15

10

5

0510152025303505101520253035

相关系数为小相关系数为「2

35

30

25

20

15

10

551________________1J

05101520253035051（）1520253035

相关系数为/"3相关系数为q

A.r2<r\<0<r3<riB.ri<Z2<0<ri<n

C.ri<Z2<0<23<riD.22<ri<0<ri<n

答案A

解析由相关系数的定义以及散点图可知r2<n<0<r3<r1.故选A.

题型四非线性回归方程

例4某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）

对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响.对近8年的年宣传费%和年销售量

匕（？=1,2,…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

年销伸量"

620•

600

5

8()

560

540

20

5(x)

580

4

0343638404244464850525456年宣传费/千元

/

88

S(W,-w)•

88X（《一彳）•

S(X；—X)2S(W•—w)2»=1

Xy而i=l

t-1（y—少）(y—5)

46.65636.8289.81.61469108.8

表中

（1）根据散点图判断，y=a+6x与尸c+班哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费

＞的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（3）已知这种产品的年利润z与的关系为z=0.2y-x.根据（2）的结果回答下列问题:

①年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据（M,H），（如㈤，…，（u〃，%）,其回归直线-£〃的斜率和

X（%—U）（Vj—V）

«）2

截距的最小二乘估计分别为£=，=-1,a=7-j3~U.

［解］（1）由散点图可以判断，y=c+外^适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方

程类型.

⑵令尸5,先建立y关于旷的线性回归方程.

2(W,一沅)(V,—V)

/=1

〃

宁（〃,.一〃）2

口=臀=68,

由于"=

1.0

c=y—d匹=563—68X6.8=100.6,

所以，关于『的线性回归方程为7=100.6+68必

因此y关于*的回归方程为y=100.6+68^1

⑶①由⑵知，当x=49时，

年销售量y的预报值产=100.6+68匹=576.6,

年利润z的预报值z=576.6X0.2-49=66.32.

②根据(2)的结果知，年利润z的预报值

z—Q.2X(100.6+68-^%)——x+13.6-^+20.12.

所以当等=6.8,即x=46.24时，z取得最大值.

故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.

点睛

非线性回归方程的求法

(1)根据原始数据作出散点图.

(2)根据散点图，选择恰当的拟合函数.

(3)作恰当变换，将其转化成线性函数，求线性回归方程.

(4)在(3)的基础上通过相应变换，即可得非线性回归方程.

［跟踪训练4］为了研究某种细菌随时间x变化繁殖的个数，收集数据如下:

天数x/天123456

繁殖个数力个612254995190

(1)根据数据，作出两个变量的散点图；

(2)试求细菌繁殖个数与时间(天数)的回归方程.

解(D由表中数据作散点图如图所示.

"个

叫.

180t

160卜

140L

120I

叫.

80[

60

40[■

2°H：：....

0I23456V天

（2）由散点图看出样本点分布在一条指数函数y=aec2x的图像的周围，其中a和a是

待定系数.于是令z=lny,则z=6x+a（a=lnCi,b=c2）,因此变换后的样本点应该分布

在直线z=6x+a的周围，因此可以用线性回归模型来拟合z与x的关系，则变换后的样本数

据如下表：

X123456

z1.792.483.223.894.555.25

由表中数据得到线性回归方程z=0.69%+1.115.

因此细菌繁殖个数关于时间的回归方程为y=e0%+L吗

随堂水平

-----------------------------------------------------------------------SUITANGSHUIPINGDABIAO--------------------------------------------------------------:-----------

1.工人月工资（力与劳动生产率x（千元）变化的回归方程为y=50+80x,下列判断正确

的是（）

①劳动生产率为1千元时，工资为130元；②劳动生产率提高1千元时，则工资提高80

元；③劳动生产率提高1千元时，则工资提高130元；④当月工资为210元时，劳动生产率

为2千元.

A.①②B.①②④C.②④D.①②③④

答案B

解析由回归方程定义可知①②④正确.

2.对于指数曲线y=ae"令u=lny,c=lna,经过非线性化回归分析后，可转化的

形式为（）

A.u=c+bxB.u—b~\~ex

C.y=c+bxD.y=b+ex

答案A

解析因为尸ae",所以In尸Ina+bx,所以u=c+6x.

3.某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与

当天气温，并制作了对照表：

气温(℃)181310-1

用电量(度)24343864

由表中数据得线性回归方程y=6x+a中6=-2,预测当气温为一4七时;用电量的度数

约为.

答案68

解析V%=10,y=40,回归方程过点(*,y),

A40=—2X10+a.

；.a=60."=—2叶60.

令*=一4,，y=(—2)X(—4)+60=68.

4.某商店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x

与日销售量y之间有如下关系：

X5678

y10873

则x,y之间的线性回归方程为,线性相关系数约为一

答案尸21.3—2.2x-0.9648

解析由表格知x=6.5,y—1,

4

S(jr,—x)(y,—y)

,i=i__________________

S(J?i—下)2

b=i=l=-2.2,

a=y—bx=7-(—2.2)X6.5=21.3,

所以线性回归方程为y=21.3-2.2x.

—万)(y—歹)

£(々一天尸・j£(y-y)?

=«-0.9648.

5.假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下:

(1)结合数据作出散点图；

(2)求y与x之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗.

解(D散点图如下：

50

48

46

44

42

40

15253545%

(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用回归方程刻画

它们之间的关系.

设回归方程为了=法+@,因为x=30.36,y=43.5,

Z'=5101.56,

xy=1320.66,

2为力=6746.76.

2必％—5xy

*2=1

由8=---------------------10・29,

^x—5x2

i=l

a=?.b7^43.5-0.29X30.36^34.70.

故所求的线性回归方程为y=34.70+0.29%.

当x=56.7时，y=34.70+0.29X56.7=51.143.

估计成熟期有效穗为51.143.

课后课时,精练

对应学生用书PIO3

SHIJING

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1.在如图所示的四个散点图中，两个变量具有相关性的是（）

①②③④

A.①②B.①④C.②③D.②④

答案D

解析由图可知①中变量间是一次函数关系，不是相关关系；②中的所有点在一条直线

附近波动，是线性相关的；③中的点杂乱无章，没有什么关系；④中的所有点在某条曲线附

近波动，是非线性相关的.故两个变量具有相关性的是②④.

2.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系，并求得线性回归方程,

分别得到以下四个结论：

①y与X负相关且y=2.347X-6.423；

②y与x负相关且产=—3.476x+5.648；

③y与*正相关且y=5.437x+8.493；

④y与x正相关且y=-4.326x—4.578.

其中一定不正确的结论的序号是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

答案B

解析由正、负相关性的定义知①④一定不正确.故选B.

3.变量¥与V相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5)；

变量〃与『相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1).乃表示

变量Y与1之间的线性相关系数，々表示变量，与〃之间的线性相关系数，则()

A.z^<ri<0B.0<z^<ri

C./2<0<riD.r-i=r\

答案c

解析对于变量才与，而言，，随X的增大而增大，故变量F与1正相关，即h>0;对

于变量〃与/而言，/随〃的增大而减小，故变量1/与〃负相关，叩资<0.故所：0〈八.

4.已知x与y之间的几组数据如下表：

X123456

y021334

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y=6x+a,若某同学根据上表中的前两组

数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为/=b'x+a',则以下结论正确的是()

A.b>b',a>a'B.b>b',a<a'

C.b<b',a>a'D.b<b',a<a'

答案C

解析过(1,0)和(2,2)的直线方程为y'=2*—2,

画出六点的散点图，回归直线的大概位置如图所示.

显然，b'>b,a>a',故选C.

5.(多选)某厂节能降耗改造后在生产力产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生

产能耗y(单位：吨)的几组对应数据如下表所示，根据表中提供的数据，求出y关于x的线

性回归方程为y=0.7x+0.35,则下列结论中正确的是（）

X3456

y2.5t44.5

A.回归直线一定过点（4.5,3.5）

B.产品的生产能耗与产量正相关

C.1的取值必定是3.15

D.1产品每多生产1吨，则相应的生产能耗增加约0.7吨

答案ABD

_1—

解析（3+4+5+6）=4.5,则y=0.7X4.5+0.35=3.5,所以回归直线一定

过点（4.5,3.5）,故A正确；因为0.7>0,所以产品的生产能耗与产量正相关，故B正确；因

_1

为y=[X（2.5+C+4+4.5）=3.5,所以t=3,故C错误；4产品每多生产1吨，则相应的

生产能耗约增加0.7吨，故D正确.故选ABD.

二、填空题

6.调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查

显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程:

y=0.254x+0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加

万元.

答案0.254

解析年饮食支出平均增加0.254X1=0.254万元.

7.某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随

机统计了某4个月的销售量与当月平均气温，数据如下表：

月平均气温x（℃）171382

月销售量y（件）24334055

由表中数据算出线性回归方程尸6x+a中的6七一2.气象部门预测下个月的平均气温

约为6°C,据此估计，该商场下个月该品牌羽绒服的销售量的件数约为_______.

答案46

解析由表格得（二，，）为（10,38）,又（7,亍）在回归直线y=6x+a上，且。、一2,

得38=—2X10+a,a=58,所以y=—2x+58,

当x=6时，尸-2X6+58=46.

8.某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下几组样本数据:

使用年限X23456

维修费用y2.23.85.56.57.0

根据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直

线的斜率为L23,则这组样本数据的线性回归方程是

答案尸L23x+0.08

解析...;=2+3+：+5+6=4

-2.2+3.8+5.5+6.5+7

片5=5

：.a^y~bx=5—1.23X4=0.08.

...线性回归方程为y=l.23x+0.08.

三、解答题

9.在一次抽样检查中，抽得5个样本点，数据如下表:

X0.250.5121

y1612521

试建立y关于x的回归方程.

解作出散点图，如图所示，由散点图可以看出，图像近似反比例函数在第一象限的部

分，因此，令〃=：，由已知数据，可得变换后的样本数据：

以点

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