天津市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷及答案（共四套）

天津市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（一）注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一．选择题（共10小题）1.设全集，集合，，则等于（）A.B.C.D.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.下列函数中为偶函数，且在上单调递增的是（）A.B.C.D.4.“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.等于（）A. B. C. D.6.设，，，则、、的大小顺序是（）A.B.C.D.7.为了得到函数图象，只需把函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度8.如图是某条公共汽车线路收支差额与乘客量的图象（收支差额车票收入支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图变为图与图，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有种说法：（1）图建议是：减少支出，提高票价；（2）图的建议是：减少支出，票价不变；（3）图的建议是：减少支出，提高票价；（4）图的建议是：支出不变，提高票价；上面说法中正确的是（）A.（1）（3）B.（1）（4）C.（2）（4）D.（2）（3）9.已知三个函数，，的零点依次为、、，则（）A. B. C. D.10.若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有()A.个 B.个 C.个 D.个二．填空题（共5小题）11.已知幂函数的图象过点，则____________．12.设，使不等式成立的的取值范围为___________.13.若函数的值域是，则实数的取值范围是______．14.△ABC中，，，则=_____．15.已知，，且，则的最大值是_______．三．解答题（共5小题）16.求值：（1）；（2）已知，，求的值．17.已知是定义在上的奇函数，且时，.（1）求，的值；（2）若，求的值．18.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，已知、的横坐标分别为、．（1）求值；（2）求的值．19.已知函数．（1）求的最小正周期和对称中心；（2）求的单调递减区间；（3）当时，求函数的最小值及取得最小值时的值．20.已知二次函数，，的最小值为．（1）求函数的解析式；（2）设.（i）若在上是减函数，求实数的取值范围；（ii）若在内恰有一个零点，求实数取值范围．【答案解析】一．选择题（共10小题）1.设全集，集合，，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据补集和并集定义可计算出集合.【详解】由题意可得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查补集和交集的计算，考查计算能力，属于基础题.2.命题“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】试题分析：特称命题的否定是全称命题，并将结论加以否定，所以命题的否定为：，考点：全称命题与特称命题【此处有视频，请去附件查看】3.下列函数中为偶函数，且在上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分析各选项中函数单调性以及在区间上的单调性，可得出合适的选项.【详解】对于A选项，函数定义域为，该函数为非奇非偶函数，且在区间上为增函数；对于B选项，函数为偶函数，且在区间上为减函数；对于C选项，函数为非奇非偶函数，且在区间上为增函数；对于D选项，函数偶函数，且在区间上为增函数.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性与单调性的判断，熟悉几种常见的基本初等函数的基本性质是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.4.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法和不等式的基本性质来判断出“”是“”的必要不充分条件.【详解】取，，成立，但不成立，则“”“”.当，则，由不等式的性质得，，即“”“”.因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，涉及了不等式性质的应用，考查推理能力，属于中等题.5.等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式可计算出的值.【详解】由诱导公式得.故选：A.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，考查计算能力，属于基础题.6.设，，，则、、的大小顺序是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较、、三个数与和的大小关系，可得出这三个数的大小关系.【详解】对数函数在上为减函数，则；指数函数为减函数，则，即；指数函数为增函数，则.因此，.故选：D.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性，结合中间值法来比较大小，考查推理能力，属于中等题.7.为了得到函数的图象，只需把函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】将函数变形为，利用平移规律可得出正确选项.【详解】，为了得到函数的图象，只需把函数的图象向右平移个单位长度.故选：B.【点睛】本题考查三角函数图象的平移变换，在解题时要确保两个三角函数的名称保持一致，考查推理能力，属于中等题.8.如图是某条公共汽车线路收支差额与乘客量的图象（收支差额车票收入支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员将图变为图与图，从而提出了扭亏为盈的两种建议．下面有种说法：（1）图的建议是：减少支出，提高票价；（2）图的建议是：减少支出，票价不变；（3）图的建议是：减少支出，提高票价；（4）图的建议是：支出不变，提高票价；上面说法中正确的是（）A.（1）（3）B.（1）（4）C.（2）（4）D.（2）（3）【答案】C【解析】【分析】根据题意知图象反映了收支差额与乘客量的变化情况，即直线斜率说明票价问题，当的点说明公司的成本情况，再结合图象进行说明.【详解】根据题意和图知，两直线平行，即票价不变，直线向上平移说明当乘客量为时，收入是但是支出变少了，即说明了此建议是降低成本而保持票价不变；由图看出，当乘客量为时，支出不变，但是直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，说明了此时的建议是提高票件而保持成本不变.故选：C.【点睛】本题考查了利用图象说明两个量之间的变化情况，主要根据实际意义进行判断，考查读图能力和数形结合思想的应用，属于中等题.9.已知三个函数，，的零点依次为、、，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，得出，令，得出，由于函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，利用对称性可求出的值，利用代数法求出函数的零点的值，即可求出的值.【详解】令，得出，令，得出，则函数与函数、交点的横坐标分别为、.函数与的图象关于直线对称，且直线与直线垂直，如下图所示：联立，得，则点，由图象可知，直线与函数、的交点关于点对称，则，由题意得，解得，因此，.故选：C.【点睛】本题考查函数的零点之和的求解，充分利用同底数的对数函数与指数函数互为反函数这一性质，结合图象的对称性求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.10.若一系列的函数解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”．那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有()A.个 B.个 C.个 D.个【答案】C【解析】试题分析：由y=2x2+1=3，得x2=1，即x=1或x=-1，由y=2x2+1=19，得x2=9，即x=3或x=-3，即定义域内-1和1至少有一个，有3种结果，-3和3至少有一个，有3种结果，∴共有3×3=9种，故选C．考点：1．函数的定义域及其求法；2．函数的值域；3．函数解析式的求解及常用方法．二．填空题（共5小题）11.已知幂函数的图象过点，则____________．【答案】【解析】【分析】设幂函数的解析式为，将点的坐标代入求出参数即可．【详解】解：设幂函数的解析式为因为函数过点所以解得故答案为【点睛】本题考查待定系数法求幂函数的解析式，属于基础题．12.设，使不等式成立的的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】解不等式即可得出实数的取值范围.【详解】解不等式，即，即，解得.因此，使不等式成立的的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.13.若函数值域是，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】求出函数在区间上的值域为，从而可得出函数在区间上单调递减，且有，得出关于实数的不等式组，解出即可.【详解】当时，，即函数在区间上的值域为.由于函数的值域为，则函数在区间上单调递减，且有，即，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题考查利用分段函数的值域求参数，在解题时要分析出函数的单调性，还应对函数在分界点处的函数值进行限制，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14.△ABC中，，，则=_____．【答案】【解析】试题分析：三角形中，,由，得又,所以有正弦定理得即即A为锐角，由得，因此考点：正余弦定理15.已知，，且，则的最大值是_______．【答案】【解析】【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求出的最小值，从而可得出的最小值，由此可得出的最大值.【详解】，，且，，当且仅当，当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，所以，的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解题的关键就是要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.三．解答题（共5小题）16.求值：（1）；（2）已知，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用指数、对数的运算律和对数的换底公式可计算出所求代数式的值；（2）利用立方和公式得出，结合可求出所求代数式的值.【详解】（1）原式；（2）原式.【点睛】本题考查指数式与对数式的计算，涉及换底公式以及立方和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.17.已知是定义在上的奇函数，且时，.（1）求，的值；（2）若，求的值．【答案】（1），；（2）、或【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义得出的值，求出的值，利用奇偶性的定义求出，再结合奇偶性的定义与函数的解析式可计算出的值；（2）求出函数在区间上的值域为，在区间上的值域为，可得出当时，，然后分和两种情况解方程，即可求出实数的值.【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，，，，，，因此，；（2）当时，则，则有，此时.当时，，当且仅当时取到最小值，即.所以，当时，①当时，由，解得或；②当时，由，解得.综上，、或.【点睛】本题考查分段函数求函数值，同时也考查了利用分段函数值求自变量的值，涉及了奇函数性质的应用，考查计算能力，属于中等题.18.如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于、两点，已知、的横坐标分别为、．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义得出的值，利用同角三角函数的平方关系求出，由此可得出的值，然后利用二倍角的正切公式可计算出的值；（2）利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用两角和的正切公式求出的值，求出的取值范围，可得出的值.【详解】（1）由三角函数的定义可得，为锐角，则，，由二倍角正切公式得；（2）由三角函数的定义可得，为锐角，，，，，，，因此，.【点睛】本题考查三角函数的定义，同时也考查了二倍角正切公式、两角和的正切公式求值，考查计算能力，属于中等题.19.已知函数．（1）求的最小正周期和对称中心；（2）求的单调递减区间；（3）当时，求函数的最小值及取得最小值时的值．【答案】（1）最小正周期为；对称中心为；（2）；（3）当时，函数取最小值为．【解析】【分析】（1）利用二倍角降幂公式、辅助角公式可得出，利用周期公式可计算出函数的最小正周期，解方程可得出函数的对称中心坐标；（2）解不等式，可得出函数的单调递减区间；（3）由，计算出的取值范围，利用正弦函数的性质可得出该函数的最小值以及对应的的值.【详解】（1），所以，函数的最小正周期为.由，可得，函数的对称中心为；（2）解不等式，解得.因此，函数的单调递减区间为；（3）当时，，当时，即当时，函数取得最小值，最小值为．【点睛】本题考查正弦型函数周期、对称中心、单调区间以及最值的求解，解题的关键就是要将三角函数解析式化简，借助正弦函数的基本性质求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20.已知二次函数，，的最小值为．（1）求函数的解析式；（2）设.（i）若在上是减函数，求实数的取值范围；（ii）若在内恰有一个零点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）可设，可知该函数图象的对称轴方程为，由题意得出，可求出的值，即可得出函数的解析式；（2）可得出.（i）分、、三种情况讨论，在时，将参数代入函数的解析式进行验证，在、两种情况下，结合单调性得出二次函数图象的对称轴与区间的位置关系，由此可得出关于的不等式，解出即可；（ii）对实数的值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合零点存在定理，可得出关于实数的不等式组，解出即可得出实数的取值范围.【详解】（1），且函数的最小值为．设，则该函数图象的对称轴方程为，，，；（2）.（i）①当时，在上是减函数，满足要求；②当时，对称轴方程为：．i）当时，，所以，解得；ii）当时，，所以，解得．综上，，因此，实数的取值范围是；（ii）①当时，函数在上是减函数，，，故时，，，此时，函数在区间内无零点；当时，，，在区间内有且只有一个零点；②当时，对称轴方程为：，若函数在内恰有一个零点，则有，即，解得或，又，所以.综上有：或.因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查二次函数解析式的求解，同时也考查了利用二次函数在区间上的单调性和零点个数求参数的取值范围，涉及零点存在定理的应用，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.天津市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（二）一､选择题1.下列运算正确的是（）A. B.C. D.2.已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（）A. B.C. D.3.函数恒过定点（）A.B.C.D.4.函数与的图象（）A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称5.已知是锐角,那么是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.小于的正角 D.不大于直角的正角6.已知,则的值为（）A2 B. C.-2 D.7.已知,,,则,,的大小关系为（）A.B.C.D.8.为了得到函数图象,只需将函数图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位 B.向右平行移动个单位C.向左平行移动个单位 D.向右平行移动个单位9.在中,,则角等于()A. B. C. D.二､填空题10.求值:______.11.求值:______12.求值:______.13.函数,,则______.14.，则f（f（2））的值为____________．15.已知函数的定义域和值域都是，则.三､解答题16.已知,且是第二象限角.(1)求的值;(2)求的值.17.已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)求函数取得最大值时集合.18.已知函数.(1)求函数的定义域;(2)判断函数的奇偶性,并用定义证明你的结论.19.已知函数.(1)求函数最小正周期;(2)求函数在区间上的最小值和最大值.【答案解析】一､选择题1.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】根据指数幂的运算公式，逐个检验，即可求出结果.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C错误；对于D，，故D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查指数幂的运算公式，属于基础题.2.已知幂函数的图象过点，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y＝f（x）的图象过点，构造方程求出指数a的值，即可得到函数的解析式．【详解】解：设幂函数的解析式为y＝xa，∵幂函数y＝f（x）的图象过点，∴2a，解得a∴故选B．【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法，属于基础题．3.函数恒过定点（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】根据对数函数必过定点，即可求出结果.【详解】由对数函数的性质可知，当时，函数恒过定点.故选：A.【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，熟练掌握对数函数必过定点是解决本题的关键.4.函数与的图象（）A.关于x轴对称 B.关于y轴对称C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称【答案】C【解析】【分析】令，则，由与图象关于原点对称即可得解.【详解】解：令，则与的图象关于原点对称，与的图象关于原点对称.故选：【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题.5.已知是锐角,那么是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.小于的正角 D.不大于直角的正角【答案】C【解析】【分析】根据是锐角，得出的取值范围是，再判定的终边位置即可．【详解】∵是锐角，即，∴.所以是小于的正角．故选：C．【点睛】本题考查象限角的概念及判定，任意角的概念．得出的取值范围是关键．6.已知,则的值为（）A.2 B. C.-2 D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，对分子和分母同时除以，利用，可将原式化简成，由此即可求出结果.【详解】由题意可知，，故选：B.【点睛】本题主要考查了同角的基本关系的应用，熟练掌握和应用是解题关键，属于基础题.7.已知,,,则,,的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用对数的两个重要公式，可知，据此即可求出结果.【详解】因为，，所以，,，所以.故选：A.【点睛】本题主要考查了对数大小比较以及对数函数单调性的应用，属于基础题.8.为了得到函数的图象,只需将函数图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位 B.向右平行移动个单位C.向左平行移动个单位 D.向右平行移动个单位【答案】C【解析】【分析】由条件根据函数的图象变换规律，可得结论．【详解】因为，故要得到的图象，只需将函数的图象向左平移个单位长度即可；故选：C．【点睛】本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．9.在中,,则角等于()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由两角和公式可得以及诱导公式可知，可得，据此即可求出结果.【详解】由两角和公式可得由诱导公式可知，所以，可知，又，所以，又，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和的正切公式以及诱导公式的应用，属于基础题.二､填空题10.求值:______.【答案】0【解析】【分析】利用对数的两个重要公式，即可求出结果.【详解】.故答案为:0.【点睛】本题主要考查了对数的两个重要公式的应用，属于基础题.11.求值:______.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式，即可求出结果.【详解】.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的用法，属于基础题.12.求值:______.【答案】1【解析】【分析】利用两角和的正弦公式，即可求出结果.【详解】.故答案为：1.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，属于基础题.13.函数,,则______.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式，可得，再根据，即可求出结果.【详解】因为，，所以，又，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式以及同角的基本关系，属于基础题.14.，则f（f（2））的值为____________．【答案】2【解析】【分析】先求f（2），再根据f（2）值所在区间求f（f（2））.【详解】由题意，f（2）=log3（22–1）=1，故f（f（2））=f（1）=2×e1–1=2，故答案为2．【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15.已知函数的定义域和值域都是，则.【答案】【解析】若，则在上为增函数,所以，此方程组无解；若，则在上为减函数,所以，解得，所以.考点：指数函数的性质.【此处有视频，请去附件查看】三､解答题16.已知,且是第二象限角.(1)求的值;(2)求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析】（1）根据题意以及同角基本关系可知，再利用二倍角公式即可求出结果；（2）根据（1）的结果利用两角和余弦公式，即可求出结果.【详解】(1)∵,是第二象限角,∴,∴.(2)∴.【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系和两角和的余弦公式，属于基础题.17.已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)求函数取得最大值时的集合.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数的单调区间．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数取得最大值，以及此时的自变量的值．【详解】(1)在上的增区间满足:,,∴,解得:,,所以单调递增区间为,,单调递增区间为,.(2)，令：,，解得：,，函数取得最大值的集合为:.【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，属于基础题．18.已知函数.(1)求函数的定义域;(2)判断函数的奇偶性,并用定义证明你的结论.【答案】（1）（2）是奇函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行判断．【详解】(1)由,解得,∴,∴函数的定义域.(2)函数是奇函数.证明:由(1)知定义域关于原点对称.因为函数.∵，所以函数是奇函数.【点睛】本题主要考查函数定义域，奇偶性的判断，利用定义法是解决本题的关键．19.已知函数.(1)求函数的最小正周期;(2)求函数在区间上的最小值和最大值.【答案】（1）（2）最小值-1，最大值【解析】【分析】（1）利用三角函数的同角基本关系、二倍角公式和辅角公式，对解析式化简，可得，根据周期公式即可求出结果；（2）根据．利用正弦函数的定义域和值域求得函数的最小值和最大值．【详解】(1),∴的最小正周期;(2)在闭区间上,,故当时,函数取得最大值为,当时,函数取得最小值为-1.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．天津市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（三）一、选择题（共9小题）1.已知集合，，则=（）A. B.C. D.2.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.下列命题中的假命题是（）A.， B.，C.， D.，4.若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角5.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度6.设，，，则（）A.B.C.D.7.函数A.奇函数且在上单调递增B.奇函数且在上单调递增C.偶函数且在上单调减增D.偶函数且在上单调递增8.设函数，则满足的x的取值范围是AB.C.D.9.已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（共6小题）10.函数的定义域是______.11.半径为的圆的一段弧长等于，则这段弧所对圆心角的弧度数为______.12.计算______.13.函数的图象的一个对称中心的坐标是______.14.函数的图象如图所示，则______.15.设，若是的最小值，是的取值范围为______________．三、解答题（共5小题）16.已知，求，的值.17.已知，求的值.18.已知函数，.（1）求最小正周期；（2）求在闭区间上的最大值和最小值.19.某公司对营销人员有如下规定：①年销售额(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额(万元)，时，奖金为万元，且，，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．(1)求奖金y关于的函数解析式；(2)若某营销人员争取奖金(万元)，则年销售额(万元)在什么范围内？20.已知函数f（x）＝loga（x+1），g（x）＝2loga（2x+t）（t∈R），其中x∈[0，15]，a＞0，且a≠1．（1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）＝0的一个解，求t的值；（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求t的取值范围【答案解析】一、选择题（共9小题）1.已知集合，，则=（）A. B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：，或，所以，故选D.考点：集合的运算2.设，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】若，则，故不充分；若，则，而，故不必要，故选D.考点：本小题主要考查不等式的性质，熟练不等式的性质是解答好本类题目的关键.3.下列命题中的假命题是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B中的命题为假命题，故选B．考点：特称命题与存在命题的真假判断．4.若sinα＞0，且cosα＜0，则角α是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】B【解析】试题分析：直接由三角函数的象限符号取交集得答案．解：由sinα＞0，可得α为第一、第二及y轴正半轴上的角；由cosα＜0，可得α为第二、第三及x轴负半轴上的角．∴取交集可得，α是第二象限角．故选B．考点：三角函数值的符号．5.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A.向左平行移动个单位长度 B.向右平行移动个单位长度C.向左平行移动个单位长度 D.向右平行移动个单位长度【答案】A【解析】试题分析：因为，所以把的图象上所有的点向左平移个单位长度，即可得到函数的图象，故选A．考点：三角函数的图象变换．6.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指、对数的单调性直接将的范围求出来，然后再比较大小.【详解】因为，所以；；；所以，故选D.【点睛】指对数比较大小，常用的方法是：中间值分析法（与比较大小），单调性分析法（根据单调性直接写出范围）.7.函数是A.奇函数且上单调递增B.奇函数且上单调递增C.偶函数且在上单调减增D.偶函数且在上单调递增【答案】C【解析】【详解】函数化简得，所以函数是偶函数，当时，是减函数，所以选C8.设函数，则满足的x的取值范围是A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分类讨论：当时；当时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．【详解】当时，的可变形为，，．当时，的可变形为，，故答案为．故选D．【点睛】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．9.已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出函数图像和直线，数形结合求出当两函数图像有三个交点时k的取值范围.【详解】作出函数的图像和直线，如图所示，当，函数的图像和直线有三个交点，所以.故选：A【点睛】本题考查方程的根的存在性及个数判断，方程的根与函数的零点，属于基础题.二、填空题（共6小题）10.函数的定义域是______.【答案】【解析】【分析】根据被开方数大于等0，分母不为0及对数函数的定义域列出不等式组，求解即可.【详解】，解得，所以函数y的定义域为.故答案为：【点睛】本题考查求函数的定义域，属于基础题.11.半径为的圆的一段弧长等于，则这段弧所对圆心角的弧度数为______.【答案】【解析】【分析】直接由弧长公式求解即可.【详解】由知.故答案为：【点睛】本题考查扇形的弧长公式，属于基础题.12.计算______.【答案】19【解析】【分析】由即可得解.【详解】故答案为：19【点睛】本题考查指数、对数式的基本运算，属于基础题.13.函数的图象的一个对称中心的坐标是______.【答案】(答案不唯一)【解析】【分析】令，解得，即可求得正弦型函数的对称中心.【详解】令，因为的对称中心为，所以令，解得，所以的对称中心坐标为，当时，函数的一个对称中心坐标为.故答案为：【点睛】本题考查正弦型函数的对称中心，属于基础题.14.函数的图象如图所示，则______.【答案】1【解析】【分析】因为函数过点，分别求出直线方程与对数函数方程，从而求得，相乘即可.【详解】因为函数过点，则直线方程为即，所以，因为函数过点，所以，解得，所以.故答案为：1【点睛】本题考查分段函数图像与解析式的求法，属于基础题.15.设，若是的最小值，是的取值范围为______________．【答案】【解析】【分析】由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得，又，从而解得的范围.【详解】解：当时，当且仅当，即时，等号成立，此时有最小值为，因为是的最小值，所以当时，单调递减，故，此时最小值，故，解得，综上所述的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查了分段函数的应用及分段函数的最值的求法，注意运用基本不等式和二次函数的单调性，属于中档题.三、解答题（共5小题）16.已知，求，的值.【答案】见解析【解析】【分析】分角为第三和第四象限角两种情况讨论，结合同角三角函数的基本关系可得解.【详解】因为，，所以第三或第四象限角.由得.如果是第三象限角，那么，于是，从而；如果第四象限角，那么，.综上所述，当是第三象限角时，，；当是第四象限角时，，.【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.17.已知，求的值.【答案】18【解析】【分析】首先求出，利用三角函数的诱导公式及同角三角函数的关系化简式子即可得解.【详解】由，可得，∴.【点睛】本题考查三角函数诱导公式，属于基础题.18.已知函数，.（1）求的最小正周期；（2）求在闭区间上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为.【解析】【分析】(1)由二倍角公式及降幂公式化简函数解析式，再利用两角差的正弦公式进一步化简得，由正弦函数周期计算公式即可求得周期；(2)由题意，所以当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值.【详解】（1）函数，∴的最小正周期；（2）在闭区间上，，故当时，函数取得最大值为，当时，函数取得最小值为.【点睛】本题考查二倍角公式、降幂公式及两角和与差的正弦公式，正弦函数的图像与性质，属于基础题.19.某公司对营销人员有如下规定：①年销售额(万元)在8万元以下，没有奖金；②年销售额(万元)，时，奖金为万元，且，，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金．(1)求奖金y关于的函数解析式；(2)若某营销人员争取奖金(万元)，则年销售额(万元)在什么范围内？【答案】（1）；（2）【解析】【详解】(1)依题意在上为增函数，所以解得，所以(2)易知，当时，要使，则，解得，所以，当时，要使．则，所以，综上所述，当年销售额(万元)时，奖金(万元)．20.已知函数f（x）＝loga（x+1），g（x）＝2loga（2x+t）（t∈R），其中x∈[0，15]，a＞0，且a≠1．（1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）＝0的一个解，求t的值；（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求t的取值范围.【答案】(1)t＝﹣2(2)t≥1【解析】【分析】（1）由f（1）﹣g（1）＝0，即可求得t的值；（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立⇔t2x（x∈[0，15]）恒成立，令u（x∈[0，15]），则u∈[1，4]，通过配方法可求得2x的最大值，从而解决问题.【详解】解：（1）由题意得f（1）﹣g（1）＝0，即loga2＝2loga（2+t），解得t＝﹣2（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，即loga（x+1）≥loga（2x+t）（x∈[0，15]）恒成立，它等价于2x+t（x∈[0，15]），即t2x（x∈[0，15]）恒成立令u（x∈[0，15]），则u∈[1，4]，x＝u2﹣1，2x＝﹣2（u2﹣1）+u＝﹣2，当u＝1时，2x的最大值为1，∴t≥1【点睛】本题考查了对数的基本计算和恒成立问题，恒成立问题：常见的方法了最值法，分离参数法，判别式法，根据不同题型采用不同的方法．属于中档题．天津市部分重点中学高一上学期期末考试数学试卷（四）第I卷基础题（共105分）一、选择题：（每小题5分，共40分）1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.3.已知：，，则是成立的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充分必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件4.已知，则的大小关系为()A. B.C. D.5.函数最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（）A. B.C. D.6.若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为（）A. B.C. D.7.若正数满足：，则最小值为（）A.2 B.C. D.8.函数，则方程的根的个数是（）A.7 B.5 C.3 D.1二、填空题：（每小题4分，共20分）9.化简：值为________．10.若函数为奇函数，则________．11.方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．12.已知，且，则.13.对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．三、解答题：（共5小题，共68分）14.设函数，（1）解关于的不等式；（2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；15.（1）已知，求；（2）若，求的值；（3）求的值；（4）已知，求．结合题目的解答过程总结三角函数求值（化简）最应该注意什么问题？16.已知函数．（1）求的最小正周期及增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值，并分别写出相应的x的值．17.（1）已知，，求；（2）已知，．（i）求的值；（ii）求值．第II卷提高题（共15分）18.已知定义域为的函数在上有最大值1，设．（1）求的值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围（为自然对数的底数）．【答案解析】第I卷基础题（共105分）一、选择题：（每小题5分，共40分）1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】化简集合A,B，根据交集的运算求解即可.【详解】因为，，所以，故选A.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.2.已知关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意得出关于的不等式的解集为，由此得出或，在成立时求出实数的值代入不等式进行验证，由此解不等式可得出实数的取值范围.【详解】由题意知，关于的不等式的解集为.（1）当，即．当时，不等式化为，合乎题意；当时，不等式化为，即，其解集不为，不合乎题意；（2）当，即时．关于的不等式的解集为.，解得．综上可得，实数的取值范围是．故选C．【点睛】本题考查二次不等式在上恒成立问题，求解时根据二次函数图象转化为二次项系数和判别式的符号列不等式组进行求解，考查化归与转化思想，属于中等题.3.已知：，，则是成立的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充分必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】A【解析】【分析】构造函数，先解出命题中的取值范围，由不等式对恒成立，得出，解出实数的取值范围，再由两取值范围的包含关系得出命题和的充分必要性关系．【详解】构造函数，对，恒成立，则，解得，，因此，是的充分但不必要条件，故选A.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，一般利用集合的包含关系来判断两条件的充分必要性：（1），则“”是“”的充分不必要条件；（2），则“”是“”的必要不充分条件；（3），则“”是“”的充要条件；（4），则“”是“”的既不充分也不必要条件．4.已知，则的大小关系为()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的单调性性，得到，再根据对数的运算性质，得到，即可得到答案.【详解】由题意，幂函数在上为单调递增函数，所以，又由对数运算性质，可得，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了幂函数的单调性，以及对数的运算性质的应用，其中解答中熟练应用幂函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5.函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得，平移后得到函数解析式为，再求其对称轴方程即可.【详解】解：函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由，得，当时，.故选D.【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.6.若函数为奇函数，且在内是增函数，又，则的解集为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据为奇函数可把化为，分类讨论后可得不等式的解集.【详解】因为为奇函数，所以，所以即.当时，等价于也即是，因为在内是增函数，故可得.因为在内是增函数且为奇函数，故在内是增函数，又.当时，等价于也即是，故可得.综上，的解集为.故选：A.【点睛】如果一个函数具有奇偶性，那么它的图像具有对称性，偶函数的图像关于轴对称，奇函数的图像关于原点对称，因此知道其一侧的图像、解析式、函数值或单调性，必定可以知晓另一侧的图像、解析式、函数值或单调性.7.若正数满足：，则的最小值为（）A.2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】把化为，利用基本不等式可求最小值.【详解】因，为正数，所以，从而.又可化为，故，当且仅当时等号成立，所以的最小值为2.故选：A.【点睛】本题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.8.函数，则方程的根的个数是（）A.7 B.5 C.3 D.1【答案】A【解析】【分析】根据题意，分别讨论，和两种情况，根据函数解析式，即可求出结果.【详解】因为（1）当时，由，解得或，若，则或，解得或；或或；若，则或，解得；（2）当时，由，解得或（舍），所以.若，则，解得；若，则，解得.综上，方程的根的个数是7个.故选A【点睛】本题主要考查由复合函数值求参数的问题，灵活运用分类讨论的思想即可求解，属于常考题型.二、填空题：（每小题4分，共20分）9.化简：的值为________．【答案】1【解析】【分析】利用诱导公式可求三角函数式的值.【详解】原式，故答案为：1.【点睛】诱导公式有五组，其主要功能是将任意角的三角函数转化为锐角或直角的三角函数．记忆诱导公式的口诀是“奇变偶不变，符号看象限”．10.若函数为奇函数，则________．【答案】【解析】根据题意，当时，为奇函数，，则故答案为.11.方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【详解】∵1﹣2a=2sin（2x+），令y1（x）=2sin（2x+），y2（x）=1﹣2a，∵x∈，∴2x+∈[，]，方程2sin（2x+）+2a﹣1=0在[0，]上有两个不等的实根，由图知，≤2sin（2x+）＜2，即≤1﹣2a＜2，∴﹣2＜2a﹣1≤﹣，解得﹣＜a≤．∴实数a的取值范围是．故答案为.点睛：这个题目考查了已知函数零点求参的问题；对于函数的零点问题，它和方程的根的问题，和两个函数的交点问题是同一个问题，可以互相转化；在转化为两个函数交点时，如果是一个常函数一个含x的函数，注意让含x的函数式子尽量简单一些.12.已知，且，则.【答案】【解析】，且，所以,.13.对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范