新人教版数学八年级上册教案(全册紧凑版)

第11章三角形

教材内容

本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和，镶嵌等。

三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。教材通过实

验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于180°的基础上，进行推理论证，从而得出三角

形外角的性质。接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了

多边形的内角和、外角和公式。这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是

研究其它图形的基础。最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应

用.

教学目标

（知识与技能）

1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线：2、了解三角形的稳定性，理解

三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形；3、会证明三角形内角和

等于180°,了解三角形外角的性质。4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解

决问题。5、理解平面镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用它们进行

简单的平面镶嵌设计。

（过程与方法）

1、在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯:

2、在灵活运用知识解决有关问题的过程中，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培说理

和进行简单推理的能力。

（情感、态度与价值观）

1、体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心；2、会应用数学知识解决一些简单的实

际问题，增强应用意识；3、使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观

点。

重点难点

三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式，镶嵌是重点；三角形内角和等于180°的证

明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形及简单的平面镶嵌设计是难点。

课忖分配

11.1与三角形有关的线段..............................2课时

11.2与三角形有关的角................................2课时

11.3多边形及其内角和...............................2课时

本章小结.............................................2课时

11.1.1三角形的边

［教学目标］

（知识与技能）

1了解三角形的意义，认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形；

2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题.

（过程与方法）

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯；

（情感、态度与价值观）

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心

［重点难点］三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关

系判定三条线段可否组成三角形是难点.

［教学过程］

一、情景导入

三角形是一种最常见的几何图形，［投影1-6］如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处

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处都有三角形的形象。

那么什么叫做三角形呢？

二、三角形及有关概念

不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，筒称角，相邻两边的公

共端点是三角形的顶点。

三角形ABC用符号表示为AABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c表示，顶点B所对的边

AC可用b表示，顶点A所对的边BC可用a表示.

三、三角形三边的不等关系

探究：［投影刀任意画一个aABC,假设有一只小虫要从B点出发，沿三角形的边爬到C,它有几种路线

可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？

有两条路线：（1）从B-C,（2）从BTATC；不一样，AB+AOBC①；因为两点之间线段最短。

同样地有AC+BOAB②

AB+BOAC③

由式子①②®我们可以知道什么？

三角形的任意两边之和大于第三边.

四、三角形的分类

我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角

形统称为斜三角形。

按角分类：

三角形f直角三角形

1斜三角形!锐角三角形

【钝角三角形

那么三角形按边如何进行分类呢？请你按“有几条边相等”将三角形分类。

三边都相等的三角形叫做等边三角形；

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；

三边都不相等的三角形叫做不等边三角形。

显然，等边三角形是特殊的等腰三角形。

按边分类：

三角形｛不等边三角形

1等腰三角形］底和腰不等的等腰三角形

1等边三角形

五、例题

例用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多

少？（2）能围成有一边长为4cm的等腰三角形吗？为什么？

分析：（1）等腰三角形三边的长是多少？若设底边长为xcm,则腰长是多少？（2）“边长为4cm”是

什么意思？

解：（1）设底边长为xcm,则腰长2xcm。

x+2x+2x=18

解得x=3.6

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所以，三边长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm.

（2）如果长为4cm的边为底边，设腰长为xcm,则

4+2x=18

解得x=7

如果长为4cm的边为腰，设底边长为xcm,则

2X4+x=18

解得x=10

因为4+4<10,出现两边的和小于第三边的情况，所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形。

由以上讨论可知，可以围成底边长是4cm的等腰三角形。

五、课堂练习

课本4直练习1、2题。

六、课堂小结

1、三角形及有关概念；

2、三角形的分类；

3、三角形三边的不等关系及应用。

作业：

课本8Mh2、6；

教后记

11.1.2三角形的高、中线与角平分线

（教学目标）

（知识与技能）A

1、经历画图的过程，认识三角形的高、中线与角/|\

分线；/\

2、会画三角形的高、中线与角平分线；3、了解BI）C

角形的三条高所在的直线，三条中线，三条角平分线分

交于~.点.

（过程与方法）

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理的习惯

（情感、态度与价值观）

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心

（重点难点）三角形的高、中线与角平分线是重点；三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角

三角形的高是难点.

（教学过程）

一、导入新课

我们已经知道什么是三角形，也学过三角形的高。三角形的主要线段除高外，还有中线和角平分线

值得我们研究。

二、三角形的高

请你在图中画出4ABC的一条高并说说你画法。

从AABC的顶点A向它所对的边BC所在的直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做aABC的边

BC上的高，表示为ADLBC于点D。

注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

请你再画出这个三角形AB、AC边上的高，看看有什么发现？

三角形的三条高相交于一点。

如果AABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？

现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。

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显然，上面的结论成立。A

请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。

上面的结论还成立。/

三、三角形的中线B-------D―C

如图，我们把连结AABC的顶点A和它的对边BC的中点D,所得线段AD

叫做△ABC的边BC上的中线，表示为BD=DC或BD=DC=1/2BC或2BD=2DC=BC.

请你在图中画出4ABC的另两条边上的中线，看看有什么发现？

三角的三条中线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。

上面的结论还成立。

四、三角形的角平分线

如图，画NA的平分线AD,交NA所对的边BC于点D,所得线段AD叫做AABC的角平分线，表示

为ZBAD=ZCAD或NBAD=/CAD=1/2ZBAC或2NBAD=2/CAD=ZBAC«

思考：三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不样的。

请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？

三角形三个角的平分线相交于一点。

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。

上面的结论还成立。

想一想：三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？

三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角

形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

五、课堂练习

课本5^练习1、2题。

六、课堂小结

1、三角形的高、中线、角平分线的概念和画法。

2、三角形的三条高、三条中线、三条角平分线及交点的位置规律。

七作业：

课本8M3>4；

八、教后记

11.1.3三角形的稳定性

［教学目标］

（知识与技能）

1、知道三角形具有稳定性，四边形没有稳定性；2、了解三角形的稳定性在生产、生活中的应用。

（过程与方法）

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯

（情感、态度与价值观）

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心

［重点难点］三角形稳定性及应用。

［教学过程］

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一、情景导入

盖房子时，在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，为什么要这样做呢？

二、三角形的稳定性

〔实验）1、把三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

(1)

不会改变。

2、把四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？

会改变。

3、在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？

不会改变。

从上面的实验中，你能得出什么结论？

三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性。

三、三角形稳定性和四边形不稳定的应用

三角形具有稳定性固然好，四边形不具有稳定性也未必不好，它们在生产和生活中都有广泛的应用。

如：

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，活动挂架则是利用四边形的不稳定性。

你还能举出一些例子吗？

四、课堂练习

1、下列图形中具有稳定性的是（）

A正方形B长方形C直角三角形D平行四边形

2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？

CAOO区

3、课本7直练习。⑶

五作业：8W5；9直10题。

六、教后记

11.2.1三角形的内角

［教学目标］

（知识与技能）

掌握三角形内角和定理。

（过程与方法）

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯

（情感、态度与价值观）

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心

［重点难点］三角形内角和定理是重点；三角形内角和定理的证明是难点。

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［教学过程］

一、导入新课

我们在小学就知道三角形内角和等于180°,这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需

要证明，怎样证明呢？

二、三角形内角和的证明

回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？

把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出

NBCD的度数，可得到NA+NB+NACB=180°。［投影1］

想一想，还可以怎样拼？

①剪下NA,按图(2)拼在一起，可得到/A+/B+NACB=180°。

A

图2

②把NB和NC剪下按图(3)拼在一起，可得到/A+NB+NACB=180"。

如果把上面移动的角在图上进行转移，山图1你能想到证明三角形内角和等于180”的方法吗？

已知△ABC,求证：ZA+ZB+ZC=180°»

证明一

过点C作CM〃AB,则NA=NACM,ZB=ZDCM,

又ZACB+ZACM+ZDCM=180°

.\ZA+ZB+ZACB=180°»

即：三角形的内角和等于180°。

由图2、图3你又能想到什么证明方法？请说说证明过程。

三、例题

例如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°

方向，从C岛看A、B两岛的视角NACB是多少度？

分析：怎样能求出/ACB的度数？

根据三角形内角和定理，只需求出NCAB和NCBA的度数即可。

NCAB等于多少度？怎样求NCBA的度数？

解：ZCBA=ZBAD-ZCAD=8O°-5O°=3O0

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VAD^BE.,.ZBAD+ZABE=180°

/.ZABE=180-ZBAD=180-80=100°

ZABC=ZABE-ZEBC=100-40（,=60°

/.ZACB=180°-ZABC-ZCAB=180o-60°-30o=90o

答：从C岛看AB两岛的视角/ACB=180°是90°。

四、课堂练习

课本13M1.2题。

五作业：

16W1、3、4；

六、教后记*

［教学目标］/\y/

（知识与技能）/

理解三角形的外角；2、掌握三角形外角的性质，能利用三角形外角EcD

的性质解决问题。

（过程与方法）

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成I'A

数学推理的习惯

（情感、态度与价值观）

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心/T

［重点难点］三角形的外角和三角形外角的性质是重点；理解三角形的外角是难点。

［教学过程］

一、导入新课

【投影1）如图，4ABC的三个内角是什么？它们有什么关系？

是NA、NB、ZC,它们的和是180%

若延长BC至D,则/ACD是什么角？这个角与4ABC的三个内角有什么关系？

二、三角形外角的概念

/ACD叫做AABC的外角。也就是，三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

想一想，三角形的外角共有几个？

共有六个。

注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取

一个外角.

三、三角形外角的性质

容易知道，三角形的外角NACD与相邻的内角NACB是邻补角，那与另外两个角有怎样的数量关系

呢？

【投影2）如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明NACD与/A、

ZB的关系吗？

：CE〃AB,.\ZA=Z1,ZB=Z2

又NACD=N1+N2

，ZACD=ZA+ZB

你能用文字语言叙述这个结论吗？

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

由加数与和的关系你还能知道什么？

三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

即ZACD>ZA,ZACD>ZB。

四、例题

【投影3）例如图，Nl、N2、/3是三角形ABC的三个外角，它们的和是多少?

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分析：N1与NBAC、N2与NABC、/3与NACB有什么关系？/BAC、ABC、NACB有什么关系？

解：VZ1+ZBAC=18O°,Z2+ZABC=180°,Z3+ZACB=180°,

Z1+ZBAC+Z2+ZABC+Z3+ZACB=540°

又ZBAC+ZABC+ZACB=180°

.".Zl+Z2+Z3=360°o

你能用语言叙述本例的结论吗？

三角形外角的和等于36（）0。

五、课堂练习

课本15直练习；

六、课堂小结

1、什么是三角形外角？

2、三角形的外角有哪些性质？

七、作业：

课本12M5,6；

八、教后记

11.3.1多边形

［教学目标］

（知识与技能）

1、了解多边形及有关概念，理解正多边形的概念.2、区别凸多边形与凹多边形.

（过程与方法）

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯

（情感、态度与价值观）

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心

［重点难点］多边形及有关概念、正多边形的概念是重点；区别凸多边形与凹多边形是难点。

［教学过程］

一、情景导入

【投影1］看下面的图片，你能从中找出由一些线段围成的图形吗？

二、多边形及有关概念

这些图形有什么特点？

山几条线段组成；它们不在同一条直线上；首尾顺次相接.

这种在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。这就是说，一个多边形由

几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。

与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的/A、NB、/C、ND、Z

E。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.如图中的/I是五或形ABCDE的一个外

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A；l

BB

E

C'D'D

连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

四边形有几条对角线？五边形有几条对角线？画图看看.

你能猜想n边形有多少条对角线吗？说说你的想法。

n边形有l/2n(n-3)条对角线。因为从n边形的一个顶点可以引n-3条对角线，n个顶点共引n(n

-3)条对角线，又由于连接任意两个顶点的两条对角线是相同的，所以，n边形有l/2n(n-3)条对角线。

三、凸多边形和凹多边形

［投影3］如图，下面的两个多边形有什么不同？

在图(1)中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样

的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图(2)就不满足上述凸多边形的特征，因为我

们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。

注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形.

四、正多边形的概念

我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相

等的多边形叫做正多边形。

［投影4］下面是正多边形的一些例子。

正方形正六边戏

五、课堂练习

课本21直练习1、2。

3、有五个人在告别的时候相互各握了一次手，他们共握了多少次手？你能找到一个几何模型来说明

吗？

六、课堂小结

1、多边形及有关概念。

2、区别凸多边形和网多边形。

3、正多边形的概念。

4、n边形对角线有l/2n(n-3)条。

七、作业：

课本24W

八、教后记

11.3.2多边形的内角和

［教学目标］

(知识与技能)

1、了解多边形的内角、外角等概念;

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2、2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算.

（过程与方法）

在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯

（情感、态度与价值观）

体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心

［重点难点］多边形的内角和与多边形的外角和公式是重点；多边形的内角和定理的推导是难点。

［教学过程］

一、复习导入

我们已经证明了三角形的内角和为180°,在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边

形内角的和为360°,现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？

二、多边形的内角和

〔投影1〕如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成儿个三角形？那么

四边形的内角和等于多少度？

可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=4人1》的内角和+4BDC的

内角和=2X180°=360°。

类似地，你能知道五边形、六边形……n边形的内角和是多少度吗？

【投影2）观察下面的图形，填空：

五边形六边形

从五边形一个顶点出发可以引对角线，它们将五边形分成三角形，五边形的内角和等

于;

从六边形一个顶点出发可以引对角线，它们将六边形分成三角形，六边形的内角和等

于;

〔投影3〕从n边形一个顶点出发，可以引—对角线，它们将n边形分成—三角形，n边形的内角

和等于。

n边形的内角和等于（n-2）«180°.

从上面的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求。现在以五边形为例，

你还有其它的分法吗？

分法一〔投影3）如图1,在五边形ABCDE内任取一点0,连结0A、OB、0C、OD、0E,则得五个三

角形。

二五边形的内角和为5X180°-2X180°=（5—2）X180°=540°。

分法二〔投影4〕如图2,在边AB上取一点0,连0E、01）、OC,则可以（5-1）个三角形。

第10页共10页

，五边形的内角和为(5—1)X1800—180°=(5—2)X1800

如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和=(n-2)X180°.

三、例题

〔投影6〕例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

如图，已知四边形ABCD中，ZA+ZC=180°,求/B与/D的关系.

分析：NA、NB、/C、ND有什么关系？

解：VZA+ZB+ZC+ZD=(4-2)X180°=360°

又/A+NC=180°

AZB+ZD=360°-(ZA+ZC)=180°

这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补.

〔投影7〕例2如图，在六边形的每个顶点处各取•个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六

边形的外角和等于多少？如图，已知Nl,Z2,Z3,Z4,Z5,N6分别为六边形ABCDEF的外角，求/

1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6的值.

分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？

解：VZ1+ZBAF=18O°Z2+ZABC=180°Z3+ZBAD=180°

Z4+ZCDE=180°Z5+ZDEF=180°Z6+ZEFA=180°

Z1+ZBAF+Z2+ZABC+Z3+ZBAD+Z4+ZCDE+Z5+ZDEF+Z6+ZEFA=6X1800

又/l+N2+N3+N4+/5+N6=4X180°

AZBAF+ZABC+ZBAD+ZCDE+ZDEF+ZEFA=6X180°-4X180°=360°

这就是说，六边形形的外角和为360°。

如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：

n边形的外角和等于360°。B

对此，我们也可以这样来理解。〔投影8〕如图，从多边形的一个顶点A

出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方/向，在行

程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的A/各个角

的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°.

四、课堂练习D

课本24直1、2、3题。

五、课堂小结

n边形的内角和是多少度？

n边形的外角和是多少度？

六、作业：

课本24直2、3；

七、教后记

第十二章全等三角形

单元要点分析

教学内容

本章的主要内容是全等三角形.主要学习全等三角形的性质以及探索判定三角形全等的方法，并学会

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怎样应用全等三角形进行证明，本章划分为三个小节，第一节学习三角形全等的概念、性质；第二节学习

三角形全等的判定方法和直角三角形全等的特殊判定方法；第三节利用三角形全等证明角的平分线的性

质，会利用角的平分线的性质进行证明.

教材分析

教材力求创设现实、有趣的问题情境，使学生经历从现实活动中抽象出几何模型和运用所学内容解决

实际问题的过程.在内容呈现匕把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件上，通过“边边边”条件

探索什么是三角形的判定，如何判定，怎样进行推理论证，怎样正确地表达证明过程.学生开始学习三角

形判定定理时的困难在于定理的证明，而这些推理证明并不要求学生掌握.为了突出判定方法这条主渠道，

教材都作为基本事实提出来，在画图、实验中让学生知道它们的正确性就可以了.在“角的平分线的性质”

一节中的两个互逆定理，只要求学生了解其条件与结论之间的关系，不必介绍互逆命题、互逆定理等内容，

这将在“勾股定理”中介绍.

三维目标

1.知识与技能在探索全等三角形的性质与判定中，提高认知水平，积累数学活动经验.

2.过程与方法经历探索三角形全等的判定的，发展空间观念和有条理的表达能力，掌握两个三角形

全等的判定并应用于实际之中.

3.情感、态度与价值观

培养良好的观察、操作、想象、推理能力，感悟几何学的内涵.

重、难点与关键

1.重点：使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式.

2.难点：领会证明的分析思路，学会运用综合法证明的格式.

3.关键：突出三角形全等的判定方法这条主线，淡化对定理的证明.

教学建议

1.注意使学生经历探索三角形性质及三角形全等的判定的过程.在教学中鼓励学生观察、操作、推

理，运用多种方式探索三角形有关性质.

2.注重创设具有现实性、趣味性和挑战性的情境，体现三角形的广泛应用.

3.注意直观操作与说理的结合，逐步培养学生有条理的思考和表达.

课时划分

本单元共分成9课时.

12.1全等三角形1课时

12.2三角形全等的性质5课时

12.3角的平分线的性质2课时

复习与交流1课时

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12.1全等三角形

教学内容

本节课主要介绍全等三角形的概念和性质.

教学目标

1.知识与技能领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念.

2.过程与方法

经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角.

3.情感、态度与价值观培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值.

重、难点与关键

1.重点：会确定全等三角形的对应元素.

2.难点：掌握找对应边、对应角的方法.

3.关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应

角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.

教具准备

四张大小一样的纸片、直尺、剪刀.

教学方法

采用“直观——感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识.

教学过程

一、动手操作，导入课题

1.先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，思考得到的图形有何特点？

2.重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，思考得到的图形有何特点？

【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论.

【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形.

学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸，注意整个过程要

细心.

【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合.这样的两个图形

叫做全等形，用“丝”表示.

概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.

【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、

旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？

【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等.

【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、

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三条边、每条边的边角、每个角的对边.

【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：(1)何时能完全重在一

起？(2)此时它们的顶点、边、角有何特点？

【交流讨论】通过同桌交流，实验得出卜面结论：

1.任意放置时，并不一定完全重合，只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合.

2.这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了.

3.完全重合说明三条边对应相等，三个内角对应相等，对应顶点在相对应的位置.

【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范.

1.概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合

的角叫做对应角.

2.证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，如果本图11.1—2Z\ABC

和aDBC全等，点A和点D,点B和点B,点C和点C是对应顶点，记作△ABCZ/XDBC.

【问题提出】课本图11.1—1中，△ABC四ZM)EF,对应边有什么关系？对应角呢？

【学生活动】经过观察得到下面性质：

1.全等三角形对应边相等；

2.全等三角形对应角相等.

二、随堂练习，巩固深化

课本P37练习.

【探研时空】

1.如图1所示，△ACFgZXDBE,ZE=ZF,若AD=20cm,BC=8cm,你能求出线段AB的长吗？与同伴交

流.(AB=6)

图1图2

2.如图2所示，△ABCgaAEC,ZB=30°,ZACB=85°,求出AAEC各内角的度数.(ZAEC=30°,

ZEAC=65°,ZECA=85°)

三、课堂总结，发展潜能

1.什么叫做全等三角形？

2.全等三角形具有哪些性质？

四、布置作业，专题突破

课本P43习题12.1第1,2,3,4题.

五、板书设计

第14页共14页

把黑板分成左、中、右三部分，左边板书本节课概念，中间部分板书“思考”中的问题，右边部分板

书学生的练习.

疑难解析

由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻

找对应边、角的规律：（1）有公共边的，公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；

（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中•对最长的边（或最大的角）是对应边（或

角），--对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）

六、教后记

12.2.1三角形全等的判定（SSS）

教学内容

本节课主要内容是探索三角形全等的条件（SSS）,及利用全等三角形进行证明.

教学目标

1.知识与技能

了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等.

2.过程与方法

经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，解决简单的问题.

3.情感、态度与价值观

培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识.

重、难点与关键

1.重点：掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法.

2.难点：理解证明的基本过程，学会综合分析法.

3.关键：掌握图形特征，寻找适合条件的两个三角形.

教具准备

一块形状如图1所示的硬纸片，直尺，圆规.

教学方法

采用”操作——实验”的教学方法，让学生亲自动手，形成直观形象.

教学过程

一、设疑求解，操作感知

第15页共15页

【教师活动】（出示教具）

问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图2所示的残片，你对图中的残片作哪些测量，就

可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流.

【学生活动】观察，思考，回答教师的问题.方法如下：可以将图1的玻璃碎片放在一块纸板上，然

后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形.如图2,剪下模板就可去割玻璃了.

【理论认知】

如果AABC咨4A'B'C',那么它们的对应边相等，对应角相等.反之，如果AABC与AA'B'C'

满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A'B，,BC=BZC,CA=C'A，,ZA=ZAZ,ZB=ZB,,

ZC=ZCZ.

这六个条件，就能保证aABC丝AA'B'C',从刚才的实践我们可以发现：只要两个三角形三条对

应边相等，就可以保证这两块三角形全等.

信不信？

【作图验证】（用直尺和圆规）

先任意画出一个aABC,再画一个AA'B'C',使A'B'=AB,B'C=BC,CzA'=CA.把画出的AA'

B'C剪下来，放在AABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗）

【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图，并验证.（如课本图11.2-2所示）

画一个AA'B'C',使A'B'=AB',A'C=AC,B'C'=BC：

1.画线段取B'C=BC；

2.分别以B'、C'为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A'；

3.连接线段A，B'、A，U.

【教师活动】巡视、指导，引入课题：“上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律？”

【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理.

（1）判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）.

（2）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等.

【评析】通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等，逐步探索出最后的结论——边边边，在这个

过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时增强了数学体验.

二、范例点击，应用所学

【例1】如课本图H.2—3所示，AABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架，求

证aABD会4ACD.（教师板书）

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【教师活动】分析例1,分析：要证明△ABDgaACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.

证明：YD是BC的中点,

/.BD=CD

在AABD和4ACD中

AB=AC,

<BD=CD,

AD=AD.

.,.△ABD^AACD（SSS）.

【评析】符号“•••”表示“因为表示“所以“；从例1可以看出，证明是由题设（已知）出

发，经过步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程.书写中注意对应顶点要写在同一个位置上，

哪个三角形先写，哪个三角形的边就先写.

三、实践应用，合作学习

【问题思考】

已知AC=FE,BC=DE,点A、D、B、F在直线上，AD=FB（如图所示），要用“边边边”证明aABC丝△FDE,

除了已知中的AC=FE,BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？

【教师活动】提出问题，巡视、引导学生，并请学生说说自己的想法.

【学生活动】先独立思考后，再发言：''还应该有AB=FD,只要AD=FB两边都加上DB即可得到AB=FD.”

【教学形式】先独立思考，再合作交流，师生互动.

四、随堂练习，巩固深化

课本P37练习.

【探研时空】

如图所示，AB=DF,AC=DE,BE=CF,BC与EF相等吗？你能找到一对全等三角形吗？说明你的理

由.(BC=EF,AABC^ADFE)

五、课堂总结，发展潜能

1.全等三角形性质是什么？

2.正确地判断出全等三角形的对应边、对应角，利用全等三角形处理问题的基础，你是怎样掌握判

第17页共17页

断对应边、对应角的方法?

3.“边边边”判定法告诉我们什么呢？(答：只要一个三角形三边长度确定了，则这个三角形的形

状大小就完全确定了，这就是三角形的稳定性)

六、布置作业，专题突破

1.课本P15习题11.2第1,2题.

2.选用课时作业设计.

七、板书设计

把黑板平均分成三份，左边部分板书“边边边”判定法，中间部分板书例题，右边部分板书练习.

八、教后记

12.2.2三角形全等判定(SAS)

教学内容

本节课主要内容是探索三角形全等的条件(SAS),及利用全等三角形证明.

教学目标

1.知识与技能

领会“边角边”判定两个三角形的方法.

2.过程与方法

经历探究三角形全等的判定方法的过程，学会解决简单的推理问题.

3.情感、态度与价值观

培养合情推理能力，感悟三角形全等的应用价值.

重、难点及关键

1.重点：会用“边角边”证明两个三角形全等.

2.难点：应用结合法的格式表达问题.

3.关键：在实践、观察中正确选择判定三角形全等的方法.

教具准备投影仪、直尺、圆规.

教学方法采用“操作——实验”的教学方法，让学生有一个直观的感受.

教学过程

一、回顾交流，操作分析

【动手画图】

【投影】作一个角等于已知角.

【学生活动】动手用直尺、圆规画图.

已知：ZAOB.

求作：NAQiB],使NAQ|B|=NAOB.

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【作法】(1)作射线0科］；(2)以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA于点C,交OB于点

D；(3)以点为圆心，以OC长为半径画弧，交O|A1于点Cj；(4)以点Ci为圆心，以CD长为半径

画弧，交前面的弧于点D］；(5)过点D1作射线OR”/AQiBi就是所求的角.

【导入课题】

教师叙述：请同学们连接CD、CQ”回忆作图过程，分析aCOD和△CQiD中相等的条件.

【学生活动】与同伴交流，发现下面的相等量：

OD=O|D1(OC=OC，ZCOD=ZC,O1D1,ACOD^AC^iDj.

归纳出规律：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“边角边”或“SAS”).

【评析】通过让学生回忆基本作图，在作图过程中体会相等的条件，在直观的操作过程中发现问题，

获得新知，使学生的知识承上启下，开拓思维，发展探究新知的能力.

【媒体使用】投影显示作法.

【教学形式】操作感知，互动交流，形成共识.

二、范例点击，应用新知

【例2】如课本图11.2-6所示有•池塘，要测池塘两侧A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接

到达A和B的点，连接AC并延长到D,使CD=CA,连接BC并延长到E,使CE=CB,连接DE,那么量出DE

的长就是A、B的距离，为什么？

【教师活动】操作投影仪，显示例2,分析：如果能够证明AABCg△»£(：,就可以得出AB=DE.在aABC

和ZXDEC中,CA=CD,CB=CE,如果能得出N1=N2,△ABC和4DEC就全等了.

证明：在AABC和中

CA=CD

<Zl=Z2

CB=CE

.,.△ABC^ADEC(SAS)

AAB=DE

想一想：N1=N2的依据是什么？(对顶角相等)AB=DE的依据是什么？(全等三角形对应边相等)

【学生活动】参与教师的讲例之中，领悟“边角边”证明三角形全等的方法，学会分析推理和规范书

写.

【媒体使用】投影显示例2.

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【教学形式】教师讲例，学生接受式学习但要积极参与.

【评析】证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解

决.

三、辨析理解，正确掌握

【问题探究】(投影显示)

我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，由“两边及其中一边的对角对应相等”的

条件能判定两个三角形全等吗？为什么？

【教师活动】拿出教具进行示范，让学生直观地感受到问题的本质.

操作教具：把一长一短两根细木棍的一端用螺钉锐合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B

重合，适当调整好长木棍与射线BC所成的角后，固定住长木棍，把