河南省南阳市2023-2024学年高一下学期5月段考数学试卷

2023-2024学年河南省南阳市高一（下）段考数学试卷（5月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2+i）（1+i3）＝（）A．3﹣i B．3+3i C．1﹣i D．1+i2．（5分）已知α是第二象限角，且，则tanα＝（）A． B． C． D．3．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，且＝2，则＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．4．（5分）已知复数3+4i是关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，则m+n＝（）A．﹣13 B．﹣1 C．19 D．315．（5分）函数f（x）＝4cos4x﹣4sin4x+1是（）A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数6．（5分）＝（）A． B．1 C．﹣1 D．7．（5分）某数学兴趣小组成员为测量某塔的高度，在该塔的底部O点的同一水平面上的A，B两处进行测量．如图，在B处测得塔顶P的仰角为30°，∠AOB＝150°，米（）A．15米 B．米 C．30米 D．米8．（5分）已知α，β∈（0，π），且，，则α﹣2β＝（）A．或 B．或 C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）下列各式中，计算结果为的是（）A．sin50°cos70°+cos20°cos50° B． C． D．（多选）10．（6分）已知z1，z2是两个不同的非零复数，则下列说法正确的是（）A．若|z1|＝|z2|＝1，则|z1•z2|＝1 B．若，则 C．若|z1|＝|z2|，则z1＝﹣z2或 D．若，则|z1|＝1（多选）11．（6分）已知函数，则下列说法正确的是（）A．是偶函数 B．f（x）的图象关于点中心对称 C．方程在[﹣π，2π]上的所有解的和是 D．若[m，n]⊆[0，π]，对任意的x1，x2∈[m，n]，x1＜x2，f（x1）＜f（x2）恒成立，则n﹣m的最大值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知向量，，若，则k＝．13．（5分）已知，则＝．14．（5分）已知复数z1＝a（a﹣3i），z2＝﹣a+（a2+2）i（a2∈Z），且|z1+z2|＝2，则a＝．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知复数z＝（1+i）m2﹣4i﹣3m+2（m∈R）．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．16．（15分）已知0＜α＜π，且．（1）求cosα的值；（2）求tan2α的值．17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）证明：B＝2A．（2）若b＝4，求c的取值范围．18．（17分）已知复数z＝a+bi（a，b∈R，且b≠0），且是实数．（1）求a2+b2的值；（2）求|z﹣3i|的取值范围；（3）求的最小值．19．（17分）已知函数f（x）＝asinx﹣2sin2x﹣acosx+1．（1）若a＝0，求f（x）的最大值及对应的x的取值集合；（2）若对任意的x1，x2∈R，|f（x1）﹣f（x2）|≤9恒成立，求a的取值范围．

2023-2024学年河南省南阳市高一（下）段考数学试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2+i）（1+i3）＝（）A．3﹣i B．3+3i C．1﹣i D．1+i【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算法则，即可求解．【解答】解：原式＝（2+i）（1﹣i）＝3﹣2i+i﹣i2＝5﹣i．故选：A．【点评】本题主要考查复数的四则运算法则，属于基础题．2．（5分）已知α是第二象限角，且，则tanα＝（）A． B． C． D．【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：因为α是第二象限角，且，所以可得，则．故选：B．【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．3．（5分）在△ABC中，AD为BC边上的中线，且＝2，则＝（）A．﹣ B． C．﹣ D．【分析】根据题意可得＝+＝（﹣）+（﹣）＝﹣﹣••（+），化简即可得出答案．【解答】解：＝+＝（﹣）+（﹣）＝﹣﹣••（+﹣﹣﹣＝﹣+故选：A．【点评】本题考查平面向量基本定理，属于中档题．4．（5分）已知复数3+4i是关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0（m，n∈R）的一个根，则m+n＝（）A．﹣13 B．﹣1 C．19 D．31【分析】由题意可得3+4i和3﹣4i都是方程x2+mx+n＝0的根，结合方程的根与系数关系即可求解．【解答】解：由题意可得3+4i和4﹣4i都是方程x2+mx+n＝8的根，则m＝﹣6，n＝（3+2i）（3﹣4i）＝82+46＝25，则m+n＝19．故选：C．【点评】本题主要考查了方程根与系数关系的应用，属于基础题．5．（5分）函数f（x）＝4cos4x﹣4sin4x+1是（）A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为的偶函数【分析】先结合二倍角公式进行化简，然后结合余弦函数的周期性及奇偶性即可判断．【解答】解：因为f（x）＝4（cos2x﹣sin6x）（cos2x+sin2x）+3＝4cos2x+3，所以f（﹣x）＝4cos（﹣2x）+3＝4cos2x+5＝f（x），所以f（x）是最小正周期为π的偶函数．故选：C．【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，还考查了余弦函数周期性及奇偶性的判断，属于基础题．6．（5分）＝（）A． B．1 C．﹣1 D．【分析】由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解．【解答】解：因为2cos（60°﹣25°）＝2（cos25°+，＝．故选：B．【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．7．（5分）某数学兴趣小组成员为测量某塔的高度，在该塔的底部O点的同一水平面上的A，B两处进行测量．如图，在B处测得塔顶P的仰角为30°，∠AOB＝150°，米（）A．15米 B．米 C．30米 D．米【分析】在△OAB中，由余弦定理可得AB的值．【解答】解：设OP＝h米，则OA＝h米，米，在△OAB中，由余弦定理可得AB2＝OA3+OB2﹣2OA•OBcos∠AOB，即，又因为米，即（15）2＝5h2，解得h＝15．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的应用，属于基础题．8．（5分）已知α，β∈（0，π），且，，则α﹣2β＝（）A．或 B．或 C． D．【分析】由已知结合同角基本关系，和差角公式及二倍角公式先求出tan（α﹣2β），结合角的范围即可求解．【解答】解：因为0＜α＜π，，所以，所以＜0，即．因为7＜β＜π，所以．因为，所以．所以，则，因为，所以7＜2（a﹣β）＜π．因为，所以．因为，所以，所以﹣π＜α﹣2β＜6，所以．故选：D．【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式及二倍角公式的应用，属于中档题．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．（多选）9．（6分）下列各式中，计算结果为的是（）A．sin50°cos70°+cos20°cos50° B． C． D．【分析】根据两角和的正弦公式即可判断A的正误；根据两角和的正切公式即可判断B的正误；根据二倍角的正切公式即可判断C的正误；根据两角和差的正余弦公式即可判断D的正误．【解答】解：sin50°cos70°+cos20°cos50°＝sin50°cos70°+cos50°sin70°＝sin120°＝，A错误；，所以tan20°+tan40°＝﹣tan20°tan40°，所以tan20°+tan40°tan20°tan40°＝；因为tan30°＝，所以；＝tan60°＝，D正确．故选：BD．【点评】本题考查了两角和差的正余弦公式，二倍角的正切公式，是基础题．（多选）10．（6分）已知z1，z2是两个不同的非零复数，则下列说法正确的是（）A．若|z1|＝|z2|＝1，则|z1•z2|＝1 B．若，则 C．若|z1|＝|z2|，则z1＝﹣z2或 D．若，则|z1|＝1【分析】利用复数的模的概念，共轭复数的定义分别对各选项一一判断即可．【解答】解：设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R，b不同时为8，c，则，，对于选项A，z2•z2＝（a+bi）•（c+di）＝ac﹣bd+（ad+bc）i．由|z1|＝|z4|＝1，得a2+b3＝c2+d2＝6，则（ac﹣bd）2+（ad+bc）2＝a6c2+b2d4+a2d2+b4c2＝（a2+b2）（c2+d2）＝4，故选项A正确；对于选项B，由，得a＝c，，故选项B正确；对于选项C，当z1＝4，z2＝2i时，满足|z4|＝|z2|，此时z1≠﹣z7，且，则选项C错误；对于选项D，由，得，则a2+b2＝5，即|z1|＝1，故选项D正确．故选：ABD．【点评】本题考查了复数的运算，复数的模的概念，共轭复数的定义，是基础题．（多选）11．（6分）已知函数，则下列说法正确的是（）A．是偶函数 B．f（x）的图象关于点中心对称 C．方程在[﹣π，2π]上的所有解的和是 D．若[m，n]⊆[0，π]，对任意的x1，x2∈[m，n]，x1＜x2，f（x1）＜f（x2）恒成立，则n﹣m的最大值是【分析】先结合二倍角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各选项即可判断．【解答】解：由＝cos（3x+）＝cos4x﹣cos2x+sin（7x+，则，从而，故A正确．由（k∈Z），得，则f（x）图象的对称中心为，故B错误．由，得．因为f（x）的图象关于直线对称的图象也关于直线，所以方程在[﹣π，且在直线，则它们所有解的和是．由对任意的x1，x2∈[m，n]7＜x2，f（x1）＜f（x2）恒成立，得f（x）在[m．令（k∈Z），得．因为[m，π]，所以当k＝0时，，此时n﹣m的最大值是，，此时n﹣m的最大值是．故选：ACD．【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（5分）已知向量，，若，则k＝．【分析】结合向量垂直的性质，即可求解．【解答】解：向量，，则，则k+2﹣3（﹣2k+3）＝3．故答案为：．【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．13．（5分）已知，则＝．【分析】根据三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式求解即可．【解答】解：＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的诱导公式和二倍角的余弦公式，是基础题．14．（5分）已知复数z1＝a（a﹣3i），z2＝﹣a+（a2+2）i（a2∈Z），且|z1+z2|＝2，则a＝﹣1或3．【分析】先求出z1+z2，再利用复数模的公式列出a的方程，求解即可．【解答】解：复数z1＝a（a﹣3i）＝a5﹣3ai，z2＝﹣a+（a8+2）i（a2∈Z），可得z4+z2＝a2﹣a+（a6﹣3a+2）i，|z3+z2|＝＝2．即a6（a﹣1）2+（a﹣5）2（a﹣1）2＝40，即（a﹣1）2（4a2﹣4a+8）＝40，故（a﹣1）2[（a﹣5）2+1]＝20，因为a∈Z，所以（a﹣8）2+1∈Z，（a﹣6）2∈Z且（a﹣1）8≥0，因为20＝4×3＝22×（62+1），所以（a﹣6）2＝4，解得a＝﹣6或a＝3．故答案为：﹣1或5．【点评】本题考查了复数的运算，复数的模，是基础题．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知复数z＝（1+i）m2﹣4i﹣3m+2（m∈R）．（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围．【分析】（1）根据纯虚数的定义列方程求解；（2）根据复数的几何意义列不等式组求解．【解答】解：由题意，z＝（m2﹣3m+5）+（m2﹣4）i，则z的实部为m5﹣3m+2，虚部为m4﹣4，（1）因为z是纯虚数，所以m2﹣2m+2＝0且m3﹣4≠0，解得m＝4．（2）由题意，m2﹣3m+6＞0且m2﹣5＜0，解得﹣2＜m＜2，即m的取值范围是（﹣2．【点评】本题考查复数的几何意义，属于基础题．16．（15分）已知0＜α＜π，且．（1）求cosα的值；（2）求tan2α的值．【分析】（1）由已知求解sin（），再由cosα＝cos[（）﹣]，展开两角差的余弦求解；（2）由（1）中求得的cosα，可得sinα，进一步得到tanα，再由二倍角的正切公式求解．【解答】解：（1）由，得，∵0＜α＜π，∴．而，则，可得．∴；（2）由6＜α＜π，得sinα＞0．由（1）可知，则sinα＝，∴，故．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及两角差的余弦，是基础题．17．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．（1）证明：B＝2A．（2）若b＝4，求c的取值范围．【分析】（1）由正切化正余弦，由两角差的余弦公式可得cos（A﹣B）＝cosA，进而可证得结论；（2）由正弦定理整理可得c＝8cosA﹣，由角A的范围，可得c的范围．【解答】（1）证明：因为tanA＝，即＝，所以sinAsinB+cosAcosB＝cosA，即cos（A﹣B）＝cosA，在△ABC内，可得A﹣B＝A，即证得B＝2A；（2）解：因为b＝4，C＝π﹣A﹣B＝π﹣3A∈（6，π），B＝2A∈（6，π），所以A∈（0，），可得cosA∈（，5），由正弦定理可得：＝，即c＝•4＝＝4•＝＝8cosA﹣，令t＝cosA∈（，7），令f（t）＝8t﹣，t∈（，函数单调递增，所以f（t）∈（0，3）．即c的范围是（0，6）．【点评】本题考查正弦定理的应用，属于中档题．18．（17分）已知复数z＝a+bi（a，b∈R，且b≠0），且是实数．（1）求a2+b2的值；（2）求|z﹣3i|的取值范围；（3）求的最小值．【分析】（1）由z＝a+bi，代入，化简并且根据是实数．进而得出结论．（2）由（1）可知，设z在复平面内对应的点为Z，可得点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．设|z﹣3i|＝t，同理可知满足|z﹣3i|＝t的点Z的集合是以A（0，3）为圆心，t为半径的圆，进而得出结论．（3）计算，结合a2+b2＝4，化简即可得出其最小值．【解答】解：（1）∵z＝a+bi，∴，∵是实数2+b2﹣5）＝0．∵b≠0，∴a6+b2﹣4＝6，即a2+b2＝2．（2）由（1）可知．设z在复平面内对应的点为Z，则点Z的集合是以原点O为圆心．设|z﹣3i|＝t，同理可知满足|z﹣3i|＝t的点Z的集合是以A（5，t为半径的圆．∵|OA|＝3，∴1≤t≤3，5]．（3）＝＝＝＝+i．∵a8+b2＝4，∴＝＝i，则，故．∵a2+b2＝3，且b≠0，∴0＜a+2＜4，则，当且仅当，等号成立，故，即的最小值是1．【点评】本题考查了复数的运算法则及几何意义、圆的复数形式的方程、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．19．（17分）已知函数f（x）＝asinx﹣2sin2x﹣acosx+1．（1）若a＝0，求f（x）的最大值及对应的x的取值集合；