2024年上海杨浦区高三二模数学试卷和答案

高中PAGE1高中上海杨浦区2023-2024学年第二学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷一、填空题1.已知集合，，则________.2.抛物线的准线方程为________.3.计算________（其中为虚数单位）.4.已知，则________.5.已知二项式，其展开式中含项的系数为________.6.各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为________.7.正方体中，异面直线与所成角的大小为________.8.若函数为奇函数，则函数，的值域为________.9.设复数与所对应的点为与，若，，则________.10.有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有________种.11．某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为________.12.已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是________.二、选择题13.下列函数中，在区间上为严格增函数的是（）A. B. C. D.14.已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（）A. B. C. D.15.某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（）A.350 B.400 C.450 D.50016.平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论：①对任意，存在该平面的向量，满足②对任意，存在该平面向量，满足则下面判断正确的为（）A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①正确，②正确 D.①错误，②错误三、解答题17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.（1）求证：平面平面；（2）若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知.（1）若的最小正周期为，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）已知，中，，，分别是角，，所对的边，若，，，求的值.19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题6分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图：（1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数；（2）独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率；（3）根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表：第一种生产方式第二种生产方式总计优秀合格总计根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？（.其中，）.20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆：的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、.（1）求椭圆的方程；（2）已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为直命题，求的重心坐标；（3）是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.（其中、分别表示、的面积）21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.（1）判断函数与是否为相关函数对，并说明理由；（2）已知与为相关函数对，求实数的取值范围；（3）已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均有.求证：存在实数，使得对任意，均有.参考答案：一、填空题1.已知集合，，则________.【答案】2.抛物线的准线方程为________.【答案】3.计算________（其中为虚数单位）.【答案】4.已知，则________.【答案】5.已知二项式，其展开式中含项的系数为________.【答案】，令，6.各项为正的等比数列满足：，，则通项公式为________.【答案】或（舍），故7.正方体中，异面直线与所成角的大小为________.【答案】8.若函数为奇函数，则函数，的值域为________.【答案】当时，，所以值域为9.设复数与所对应的点为与，若，，则________.【答案】，故，10.有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有________种.【答案】11．某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2024根，每根圆钢的直径为10厘米．现将它们堆放在一起.若堆成纵断面为等腰梯形（如图每一层的根数比上一层根数多1根），且为考虑安全隐患，堆放高度不得高于米，若堆放占用场地面积最小，则最下层圆钢根数为________.【答案】设第一层有根，共有层，则得：，因为和中一个奇数一个偶数，故可能，，，因为每增加一层高度增加厘米当时，厘米厘米，此时最下层有根；当时，厘米厘米，此时最下层有根；当时，厘米，超过综上所述：根占用场地面积最小.12.已知实数满足：①；②存在实数，使得，，是等差数列，，，也是等差数列.则实数的取值范围是________.【答案】设公差为，由题意：，故随增大而增大，由图像分析知：，，所以当到达时是临界值，此时，代入（舍）或，则，综上所述实数的取值范围是二、选择题13.下列函数中，在区间上为严格增函数的是（）A. B. C. D.【答案】D14.已知实数，，，满足：，则下列不等式一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】C15.某区高三年级3200名学生参加了区统一考试.已知考试成绩服从正态分布（试卷满分为150分）.统计结果显示，考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次考试中成绩不低于120分的学生人数约为（）A.350 B.400 C.450 D.500【答案】B16.平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论：①对任意，存在该平面的向量，满足②对任意，存在该平面向量，满足则下面判断正确的为（）A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①正确，②正确 D.①错误，②错误【答案】C设，，，，而，①②直线和间的距离为，到这两条直线距离相等的距离为，因此无论是否属于，都有，选C三、解答题17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，为圆锥顶点，为底面中心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形.（1）求证：平面平面；（2）若圆锥底面半径为2，高为，求点到平面的距离.【答案】（1）连结交于点，面，又面，所以平面平面；（2）作，又，，则平面.又，，，得，所以点到平面的距离为.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知.（1）若的最小正周期为，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）已知，中，，，分别是角，，所对的边，若，，，求的值.【答案】（1）由知：，此时；；，所以非奇非偶（2），则，，因为，所以，由正弦定理得：，若为锐角，；此时；若为钝角，；此时；19.（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题6分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.完成生产任务的工作时间不超过70分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：分钟）绘制了如下茎叶图：（1）求40名工人完成生产任务所需时间的第75百分数；（2）独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率；（3）根据工人完成生产任务的工作时间，两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的2×2列联表：第一种生产方式第二种生产方式总计优秀合格总计根据上面的2×2列联表，判断能否有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？（.其中，）.【答案】（1），故取第30人和第31人时间的平均值为；（2）；（3）第一种生产方式第二种生产方式总计优秀21012合格181028总计202040，故有95%的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆：的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、.（1）求椭圆的方程；（2）已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，求的重心坐标；（3）是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.（其中、分别表示、的面积）【答案】（1），，所以椭圆的方程为；（2）因为命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，可以取直线为，与联立得，，则，得，，故重心坐标为，，即（3）设，，，则直线：，令，得；同理得：，设直线与轴交于点，，，，，因为，故得，则，，代入得，解得，由图知道，故直线的方程为：21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）函数、的定义域均为，若对任意两个不同的实数，，均有或成立，则称与为相关函数对.（1）判断函数与是否为相关函数对，并说明理由；（2）已知与为相关函数对，求实数的取值范围；（3）已知函数与为相关函数对，且存在正实数，对任意实数，均