2024届上海嘉定区高三一模数学试卷和答案

高中PAGE1高中2023-2024学年上海嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷(考试时间120分钟，满分150分)一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.1.不等式的解集为.2.已知，，则.3.函数的最小正周期为.4.已知，则.5.双曲线的离心率为.6.已知事件和独立，,,则.7.已知实数、满足，则的最小值为.8.已知的二项展开式中系数最大的项为．9.关于的方程有三个不同的实数解，则实数的值为.10.已知11个大小相同的球，其中个是红球，个是黑球，个是白球，从中随机取出个形成一组，其中三种颜色都有的概率为.11.已知复平面上一个动点对应复数,若,其中是虚数单位，则向量扫过的面积为.12.正四棱台,,,,是的中点，在直线、上各取一个点、，使得、、三点共线，则线段的长度为.二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.13.直线倾斜角的取值范围为……（）14.两位跳水运动员甲和乙，某次比赛中的得分如下表所示，则正确的选项为……（）第一跳第二跳第三跳第四跳第五跳甲85.59686.475.994.4乙79.58095.794.0586.4甲和乙的中位数相等，甲的均分小于乙 甲的均分大于乙，甲的方差大于乙甲的均分大于乙，甲的方差等于乙 甲的均分大于乙，甲的方差小于乙15.已知等差数列，公差为，，则下列命题正确的是……（）函数（）可能是奇函数若函数（）是偶函数，则若，则函数（）是偶函数若，则函数（）的图像是轴对称图形16.已知四面体,,.分别对于下列三个条件:=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③,是的充要条件的共有几个……（）三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．已知三角形，，三角形的面积，（1）求角的值；（2）若，求.18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.已知数列的前项和为，，其中,.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．中国历史悠久，积累了许多房屋建筑的经验.房梁为柱体，或取整根树干而制为圆柱形状，或作适当裁减而制为长方体形状，例如下图所示.（图片引自梁思成《营造法式.注释》卷五）材质确定的梁的承重能力取决于截面形状，现代工程科学常用抗弯截面系数来刻画梁的承重能力.对于两个截面积相同的梁，称较大的梁的截面形状更好.三种不同截面形状的梁的抗弯截面系数公式，如下表所列，圆形截面正方形截面矩形截面条件为圆半径为正方形边长为矩形的长，为矩形的宽，抗弯截面系数（1）假设上表中的三种梁的截面面积相等，请问哪一种梁的截面形状最好？并具体说明；（2）宋朝学者李诫在《营造法式》中提出了矩形截面的梁的截面长宽之比应定为的观点.考虑梁取材于圆柱形的树木，设矩形截面的外接圆的直径为常数,如下图所示,请问为何值时，其抗弯截面系数取得最大值，并据此分析李诫的观点是否合理.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．抛物线上有一动点，.过点作抛物线的切线，再过点作直线，使得，直线和抛物线的另一个交点为.（1）当时，求切线的直线方程；（2）当直线与抛物线准线的交点在轴上时，求三角形的面积（点是坐标原点）；（3）求出线段关于的表达式，并求的最小值.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．已知，.（1）求函数、的单调区间和极值；（2）请严格证明曲线、有唯一交点；（3）对于常数，若直线和曲线、共有三个不同交点、、，其中，求证：、、成等比数列.2023-2024学年第一学期高三年级质量调研数学参考答案一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，前六题每题得4分，后六题每题得5分.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)二．选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，前两题每题得4分，后两题每题得5分.(13)(14)(15)(16)三．解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤．17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解（1），，两式相除得：，所以.(2)，所以或(舍)，所以所以，由正弦定理得，，,所以,由（1），所以即.18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.解(1)，又，所以.(2)，所以，所以.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．解：(1)假设截面面积均为正常数，，，，所以，又因为，所以，所以，综上，，于是矩形截面的梁的截面形状最好.(2),导函数，严格单调递增极大值严格单调递减所以当时，取到最大值，此时，于是，的结论与抗弯系数理论的结论不同，但比较接近，是合理的，应肯定李诫从实践中总结的经验的实用价值.20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．解（1）因为，所以在曲线上运动，，所以切线的斜率为，所以的直线方程为，将代入，则的直线方程为.(2)设，将代入方程，得，而直线的方程为，将代入，则直线的方程为，联立，则，由韦达定理得，而，所以，所以三角形的面积.(3)设，联立方程，得，因为，所以,所以，因为,,所以.对于，，因为，；，；，，所以，，，.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．极大值极大值解（1）对于，，对于，，严格增区间；严格减区间；严格增区间；严格减区间；极大值为极大值为（2）对于函数，，设，，当时，，严格递减，，存在一个零点；当时，，，，无零点；当时，由（1）得，，所以，所以，所以，无零点；综上所述，曲线、有唯一交点，且横坐标.(3)因为在上严格单调递增，值域为,所以