《概率统计及其应用》课件第三章 随机变量的数字特征

第一节随机变量的数学期望第二节随机变量的方差第三节协方差与相关系数第四节正态分布第一节随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望通俗地说,数学期望就是随机变量的平均值.定义1设离散型随机变量X的分布律为P(X=xk)=pk,k=1,2,…若级数绝对收敛,则X的数学期望存在,称为X的数学期望,简称为期望或均值,记为E(X),即当发散时,则X的数学期望不存在.二、连续型随机变量的数学期望定义2设X为连续型随机变量,f(x)为其概率密度,若积分绝对收敛,则称为X的数学期望,简称为期望或均值,记为E(X).即当时,称X的数学期望不存在.三、随机变量函数的数学期望定理1设Y是随机变量X的函数,Y=g(X),其中y=g(x)为连续函数.(1)若X为离散型随机变量,分布律为且级数绝对收敛,则(2)若X为连续型随机变量,其概率密度为f(x),且积分绝对收敛,则这个定理指出:当我们计算随机变量X的函数Y=g(X)的数学期望时,不必求出Y=g(X)的分布律或概率密度,而只要知道X的分布律或者概率密度就可以了.定理2Z=g(X,Y)是二维随机变量(X,Y)的函数,其中z=g(x,y)为二元连续函数.(1)若(X,Y)为二维离散型随机变量,设其分布律为pij=P(X=xi,Y=yj),i,j=1,2,…且级数绝对收敛,则Z=g(X,Y)的数学期望为(2)若(X,Y)为二维连续型随机变量,设其概率密度为f(x,y),且绝对收敛,则Z=g(X,Y)的数学期望为四、数学期望的性质下面介绍数学期望的一些重要性质,假设下列随机变量的数学期望均存在,且C为常数.性质1E(C)=C.性质2E(CX)=CE(X).性质3E(X+Y)=E(X)+E(Y)性质4若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)·E(Y)第二节随机变量的方差一、定义定义1设X为随机变量,若E[X-E(X)]2存在,则称E[X-E(X)]2为X的方差,记为D(X)或Var(X).即D(X)=E[X-E(X)]2

(3-7)方差的平方根

称为随机变量X的标准差或均方差.由定义可知,方差D(X)是随机变量X的函数[X-E(X)]2的数学期望,反映了X取值的分散程度,若X取值比较集中,则D(X)较小,反之较大.对于离散型随机变量X,设分布律为pk=P(X=xk),k=1,2,…则对于连续型随机变量X,设概率密度为f(x),则利用数学期望的性质可以得到于是得到常用的计算方差的另一公式:三、方差的性质下面给出方差的几个重要性质,假设下列随机变量的方差均存在.性质1设C为常数,则D(C)=0.性质2设C为常数,X为随机变量,则D(CX)=C2D(X).性质3设随机变量X与Y相互独立,则D(X+Y)=D(X)+D(Y).这一性质可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况,即若随机变量X1,X2,…,Xn相互独立,则D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)三、矩定义2设X为随机变量,C为常数,k为正整数,量E[(X-C)k]称为X关于C的k阶矩.比较重要的矩有两种情形:(1)当C=0时,E(Xk)称为X的k阶原点矩,记为μk.(2)当C=E(X)时,E{[X-E(X)]k}称为X的k阶中心矩,记为υk.四、切比雪夫不等式定理1(切比雪夫不等式)设随机变量X的期望和方差都存在,则对任意常数ε>0,有或等价地有第三节协方差与相关系数一、协方差对于一个二维随机变量(X,Y),E(X),E(Y),D(X)和D(Y)仅反映X和Y各自的平均取值及各自取值相对于平均值的偏离程度,没有反映出X与Y之间的相互关系.而X与Y的联合分布可以全面地描述统计规律,其中包含了X与Y之间相互关系的信息.我们希望有一个数字特征,能够一定程度上反映这种关系.若X和Y相互独立,且E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在,则有即X与Y相互独立时,E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0成立.反之不然,当X与Y不满足E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=0时,X与Y不一定是相互独立的,即它们之间可能是存在着一定关系的.这说明E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}的数值能在一定程度上反映X和Y之间的相互联系,由此我们引出如下定义.定义1设(X,Y)为二维随机变量,若E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}存在,则称之为随机变量X与Y的协方差,记为Cov(X,Y),即Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

(3-13)Cov(X,Y)是描述X与Y之间的相互关系的一个数学特征,容易得到由期望的性质可得协方差的实用计算公式:协方差具有下列性质:性质1Cov(X,Y)=Cov(Y,X).性质2Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b为常数).性质3Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).性质4若X与Y相互独立,则Cov(X,Y)=0.二、相关系数协方差虽然一定程度上反映了X与Y之间的相互联系,但它与X及Y本身的数值大小和度量单位有关.为了更准确地刻画X和Y的相关程度,需要进行无量纲处理,引入相关系数的定义.定义2设(X,Y)为二维随机变量,称为随机变量X与Y的相关系数.事实上,对随机变量X与Y引入标准化随机变量,记为X*,Y*.令,则E(X*)=0,D(X*)=1,E(Y*)=0,D(Y*)=1得到相关系数有如下重要性质:性质1|ρXY|≤1.性质2|ρXY|=1的充要条件是存在常数a≠0,b使P(Y=aX+b)=1.定义3当随机变量X与Y的相关系数ρXY=0时,称X与Y不相关.定理1对随机变量X与Y,下列命题等价:(1)X与Y不相关;(2)Cov(X,Y)=0;(3)E(XY)=E(X)E(Y);(4)D(X+Y)=D(X)+D(Y).第四节正态分布一、一维正态分布定义1如果随机变量X的概率密度函数为其中-∞<μ<+∞,σ>0,μ,σ为常数,则称Χ服从参数为μ,σ2的正态分布(或高斯分布),记为X~N(μ,σ2).它的分布函数为正态分布的概率密度函数f(x)的图形见图3.1,它具有如下特性:(1)曲线y=f(x)关于x=μ对称,即f(μ+x)=f(μ-x);当x=μ时,f(x)达到最大值fmax(x)=f(μ)=(2)曲线y=f(x)图形均在x轴上方,且以x轴为渐近线,(3)在x=μ±σ时,曲线y=f(x)在对应的点处有拐点,区间(μ+σ,+∞)及(-∞,μ-σ)上对应的图形为凹弧,区间(μ-σ,μ+σ)上对应的图形为凸弧.(4)当σ固定,μ变化时,f(x)的图形沿x轴平行移动,但不改变其形状.当μ固定,σ变化时,f(x)的图形随之变化,且当σ越小时,图形越“陡峭”,分布越集中在x=μ附近;当σ越大时,图形越“平坦”,分布越分散.故f(x)的图形的位置由μ确定,称μ为位置参数;形状由σ确定,称σ为形状参数.特别地,当μ=0,σ=1时,称X服从标准正态分布,记为X~N(0,1),其概率密度函数φ(x)和分布函数Φ(x)分别记为标准正态分布的图形如图3.2所示:易见:所以只需对x≥0给出标准正态分布函数的数值表就够了,对x<0的函数值可以由对称性得到.即关于Φ(x)的计算:(1)x≥0时,查标准正态分布函数表;(2)x<0时,用Φ(x)=1-Φ(-x)计算.对一般的正态分布N(μ,σ2),由于概率密度函数不可积,即其分布函数不能用初等函数表达,所以这类概率计算通常先经过代换转化为标准正态分布,再查标准正态分布函数表来解决.定理1设随机变量X~N(μ,σ2),则定理2设随机变量X~N(μ,σ2),则Y=aX+b~N(aμ+b,(aσ)2),其中a≠0.定义2设随机变量X~N(0,1),概率密度函数为φ(x),对给定的α(0<α<1),称满足条件的数zα为标准正态分布N(0,1)的“上α分位数(或上α分位点)”,如图3.3所示.二、二维正态分布定义3设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为其中,μ1,μ2,σ1,σ2,ρ为常数,-∞<μ1<+∞,-∞<μ2<+∞,σ1>0,σ2>0,|ρ|<1.则称(X,Y)服从参数为μ1,μ2,σ21,σ22,ρ的二维正态分布,记为(X,Y)~N(μ1,μ2,σ21,σ