甘肃省酒泉市敦煌中学2025届高一下数学期末质量跟踪监视试题含解析

甘肃省酒泉市敦煌中学2025届高一下数学期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在中，已知，则等于()A． B．C．或 D．或2．已知偶函数在区间上单调递增，且图象经过点和，则当时，函数的值域是()A． B． C． D．3．已知点A(－1,1)和圆C：（x﹣5）2+（y﹣7）2=4,一束光线从A经x轴反射到圆C上的最短路程是A．6－2 B．8 C．4 D．104．已知非零向量、，“函数为偶函数”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件5．将一边长为2的正方形沿对角线折起，若顶点落在同一个球面上，则该球的表面积为（）A． B． C． D．6．样本中共有个个体，其值分别为、、、、.若该样本的平均值为，则样本的方差为（）A． B． C． D．7．设，是平面内一组基底，若，，，则以下不正确的是（）A． B． C． D．8．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（）A． B． C． D．9．如直线与平行但不重合，则的值为（）．A．或2 B．2 C． D．10．执行如图所示的程序框图，输出的s值为A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某地甲乙丙三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为200、300、400。现为了调查联考数学学科的成绩，采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取一个样本，已知甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，那么在丙学校中抽取的数学成绩人数为_________。12．已知数列从第项起每项都是它前面各项的和，且，则的通项公式是__________．13．设等差数列的前项和为，若，，则的最小值为______．14．某班委会由4名男生与3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有1名女生当选的概率是______15．在中，给出如下命题:①是所在平面内一定点，且满足，则是的垂心；②是所在平面内一定点，动点满足，，则动点一定过的重心；③是内一定点，且，则；④若且，则为等边三角形，其中正确的命题为_____（将所有正确命题的序号都填上）16．在长方体中，，，，如图，建立空间直角坐标系，则该长方体的中心的坐标为_________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，.（1）求解不等式；（2）若，求的最小值.18．做一个体积为，高为2m的长方体容器，问底面的长和宽分别为多少时，所用的材料表面积最少？并求出其最小值.19．东莞市公交公司为了方便广大市民出行，科学规划公交车辆的投放，计划在某个人员密集流动地段增设一个起点站，为了研究车辆发车的间隔时间与乘客等候人数之间的关系，选取一天中的六个不同的时段进行抽样调查，经过统计得到如下数据：间隔时间（分钟）81012141618等候人数（人）161923262933调查小组先从这6组数据中选取其中的4组数据求得线性回归方程，再用剩下的2组数据进行检验，检验方法如下：先用求得的线性回归方程计算间隔时间对应的等候人数，再求与实际等候人数的差，若两组差值的绝对值均不超过1，则称所求的回归方程是“理想回归方程”.参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：，（1）若选取的是前4组数据，求关于的线性回归方程；（2）判断（1）中的方程是否是“理想回归方程”：（3）为了使等候的乘客不超过38人，试用（1）中方程估计间隔时间最多可以设置为多少分钟？20．某快餐连锁店招聘外卖骑手，该快餐连锁店提供了两种日工资方案：方案(1)规定每日底薪50元，快递业务每完成一单提成3元；方案(2)规定每日底薪100元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单提成5元．该快餐连锁店记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25，35），[35，45)，[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图。(1)随机选取一天，估计这一天该连锁店的骑手的人均日快递业务量不少于65单的概率；(2)若骑手甲、乙选择了日工资方案(1)，丙、丁选择了日工资方案(2)．现从上述4名骑手中随机选取2人，求至少有1名骑手选择方案(1)的概率；21．在等差数列{an}中，2a9＝a12+13，a3＝7，其前n项和为Sn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和Tn，并证明Tn＜．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】在中，已知，由余弦定理，即，解得或，又，或，故选C.2、A【解析】

由题意结合函数的单调性和函数的奇偶性确定函数的值域即可.【详解】偶函数在区间上单调递增，则函数在上单调递减，且，故函数的值域为.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查函数的单调性，函数的奇偶性，函数值域的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3、B【解析】

点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，光线从点A经x轴反射到圆周C的路程最短，最短为|BC|﹣R．【详解】由反射定律得点A（﹣1，1）关于x轴的对称点B（﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，最短距离为|BC|﹣R=﹣2=10﹣2=1，故光线从点A经x轴反射到圆周C的最短路程为1．故选B．【点睛】本题考查光线的反射定律的应用，以及两点间的距离公式的应用．4、C【解析】

根据，求出向量的关系，再利用必要条件和充分条件的定义，即可判定，得到答案．【详解】由题意，函数，又为偶函数，所以，则，即，可得，所以，若，则，所以，则，所以函数是偶函数，所以“函数为偶函数”是“”的充要条件．故选C．【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，函数奇偶性的定义及其判定，以及充分条件和必要条件的判定，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5、D【解析】

令正方形对角线与的交点为，如图所示：由正方形中，,则，那么,将正方形沿对角线折起，如图所示：则点为三棱锥的外接球的球心，且半径为，故外接球的表面积为.故选：D【点睛】本题考查了多面体的外接球问题以及球的表面积公式，属于基础题.6、D【解析】

根据样本的平均数计算出的值，再利用方差公式计算出样本的方差.【详解】由题意可知，，解得，因此，该样本的方差为，故选：D.【点睛】本题考查方差与平均数的计算，灵活利用平均数与方差公式进行求解是解本题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.7、D【解析】

由已知及平面向量基本定理可得：，问题得解.【详解】因为，是平面内一组基底，且，由平面向量基本定理可得：，所以，所以D不正确故选D【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，还考查了同角三角函数的基本关系，属于较易题．8、A【解析】

设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，可得，，求出，根据等差数列的通项公式，得到关于关系式，即可求出结论.【详解】设5人分到的面包数量从小到大记为，设公差为，依题意可得，，，，解得，.故选:A.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等差数列的前项和、通项公式基本量的计算，等差数列的性质应用是解题的关键，属于中档题.9、C【解析】

两直线斜率相等，且截距不相等。【详解】解析：由题意得，，解得或2，经检验时两直线重合，故.故选C.【点睛】本题考查两直线平行，属于基础题.10、B【解析】分析：初始化数值，执行循环结构，判断条件是否成立，详解：初始化数值循环结果执行如下：第一次：不成立；第二次：成立，循环结束，输出，故选B.点睛：此题考查循环结构型程序框图，解决此类问题的关键在于：第一，要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二，要准确表示累计变量；第三，要注意从哪一步开始循环，弄清进入或终止的循环条件、循环次数.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、80【解析】

由题意，求得甲乙丙三所学校抽样比为，再根据甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，即可求解丙学校应抽取的人数，得到答案.【详解】由题意知，甲乙丙三所学校参加联考的人数分别为200、300、400，所以甲乙丙三所学校抽样比为，又由甲学校中抽取了40名学生的数学成绩，所以在丙学校应抽取人.【点睛】本题主要考查了分层抽样概念及其应用，其中解答中熟记分层抽样的概念，以及计算的方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12、【解析】

列举,可找到是从第项起的等比数列,由首项和公比即可得出通项公式.【详解】解：,即,所以是从第项起首项,公比的等比数列.通项公式为：故答案为：【点睛】本题考查数列的通项公式,可根据递推公式求出.13、【解析】

用基本量法求出数列的通项公式，由通项公式可得取最小值时的值，从而得的最小值．【详解】设数列公差为，则由已知得，解得，∴，，，又，、∴的最小值为．故答案为：．．【点睛】本题考查等差数列的前项和的最值．首项为负且递增的等差数列，满足的最大的使得最小，首项为正且递减的等差数列，满足的最大的使得最大，当然也可把表示为的二次函数，由二次函数知识求得最值．14、【解析】试题分析：∵从7人中选2人共有C72=21种选法，从4个男生中选2人共有C42=6种选法∴没有女生的概率是=，∴至少有1名女生当选的概率1-=．考点：本题主要考查古典概型及其概率计算公式．点评：在使用古典概型的概率公式时，应该注意：（1）要判断该概率模型是不是古典概型；（2）要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．15、①②④．【解析】

①:运用已知的式子进行合理的变形，可以得到，进而得到，再次运用等式同样可以得到,，这样可以证明出是的垂心；②：运用平面向量的减法的运算法则、加法的几何意义，结合平面向量共线定理，可以证明本命题是真命题；③：运用平面向量的加法的几何意义以及平面向量共线定理，结合面积公式，可证明出本结论是错误的；④：运用平面向量的加法几何意义和平面向量的数量积的定义，可以证明出本结论是正确的.【详解】①:，同理可得：,，所以本命题是真命题；②:，设的中点为，所以有，因此动点一定过的重心，故本命题是真命题；③:由，可得设的中点为，,,故本命题是假命题；④:由可知角的平分线垂直于底边，故是等腰三角形，由可知：，所以是等边三角形，故本命题是真命题，因此正确的命题为①②④.【点睛】本题考查了平面向量的加法的几何意义和平面向量数量积的运算，考查了数形结合思想.16、【解析】

先求出点B的坐标，再求出M的坐标.【详解】由题得B(4,6,0),,因为M点是中点，所以点M坐标为.故答案为【点睛】本题主要考查空间坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）或（2）【解析】

（1）对x分类讨论解不等式得解；（2）由题得，再利用基本不等式求函数的最小值.【详解】解：（1）当时，，解得.当时，，解得.所以不等式解集为或.（2），当且仅当，即时取等号.【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查基本不等式求函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.18、长和宽均为4m时，最小值为64【解析】

利用体积求得ab=16，只需表示出表面积，结合高为2m，利用基本不等式求出最值即可.【详解】设底面的长和宽分别为，因为体积为32，高为c=2m，所以底面积为16，即ab=16所用材料的面积S=2ab+2bc+2ca=32+4（a+b），当且仅当a=b=4时取等号，答：当底面的长和宽均为4m时，所用的材料表面积最少，其最小值为64【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.19、（1）（2）是“理想回归方程”（3）估计间隔时间最多可以设置为21分钟【解析】

（1）根据所给公式计算可得回归方程；（2）由理想回归方程的定义验证；（3）直接解不等式即可．【详解】（1），（2）当时，当时，，所以判断（1）中的方程是“理想回归方程”（3）由，得估计间隔时间最多可以设置为21分钟【点睛】本题考查回归直线方程，解题时直接根据所给公式计算，考查了学生的运算求解能力．20、（1）0.4（2）【解析】

（1）从频率分布直方图中计算出前四组矩形面积之和，即为所求概率；（2）列举出全部的基本事件，并确定出基本事件的总数，然后从中找出事件“至少有名骑手选择方案（1）”所包含的基本事件数，最后利用古典概型的概率公式可计算出结果。【详解】（1）设事件