新九年级数学时期讲义第3讲二次函数(一)-提高班(学生版+解析)

第3讲二次函数（一）1二次函数的定义要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.【例题精选】例1(2023秋•涟源市期末）若函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．9例2(2023秋•西城区校级期中）下列函数中①y＝3x+1②y＝4x2﹣3x；③y＝④y＝﹣2x2+5，是二次函数的有（）A．①② B．②④ C．②③ D．①④【随堂练习】1.(2023秋•沭阳县期末）下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ax2+bx+c2．(2023秋•香坊区校级期中）下列函数解析式中，是二次函数解析式的为（）A．y＝1﹣3x2 B．y＝3x+2 C．y＝2x D．y＝3．(2023秋•临西县期中）下列函数是二次函数的是（）A．y＝x（x+1） B．x2y＝1 C．y＝2x2﹣2（x﹣1）2 D．y＝x﹣0.52二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时

开口向上

当时

开口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.【例题精选】例1(2023秋•宁阳县期末）二次函数y＝2x2﹣4x﹣6的最小值是（）A．﹣8 B．﹣2 C．.0 D．6例2(2023秋•德州期末）平移抛物线y＝﹣（x﹣1）（x+3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（）A．向左平移1个单位 B．向上平移3个单位 C．向右平移3个单位 D．向下平移3个单位例3(2023秋•乐亭县期末）下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当x＝时，y有最小值是﹣ D．在对称轴左侧y随x的增大而增大【随堂练习】1．(2023秋•东莞市期末）抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（）A．y＝3（x+2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+12．(2023秋•濮阳期末）将抛物线y＝x2向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+1 B．y＝（x﹣3）2+1 C．y＝（x+3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2﹣13．(2023秋•大名县期末）把抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线是（）A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣24．(2023秋•淮安区期末）将二次函数y＝2x2的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新的图象的函数表达式为（）A．y＝2（x﹣4）2﹣1 B．y＝2（x+4）2﹣1 C．y＝2（x﹣4）2+1 D．y＝2（x+4）2+15．(2023秋•新泰市期末）关于抛物线y＝x2﹣2x﹣1，下列说法中错误的是（）A．开口方向向上 B．对称轴是直线x＝1 C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为（1，﹣2）3二次函数的解析式(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(可以看成的图象平移后所对应的函数.)

(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：

（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．【例题精选】例1(2023秋•利川市期中）若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（）A．y＝4（x﹣2）2﹣3 B．y＝﹣2（x﹣2）2+3 C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣2）2+3例2(2023•福田区校级模拟）已知二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数解析式为（）A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝x2+x﹣2 C．y＝x2+3x+2 D．y＝﹣x2+x+2【随堂练习】1．(2023•邵阳县模拟）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），则c的值为（）A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣22．(2023秋•镇原县期末）顶点在点M（﹣2，1），且图象经过原点的二次函数解析式是（）A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝﹣（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x﹣2）2+13．(2023秋•任城区校级期中）抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（）A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4 C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣4综合练习一．填空题（共5小题）1．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为．2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2，其中正确的有（只填序号）．3．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．4．将二次函数y＝x2+2x+1的图象先向右平移2个单位，再向上移3个单位，所得到的新图象对应的解析式是．5．函数y＝（x﹣2）2+1取得最小值时，x＝．二．解答题（共3小题）6．已知抛物线图象过（﹣1，0）、（1，﹣4）、（3，0）三点，求抛物线的解析式．7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点．（1）求抛物线和直线的解析式；（2）若动点P在抛物线上位于直线AC上方运动，求△APC的面积最大值．8．某网店销售甲、乙两种笔记本，已知甲种笔记本每本的售价比乙种笔记本多2元，为了给学习小组颁发奖品，刘老师从该网店购买了20本甲种笔记本和30本乙种笔记本，共花费340元．（1）该网店甲、乙两种笔记本的售价是多少？（2）根据消费者需求，该网店决定用不超过740元购进甲、乙两种笔记本共200本，且甲种笔记本的数量大于乙种笔记本数量的，已知甲种笔记本每本的进价为4元，乙种笔记本每本的进价为3.5元．①若设购进甲种笔记本m本，则该网店有几种进货方案？②若所购进笔记本均可全部售出，请求出网店所获利润W（元）与甲种笔记本进货量m（本）之间的函数关系式，并说明当m为何值时所获利润最大？最大利润是多少？第3讲二次函数（一）1二次函数的定义要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.

要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a的绝对值越大，抛物线的开口越小.【例题精选】例1(2023秋•涟源市期末）若函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，则m的值为（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．9分析：直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：∵函数y＝（3﹣m）x﹣x+1是二次函数，∴m2﹣7＝2，且3﹣m≠0，解得：m＝﹣3．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数次数与系数的值是解题关键．例2(2023秋•西城区校级期中）下列函数中①y＝3x+1②y＝4x2﹣3x；③y＝④y＝﹣2x2+5，是二次函数的有（）A．①② B．②④ C．②③ D．①④分析：直接利用二次函数的定义分析得出答案．【解答】解：①y＝3x+1②y＝4x2﹣3x；③y＝④y＝﹣2x2+5，是二次函数的有：②y＝4x2﹣3x；④y＝﹣2x2+5，故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握定义是解题关键．【随堂练习】1.(2023秋•沭阳县期末）下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ax2+bx+c【解答】解：A、是二次函数，故A正确；B、不是二次函数，故B错误；C、不是二次函数，故C错误；D、a＝0不是二次函数，故D错误；故选：A．2．(2023秋•香坊区校级期中）下列函数解析式中，是二次函数解析式的为（）A．y＝1﹣3x2 B．y＝3x+2 C．y＝2x D．y＝分析：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．【解答】解：A、是二次函数，故此选项符合题意；B、是一次函数，故此选项不合题意；C、是一次函数，故此选项不合题意；D、是反比例函数，故此选项不合题意．故选：A．3．(2023秋•临西县期中）下列函数是二次函数的是（）A．y＝x（x+1） B．x2y＝1 C．y＝2x2﹣2（x﹣1）2 D．y＝x﹣0.5【解答】解：A．y＝x（x+1）＝x2+x，y是x的二次函数，符合题意；B．x2y＝1，不是二次函数，不符合题意；C．y＝2x2﹣2（x﹣1）2＝4x﹣2，y是x的一次函数，不符合题意；D．y＝x﹣0.5，y是x的一次函数，不符合题意；故选：A．2二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①；②；③；④，

其中；⑤.（以上式子a≠0）

几种特殊的二次函数的图象特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时

开口向上

当时

开口向下(轴)(0，0)(轴)(0，)(，0)(，)()2.抛物线的三要素：

开口方向、对称轴、顶点.

(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.

(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.【例题精选】例1(2023秋•宁阳县期末）二次函数y＝2x2﹣4x﹣6的最小值是（）A．﹣8 B．﹣2 C．.0 D．6分析：利用配方法将原函数关系式化为顶点式，即可求出二次函数的最小值．【解答】解：y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8，因为图象开口向上，故二次函数的最小值为﹣8．故选：A．【点评】本题考查了二次函数的最值，将原式化为顶点式是解题的关键．例2(2023秋•德州期末）平移抛物线y＝﹣（x﹣1）（x+3），下列哪种平移方法不能使平移后的抛物线经过原点（）A．向左平移1个单位 B．向上平移3个单位 C．向右平移3个单位 D．向下平移3个单位分析：把已知抛物线解析式转化为顶点式，然后根据顶点坐标的平移规律得到答案．【解答】解：由y＝﹣（x﹣1）（x+3）得到：y＝﹣（x+1）2+4A、向左平移1个单位后的解析式为：y＝﹣（x+2）2+4，当x＝0时，y＝0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意．B、向上平移3单位后的解析式为：y＝﹣（x+1）2+7，当x＝0时，y＝6，即该抛物线不经过原点，故本选项符合题意．C、向右平移3个单位后的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝0时，y＝0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意．D、向下平移3单位后的解析式为：y＝﹣（x+1）2+1，当x＝0时，y＝0，即该抛物线经过原点，故本选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了平移规律：上移加，下移减，左移加，右移减．例3(2023秋•乐亭县期末）下列对二次函数y＝x2﹣x的图象的描述，正确的是（）A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当x＝时，y有最小值是﹣ D．在对称轴左侧y随x的增大而增大分析：利用二次函数的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，选项A不正确；B、∵﹣＝，∴抛物线的对称轴为直线x＝，选项B不正确；C、当x＝时，y＝﹣，∴当x＝时，y有最小值是﹣，选项C正确；D、∵a＞0，抛物线的对称轴为直线x＝，∴当x＞时，y随x值的增大而增大，选项D不正确．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质以及二次函数的图象，利用二次函数的性质逐一分析四个选项的正误是解题的关键．【随堂练习】1．(2023秋•东莞市期末）抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位，所得的抛物线是（）A．y＝3（x+2）2﹣1 B．y＝3（x﹣2）2+1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1【解答】解：抛物线y＝3x2先向下平移1个单位，再向左平移2个单位后的抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣1），所得抛物线为y＝3（x+2）2﹣1．故选：A．2．(2023秋•濮阳期末）将抛物线y＝x2向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+1 B．y＝（x﹣3）2+1 C．y＝（x+3）2﹣1 D．y＝（x﹣3）2﹣1【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2向右平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x﹣3）2向上平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2+1．故选：B．3．(2023秋•大名县期末）把抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线是（）A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝﹣（x﹣1）2+2 C．y＝﹣（x+1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣2【解答】解：抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，得：y＝﹣（x﹣1）2；再向下平移2个单位，得：y＝﹣（x﹣1）2﹣2．故选：D．4．(2023秋•淮安区期末）将二次函数y＝2x2的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新的图象的函数表达式为（）A．y＝2（x﹣4）2﹣1 B．y＝2（x+4）2﹣1 C．y＝2（x﹣4）2+1 D．y＝2（x+4）2+1【解答】解：y＝2x2的图象向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，平移后的函数关系式是：y＝2（x+4）2﹣1．故选：B．5．(2023秋•新泰市期末）关于抛物线y＝x2﹣2x﹣1，下列说法中错误的是（）A．开口方向向上 B．对称轴是直线x＝1 C．当x＞1时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为（1，﹣2）【解答】解：抛物线y＝x2﹣2x﹣1，∵a＝1＞0，∴开口方向向上，故选项A不合题意；对称轴是直线x＝﹣＝﹣＝1，故选项B不合题意；当x＞1时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意；y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，顶点坐标为（1，﹣2），故选项D不合题意．故选：C．3二次函数的解析式(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式.

(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

(可以看成的图象平移后所对应的函数.)

(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：

（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．【例题精选】例1(2023秋•利川市期中）若抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（）A．y＝4（x﹣2）2﹣3 B．y＝﹣2（x﹣2）2+3 C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣2）2+3分析：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，把点（3，1）代入得出1＝a（3﹣2）2+3，求出a即可．【解答】解：∵抛物线的顶点为（2，3），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，∵经过点（3，1），∴代入得：1＝a（3﹣2）2+3，解得：a＝﹣2，即y＝﹣2（x﹣2）2+3．故选：B．【点评】本题考查了求抛物线的解析式的应用，解题的关键是注意抛物线解析式的设法．例2(2023•福田区校级模拟）已知二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点，则该函数解析式为（）A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝x2+x﹣2 C．y＝x2+3x+2 D．y＝﹣x2+x+2分析：由题意知二次函数经过点（﹣1，0），（2，0），即可设两点式即可【解答】解：∵二次函数的图象经过（﹣1，0），（2，0），（0，2）三点∴设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣2），将点（0，2）代入得2＝﹣2a，解得a＝﹣1故函数解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣2）整理得：y＝﹣x2+x+2故选：D．【点评】此题考查的是待定系数法求二次函数解析式，能注意到题中给两点为与x轴的交点，设两点式是快速解题的关键【随堂练习】1．(2023•邵阳县模拟）抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），则c的值为（）A．﹣1 B．2 C．﹣3 D．﹣2【解答】解：∵抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点（2，﹣3），∴2×22﹣4×2+c＝﹣3，解得c＝﹣3，故选：C．2．(2023秋•镇原县期末）顶点在点M（﹣2，1），且图象经过原点的二次函数解析式是（）A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝﹣（x+2）2+1 C．y＝（x+2）2+1 D．y＝（x﹣2）2+1【解答】解：∵二次函数图象的顶点在点M（﹣2，1），∴可设函数的解析式是y＝a（x+2）2+1，把点（0，0）代入得，4a+1＝0，解得：a＝﹣，则此二次函数的解析式是y＝﹣（x+2）2+1．故选：B．3．(2023秋•任城区校级期中）抛物线与x轴交点的横坐标为﹣2和1，且过点（2，8），它的关系式为（）A．y＝2x2﹣2x﹣4 B．y＝﹣2x2+2x﹣4 C．y＝x2+x﹣2 D．y＝2x2+2x﹣4【解答】解：由题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），将（2，8）代入，可得8＝a（2﹣1）（2+2），解得a＝2，∴抛物线的解析式为：y＝2（x﹣1）（x+2），化简得，y＝2x2+2x﹣4．故选：D．综合练习一．填空题（共5小题）1．把抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到新的抛物线解析式为y＝（x+2）2﹣3．【解答】解：∵抛物线y＝x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣3．故答案是：y＝（x+2）2﹣3．2．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③3a+c＜0；④m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2，其中正确的有③④⑤（只填序号）．【解答】解：①∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴ab＞0，由图象可知：c＞0，∴abc＞0，故①错误；②∵抛物线与x轴的交点有两个，∴b2﹣4ac＞0，②错误；③∵，∴b＝2a，由图象可知：9a﹣3b+c＜0，∴9a﹣6a+c＜0，即3a+c＜0，故③正确；④∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最大值，∴am2﹣bm+c≤a﹣b+c（m为任意实数），∴m（am﹣b）≤a﹣b（m为任意实数），∴m为任意实数，则m（am﹣b）+b≤a，所以④正确；⑤∵对称轴x＝﹣1，∴x1≠x2，x1+x2＝﹣2时，有ax12+bx1+c＝ax22+bx2+c，∴ax12+bx1＝ax22+bx2，∴结论⑤正确．综合以上可得：③④⑤．3．已知二次函数y＝x2﹣2mx+1，当x≥2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≤2．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，∵当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，∴m≤2．故答案为：m≤2．4．将二次函数y＝x2+2x+1的图象先向右平移2个单位，再向上移3个单位，所得到的新图象对应的解析式是y＝（x﹣1）2+3．【解答】解：y＝x2+2x+1＝（x+1）2，抛物线的顶点坐标为（﹣1，0），把点（﹣1，0）先向右平移2个单位，再向上移3个单位所得对应点的坐标为（1，3），所以新图象对应的解析式为y＝（x﹣1）2+3．故答案为y＝（x﹣1）2+3．5．函数y＝（x﹣2）2+1取得最小值时，x＝2．【解答】解：∵二次函数y＝（x﹣2）2+1，∴当x＝2时，二次函数求得最小值为1．故答案为：2．二．解答题（共3小题）6．已知抛物线图象过（﹣1，0）、（1，﹣4）、（3，0）三点，求抛物线的解析式．【解答】解：∵抛物线图象过点（﹣1，0）、（3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把（1，﹣4）代入得，﹣4＝a•2•（﹣2），解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3．7．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与一条直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点．（1）