八年级期末数学试卷03【北师大版】解析版-2023-2024学年8下数学期末考点大串讲

2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷（3）

【北师大版】（考试时间：120分钟试卷满分：120分）考卷信息:本卷试题共23题，单选10题，填空5题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面题有深度，可衡量学生掌握本册内容的具体情况!

单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2月20日在中国北京市和张家口市联合举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：C．2．若x＜y成立，则下列不等式成立的是（）A． B．x﹣2＞y﹣2 C．﹣2x＞﹣2y D．x﹣y＞0【答案】C【解答】解：∵x＜y，∴根据不等式的性质2，得＜，根据不等式的性质2，得x﹣2＜y﹣2，根据不等式的性质2，得﹣2x＞﹣2y，根据不等式的性质2，得x﹣y＜0，∴选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意，故选：C．3．下列各式中，从左到右因式分解正确的是（）A．ax+ay+a＝a（x+y） B．x2﹣4x+3＝（x+2）（x﹣2）+3 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．y2+4y+4＝（y+2）2【答案】D【解答】解：A．ax+ay+a＝a（x+y+1），故不符合题意；B．x2﹣4x+3＝（x+2）（x﹣2）+3，不是因式分解，故不符合题意；C．（a﹣b）2＝a2﹣b2，是整式乘法，不是因式分解，故不符合题意；D．y2+4y+4＝（y+2）2，是因式分解，故符合题意．故选：D．4．下列各命题的逆命题一定成立的是（）A．全等三角形的对应角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等 D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等【答案】B【解答】解：A、全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的两三角形全等，此逆命题为假命题；B、两直线平行，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行，此逆命题为真命题；C、如果两个数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题为如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，此逆命题为假命题；D、如果两个角都是45°，那么这两个角相等的逆命题为如果两个角相等，那么这两个角都是45°，此逆命题为假命题．故选：B．5．如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝5cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8cm，AB＝5cm，∴AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝5cm，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DEC，∵E平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC，∴∠EDC＝∠DEC，∴CE＝DC＝5cm，∴BE＝BC﹣CE＝3cm，故选：C．6．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中（）A．两锐角都大于45° B．有一个锐角小于45° C．有一个锐角大于45° D．两锐角都小于45°【答案】A【解答】解：反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设直角三角形中两锐角都大于45°，故选：A．7．已知关于x的方程有增根，则a的值为（）A．4 B．5 C．6 D．﹣5【答案】D【解答】解：∵方程有增根，∴x﹣5＝0，∴x＝5，，x＝3（x﹣5）﹣a，x＝3x﹣15﹣a，把x＝5代入整式方程解得a＝﹣5，故选：D．8．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴BD+CD＝AC＝10．∴BC＝△BDC的周长﹣（BD+CD）＝18﹣10＝8，故选：C．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，连接DE，EF垂直平分AB，交AD于点G．下列结论：①BC＝2DE；②△BEC≌△ADC；③∠C＝3∠BAD；④AG2﹣GD2＝CD2，其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，∴AD平分∠BAC，BD＝CD，∴DE为直角三角形斜边BC上的中线，∴DE＝BD＝CD，∴BC＝2DE，所以①正确；∵EF垂直平分AB，∴EA＝EB，∵EB+EC＞BC，∴EA+EC＞BC，即AC＞BC，∴△BEC与△ADC不全等，所以②错误；∵EA＝EB，∴∠ABE＝∠BAE，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝2∠BAD，∴∠ABE＝2∠BAD，∵∠C+∠EHD＝180°，∠AHE+∠EHD＝180°，∴∠AHE＝∠C，∵∠AHE＝∠ABE+∠BAD＝3∠BAD，∴∠C＝3∠BAD，所以③正确；连接BG，如图，∵EF垂直平分AB，∴AG＝BG，在Rt△BGD中，BG2﹣GD2＝BD2，∵BD＝CD，AG＝BG，∴AG2﹣GD2＝CD2，所以④正确．故选：C．10．如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF的长是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：连接AF，∵AB＝AD，F是BD的中点，∴AF⊥BD，∴∠AFD＝90°，∴∠EAF+∠C＝90°，∠AFE+∠EFC＝90°，∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠C，∴∠EAF＝∠AFE，∴EA＝EF，∴EF＝EA＝EC＝AC＝4，故选：B．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．）11．因式分解：ab2﹣4a＝a（b+2）（b﹣2）．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝a（b2﹣4）＝a（b+2）（b﹣2），故答案为：a（b+2）（b﹣2）12．一个n边形的所有内角和等于540°，则n的值等于5．【答案】见试题解答内容【解答】解：依题意有（n﹣2）•180°＝540°，解得n＝5．故答案为：5．13．如图，若一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，2），则不等式kx+b≤2的解集为x≤0．【答案】x≤0．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，2），∴当x＝0时，kx+b＝2，由图象可知，不等式kx+b≤2的解集为x≤0，故答案为：x≤0．14．如图，在△ABC中，∠B＝38°，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE的度数是28°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵点D是AB的垂直平分线与BC的交点，∴DA＝DB，∴∠BAD＝∠B＝38°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝76°，∠ADB＝180°﹣∠ADC＝104°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，∴∠ADE＝∠ADB＝104°，∴∠CDE＝∠ADE﹣∠ADC＝104°﹣76°＝28°．故答案为：28°．15．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），点E是AD的中点，点P是线段BC上的一动点，当△DEP是以DE为腰的等腰三角形时，点P的坐标为（8，0）或（2，0）或（7，0）．【答案】（8，0）或（2，0）或（7，0）．【解答】解：∵A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），∴BC＝10，OA＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝10，∵点E是AD的中点，∴DE＝AE＝AD＝5，当PE＝DE＝5时，过P作PH⊥AD于H，∴PH＝OA＝4，∴HE＝，∴OP＝AH＝2，当ED＝DP时，同理可得OP＝7，当点P与点C重合时，也满足条件，∴点P坐标是（8，0）综上所述，点P的坐标为（8，0）或（2，0）或（7，0），故答案为：（8，0）或（2，0）或（7，0）．三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16．（6分）解不等式组并把不等式组的解集在数轴上表示出来．【答案】﹣4≤x＜3，数轴见解答．【解答】解：，解不等式①，得：x≥﹣4；解不等式②，得：x＜3，故不等式组的解集为：﹣4≤x＜3．将不等式组的解集表示在数轴上：．（6分）先化简，再求值：（2a﹣）÷，其中a＝2．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝÷＝•＝•＝2a（a+2）＝2a2+4a，当a＝2时，原式＝2×22+4×2＝8+8＝16．18．（8分）如图，△ABC中，AB＝BC，∠B＝120°．（1）尺规作图，在AC上找到一点M，使MA＝MB（保留作图痕迹，不用写作法）；（2）猜测AM与CM之间的数量关系，并证明你的猜测．【答案】（1）见详解；（2）CM＝2AM，理由见详解．【解答】解：（1）如图所示，MN即为所求；（2）如图：CM＝2AM，理由如下：连接BM，∵AB＝BC，∠B＝120°，∴∠A＝∠C＝30°，又∵MN垂直平分AB，∴MA＝MB，∴∠MBA＝∠A＝30°，∴∠CBM＝∠CBA﹣∠MBA＝90°，又∵∠C＝30°∴CM＝2BM，即CM＝2AM．19．（8分）已知，如图所示，AB∥CD，AB＝CD，点E、F在BD上．∠BAE＝∠DCF，连接AF、EC．求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）四边形AECF是平行四边形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠D；∵∠BAE＝∠DCF，AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）；（2）证明：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFD，∴AE∥CF；∴四边形AECF是平行四边形．20．（11分）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是；A．SSSB．SASC．AASD．ASA（2）求得AD的取值范围是；A.6＜AD＜8B.6≤AD≤8C.1＜AD＜7D.1≤AD≤7【感倍】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中；

【问题解决】（3）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB的角平分线AE交CD于E，连接BE，且BE平分∠ABC，猜想：①∠AEB的度数；②BC，AD，AB的数量关系，说明理由．【答案】（1）B；（2）C；（3）①90°；②AB＝BC+AD，理由见解答过程．【解答】（1）解：∵在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案为：B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故答案为：C．（3）①∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∵AE、BE分别是∠BAD与∠ABC的平分线，∴∠BAE＝∠BAD，∠ABE＝∠ABC，∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAD+∠ABC）＝90°，∴∠AEB＝180°﹣（∠BAE+∠ABE）＝180°﹣90°＝90°；②AB＝BC+AD，理由如下：如图2，延长AE交BC延长线于F，∵∠AEB＝90°，∴BE⊥AF，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠FBE，在△ABE与△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AB＝BF，AE＝FE，∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠F，在△ADE与△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（ASA），∴AD＝CF，∴AB＝BF＝BC+CF＝BC+AD．21．（12分）为推进工业、建筑、交通等领域清洁低碳转型．某市交通管理局决定购买一批电动公交车取代燃油公交车．根据调查发现，A型电动公交车的单价比B型电动公交车的单价少4万元，用720万元购买A型电动公交车的数量与用800万元购买B型电动公交车的数量相同．（1）A、B两种型号的电动公交车的单价分别是多少万元；（2）该交通管理局计划购买这两种电动公交车共30辆，其中A型电动公交车的数量不少于10辆且不超过B型电动公交车的两倍，请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】（1）A种型号的电动公交车的单价是36万元，B种型号的电动公交车的单价是40万元；（2）购买A型电动公交车20辆，B型电动公交车10辆最省钱，理由见解析．【解答】解：（1）设A种型号的电动公交车的单价是x万元，则B种型号的电动公交车的单价是（x+4）万元，由题意得：＝，解得：x＝36，经检验，x＝36是原方程的解，且符合题意，∴x+4＝36+4＝40，答：A种型号的电动公交车的单价是36万元，B种型号的电动公交车的单价是40万元；（2）购买A型电动公交车20辆，B型电动公交车10辆最省钱，理由如下：设购买A型电动公交车m辆，则购买B型电动公交车（30﹣m）辆，由题意得：，解得：10≤m≤20，设该交通管理局计划购买这两种电动公交车的总费用为w万元，由题意得：w＝36m+40（30﹣m）＝﹣4m+1200，∵﹣4＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝20时，w有最小值，最小值＝﹣4×20+1200＝1120，此时，30﹣m＝10，∴购买A型电动公交车20辆，B型电动公交车10辆最省钱．22．（12分）阅读理解并解答：我们把多项式a2+2ab+b2，a2﹣2ab+b2叫做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．（1）例如：①＝（x+1）2+2，∵（x+1）2是非负数，即（x+1）2≥0，∴（x+1）2+2≥2，则这个代数x2+2x+3的最小值是2，这时相应的x的值是﹣1；②3x2﹣12x+5＝3（x2﹣4x）+5＝3（x2﹣4x+4﹣4）+5＝3（x﹣2）2﹣12+5＝3（x﹣2）2﹣7，∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0，∴3（x﹣2）2﹣7≥﹣7，则这个代数式3x2﹣12x+5的最小值是，这时相应的x的值是；（2）知识再现：当x＝时，代数式x2﹣6x+12的最小值是；（3）知识运用：若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝时，y有最值（填“大”或“小”），这个值是；（4）知识拓展：若﹣x2+3x+y+5＝0，求y+x的最小值．【答案】（1）﹣7；2；（2）3；3；（3）1；大；﹣2；（4）﹣6．【解答】解：（1）∵（x﹣2）2是非负数，即（x﹣2）2≥0，∴3（x﹣2）2﹣7≥﹣7，则这个