《3.1函数的概念及其表示》专题复习与训练

《3.1函数的概念及其表示》专题复习与训练3.1.1函数的概念学习目标核心素养1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)3．能够正确使用区间表示数集．(易混点)1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.【新课导入】1．函数的概念定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？提示：(1)这种看法不对．符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．2．区间及有关概念(1)一般区间的表示设a，b∈R，且a<b，规定如下：定义名称符号数轴表示{x|a≤x≤b}闭区间[a，b]{x|a<x<b}开区间(a，b){x|a≤x<b}半开半闭区间[a，b){x|a<x≤b}半开半闭区间(a，b](2)特殊区间的表示定义R{x|x≥a}{x|x＞a}{x|x≤a}{x|x＜a}符号(－∞，＋∞)[a，＋∞)(a，＋∞)(－∞，a](－∞，a)思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．1．函数y＝eq\f(1,\r(x＋1))的定义域是()A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－1，＋∞) D．(－1,0)C[由x＋1>0得x>－1.所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]2．若f(x)＝eq\f(1,1－x2)，则f(3)＝________.－eq\f(1,8)[f(3)＝eq\f(1,1－9)＝－eq\f(1,8).]3．用区间表示下列集合：(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；(2){x|x>1}用区间表示为________．(1)[10,100](2)(1，＋∞)[结合区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为(1，＋∞)．]【合作探究】函数的概念【例1】(1)下列各组函数是同一函数的是()①f(x)＝eq\r(－2x3)与g(x)＝xeq\r(－2x)；②f(x)＝x与g(x)＝eq\r(x2)；③f(x)＝x0与g(x)＝eq\f(1,x0)；④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.A．①② B．①③C．③④ D．①④(2)判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．①A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；②A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；③A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；④A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．(1)C[①f(x)＝eq\r(－2x3)＝|x|eq\r(－2x)与g(x)＝xeq\r(－2x)的对应法则和值域不同，故不是同一函数．②g(x)＝eq\r(x2)＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不同，故不是同一函数．③f(x)＝x0与g(x)＝eq\f(1,x0)都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．由上可知是同一函数的是③④.故选C.](2)[解]①对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．②对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．③对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．④集合A不是数集，故不是函数．]1．判断对应关系是否为函数的2个条件(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．2．判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．1．下列四个图象中，不是函数图象的是()ABCDB[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]2．下列各组函数中是相等函数的是()A．y＝x＋1与y＝eq\f(x2－1,x－1)B．y＝x2＋1与s＝t2＋1C．y＝2x与y＝2x(x≥0)D．y＝(x＋1)2与y＝x2B[A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B.]求函数值【例2】设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝eq\f(1,x＋2)，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．(2)求g(f(x))．[思路点拨](1)直接把变量的取值代入相应函数解析式，求值即可；(2)把f(x)直接代入g(x)中便可得到g(f(x))．[解](1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝eq\f(1,x＋2)，所以g(a)＋g(0)＝eq\f(1,a＋2)＋eq\f(1,0＋2)＝eq\f(1,a＋2)＋eq\f(1,2)(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝eq\f(1,10＋2)＝eq\f(1,12).(2)g(f(x))＝eq\f(1,fx＋2)＝eq\f(1,2x2＋2＋2)＝eq\f(1,2x2＋4).函数求值的方法1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值.2求fga的值应遵循由里往外的原则.3．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f[解]f(1)＝13＋2×1＋3＝6；f(t)＝t3＋2t＋3；f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.求函数的定义域[探究问题]1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？提示：不可以．如f(x)＝eq\f(x＋1,x2－1).倘若先化简，则f(x)＝eq\f(1,x－1)，从而定义域与原函数不等价．2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？提示：[1,2]是自变量x的取值范围．函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．【例3】求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋eq\f(3,x－2)；(2)f(x)＝(x－1)0＋eq\r(\f(2,x＋1))；(3)f(x)＝eq\r(3－x)·eq\r(x－1)；(4)f(x)＝eq\f(x＋12,x＋1)－eq\r(1－x).[思路点拨]要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．[解](1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋eq\f(3,x－2)有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,\f(2,x＋1)≥0，,x＋1≠0，))解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．(3)函数有意义，当且仅当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x≥0，,x－1≥0，))解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,1－x≥0，))解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．[解]由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]．求函数定义域的常用方法1若fx是分式，则应考虑使分母不为零.2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零.3若fx是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.4若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.5若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.1．对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．2．函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．3．函数符号y＝f(x)是学习的难点，它是抽象符号之一．首先明确符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”.【课堂达标】1．思考辨析(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．()(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．()(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．()(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．()(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．下列函数中，与函数y＝x相等的是()A．y＝(eq\r(x))2 B．y＝eq\r(x2)C．y＝|x| D．y＝eq\r(3,x3)D[函数y＝x的定义域为R；y＝(eq\r(x))2的定义域为[0，＋∞)；y＝eq\r(x2)＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝eq\r(3,x3)＝x，且定义域为R.故选D.]3．将函数y＝eq\f(3,1－\r(1－x))的定义域用区间表示为________．(－∞，0)∪(0,1][由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0，))解得x≤1且x≠0，用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．]4．已知函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)，(1)求f(x)的定义域；(2)求f(－1)，f(2)的值；(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．[解](1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(－1)＝－1＋eq\f(1,－1)＝－2，f(2)＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).(3)当a≠－1时，a＋1≠0，∴f(a＋1)＝a＋1＋eq\f(1,a＋1).《函数的概念》专题训练[合格基础练]一、选择题1．已知函数f(x)＝eq\f(3,x)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝()A.eq\f(1,a) B.eq\f(3,a)C．a D．3D[feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝3a，故选D.]2．下列表示y关于x的函数的是()A．y＝x2 B．y2＝xC．|y|＝x D．|y|＝|x|A[结合函数的定义可知A正确，选A.]3．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为()A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3}A[当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝1－2＝－1；当x＝2时，y＝4－2×2＝0；当x＝3时，y＝9－2×3＝3，∴函数y＝x2－2x的值域为{－1,0,3}．]4．函数y＝eq\f(\r(x＋1),x－1)的定义域是()A．(－1，＋∞) B．[－1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞) D．[－1,1)∪(1，＋∞)D[由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x－1≠0，))所以x≥－1且x≠1，故函数y＝eq\f(\r(x＋1),x－1)的定义域为{x|x≥－1且x≠1}．故选D.]5．下列四组函数中表示同一函数的是()A．f(x)＝x，g(x)＝(eq\r(x))2B．f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2C．f(x)＝eq\r(x2)，g(x)＝|x|D．f(x)＝0，g(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)C[∵f(x)＝x(x∈R)与g(x)＝(eq\r(x))2(x≥0)两个函数的定义域不一致，∴A中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2两个函数的对应法则不一致，∴B中两个函数不表示同一函数；∵f(x)＝eq\r(x2)＝|x|与g(x)＝|x|，两个函数的定义域均为R，∴C中两个函数表示同一函数；f(x)＝0，g(x)＝eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)＝0(x＝1)两个函数的定义域不一致，∴D中两个函数不表示同一函数，故选C.]二、填空题6．若[a,3a－1]为一确定区间，则aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))[由题意知3a－1>a，则a>eq\f(1,2).]7．已知函数f(x)＝eq\f(1,1＋x)，又知f(t)＝6，则t＝________.－eq\f(5,6)[由f(t)＝6，得eq\f(1,1＋t)＝6，即t＝－eq\f(5,6).]8．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))＋f(x－1)的定义域是________．(0,2)[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<\f(x,2)<1，,－1<x－1<1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<x<2，,0<x<2.))解得0＜x＜2，于是函数g(x)的定义域为(0,2)．]三、解答题9．求下列函数的定义域：(1)f(x)＝eq\r(3x－1)＋eq\r(1－2x)＋4；(2)f(x)＝eq\f(x＋30,\r(|x|－x)).[解](1)要使函数式有意义，必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x－1≥0，,1－2x≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,3)，,x≤\f(1,2).))所以eq\f(1,3)≤x≤eq\f(1,2)，即函数的定义域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2))).(2)要使函数式有意义，必须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3≠0，,|x|－x>0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－3，,|x|>x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－3，,x<0.))所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3,0)．10．已知f(x)＝x2－4x＋2.(1)求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；(2)求f(x)的值域；(3)若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值．[解](1)f(2)＝22－4×2＋2＝－2，f(a)＝a2－4af(a＋1)＝(a＋1)2－4(a＋1)＋2＝a2－2a(2)f(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2≥－2，∴f(x)的值域为[－2，＋∞)．(3)g(3)＝3＋1＝4，∴f(g(3))＝f(4)＝42－4×4＋2＝2.[等级过关练]1．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤3}，则下列图形给出的对应中能构成从A到B的函数f：A→B的是()ABCDD[A中的对应不满足函数的存在性，即存在x∈A，但B中无与之对应的y；B、C均不满足函数的唯一性，只有D正确．]2．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为()A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2C．f(x)＝eq\f(1,x) D．y＝|x|A[对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．对于C选项，f(x＋1)＝eq\f(1,x＋1)，f(x)＋1＝eq\f(1,x)＋1，不成立．对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．]3．函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x123f(x)131x123g(x)321则f(g(1))的值为________；满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．12[∵g(1)＝3，f(3)＝1，∴f(g(1))＝1.当x＝1时，f(g(1))＝f(3)＝1，g(f(1))＝g(1)＝3，f(g(x))<g(f(x))，不合题意；当x＝2时，f(g(2))＝f(2)＝3，g(f(2))＝g(3)＝1，f(g(x))>g(f(x))，符合题意；当x＝3时，f(g(3))＝f(1)＝1，g(f(3))＝g(1)＝3，f(g(x))<g(f(x))，不合题意．]4．已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，这样的函数有________个．9[因为一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为{1,4}，所以函数的定义域可以为{1,2}，{－1,2}，{1，－2}，{－1，－2}，{1，－1,2}，{－1,1，－2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，－2,2}，共9种可能，故这样的函数共9个．]5．已知函数f(x)＝eq\f(x2,1＋x2).(1)求f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))的值；(2)求证：f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))是定值．[解]∵f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)，∴f(2)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(22,1＋22)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝1.f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝eq\f(32,1＋32)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2)＝1.(2)证明：f(x)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))2)＝eq\f(x2,1＋x2)＋eq\f(1,x2＋1)＝eq\f(x2＋1,x2＋1)＝1.3.1.2函数的表示法第1课时函数的表示法学习目标核心素养1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法．(重点)2．会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．(难点)1.通过函数表示的图象法培养直观想象素养．2．通过函数解析式的求法培养运算素养.【新课导入】函数的表示法思考：任何一个函数都可以用解析法、列表法、图表法三种形式表示吗？提示：不一定．并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，x∈Q，,1，x∈∁RQ.))列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段．1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()x1≤x<222<x≤4f(x)123A.1B．2C．3D．不存在C[∵当2<x≤4时，f(x)＝3，∴f(3)＝3.]2．二次函数的图象的顶点为(0，－1)，对称轴为y轴，则二次函数的解析式可以为()A．y＝－eq\f(1,4)x2＋1 B．y＝eq\f(1,4)x2－1C．y＝4x2－16 D．y＝－4x2＋16B[把点(0，－1)代入四个选项可知，只有B正确．]3．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是______．[－2,3][由图象可知f(x)的定义域为[－2,3]．]【合作探究】函数的三种表示方法【例1】某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．[解]①列表法如下：x(台)12345y(元)3000600090001200015000x(台)678910y(元)1800021000240002700030000②图象法：如图所示．③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}．列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在用三种方法表示函数时要注意：①解析法必须注明函数的定义域；②列表法中选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；③图象法中要注意是否连线．1．(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是()ABCD(2)由下表给出函数y＝f(x)，则f(f(1))等于()x12345y45321A.1 B．2C．4 D．5(1)D(2)B[(1)结合题意可知，该生离校的距离先快速减少，又较慢减少，最后到0，故选D.(2)由题意可知，f(1)＝4，f(4)＝2，∴f(f(1))＝f(4)＝2，故选B.]图象的画法及应用【例2】作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝－x，x∈{0,1，－2,3}；(2)y＝eq\f(2,x)，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2)．[解](1)列表x01－23y0－12－3函数图象只是四个点(0,0)，(1，－1)，(－2,2)，(3，－3)，其值域为{0，－1,2，－3}．(2)列表x2345…y1eq\f(2,3)eq\f(1,2)eq\f(2,5)…当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝eq\f(2,x)的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(3)列表x－2－1012y0－1038画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x<2之间的部分．由图可得函数的值域为[－1,8)．描点法作函数图象的三个关注点1画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图.2图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象.3要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心圈.提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.2．画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)．[解](1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①.(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线．如图②.函数解析式的求法[探究问题]已知f(x)的解析式，我们可以用代入法求f(g(x))，反之，若已知f(g(x))，如何求f(x)．提示：若已知f(g(x))的解析式，我们可以用换元法或配凑法求f(x)．【例3】(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x－2eq\r(x)，则f(x)＝________；(2)已知函数f(x)是一次函数，若f(f(x))＝4x＋8，则f(x)＝________；(3)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，则f(x[思路点拨](1)用换元法或配凑法求解；(2)用待定系数法求解；(3)用方程组法求解．(1)x2－4x＋3(x≥1)(2)2x＋eq\f(8,3)或－2x－8(3)eq\f(2,3)x－1[(1)法一(换元法)：令t＝eq\r(x)＋1，则t≥1，x＝(t－1)2，代入原式有f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．法二(配凑法)：f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＋1－4eq\r(x)－4＋3＝(eq\r(x)＋1)2－4(eq\r(x)＋1)＋3，因为eq\r(x)＋1≥1，所以f(x)＝x2－4x＋3(x≥1)．(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.又f(f(x))＝4x＋8，所以a2x＋ab＋b＝4x＋8，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＋b＝8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝\f(8,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－8.))所以f(x)＝2x＋eq\f(8,3)或f(x)＝－2x－8.(3)由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中，以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x，联立可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx－2f－x＝1＋2x，,f－x－2fx＝1－2x，))消去f(－x)可得f(x)＝eq\f(2,3)x－1.]1．(变条件)把本例(2)的题干改为“已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x.”求f(x)的解析式．[解]设f(x)＝ax2＋bx＋c，由f(0)＝1得c＝1.又f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1，∴f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b.由2ax＋a＋b＝2x，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，))解得a＝1，b＝－1.∴f(x)＝x2－x＋1.2．(变条件)把本例(3)的题干改为“2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝x(x≠0)”，求f(x)的解析式．[解]f(x)＋2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，令x＝eq\f(1,x)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2f(x)＝eq\f(1,x).于是得关于f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))的方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx＋2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2fx＝\f(1,x).))解得f(x)＝eq\f(2,3x)－eq\f(x,3)(x≠0)．求函数解析式的四种常用方法1待定系数法：若已知fx的解析式的类型，设出它的一般形式，根据特殊值确定相关的系数即可.2换元法：设t＝gx，解出x，代入fgx，求ft的解析式即可.3配凑法：对fgx的解析式进行配凑变形，使它能用gx表示出来，再用x代替两边所有的“gx”即可.4方程组法或消元法：当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解.提醒：应用换元法求函数解析式时，务必保证函数在换元前后的等价性.1．函数有三种常用的表示方法，可以适时的选择，以最佳的方式表示函数．2．作函数图象必须要让作出的图象反映出图象的伸展方向，与x轴、y轴有无交点，图象有无对称性，并标明特殊点．3．求函数解析式的主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)，注意有的函数要注明定义域.【课堂达标】1．思考辨析(1)任何一个函数都可以用解析法表示．()(2)函数的图象一定是定义区间上一条连续不断的曲线．()[答案](1)×(2)×2．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x＋2 D．f(x)＝3x＋4A[令x＋1＝t，则x＝t－1，∴f(t)＝3(t－1)＋2＝3t－1.∴f(x)＝3x－1.]3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出．x456f(x)131x123g(x)454则g(f(5))＝________；f(g(2))＝________.43[由题表可知f(5)＝3，g(3)＝4，∴g(f(5))＝g(3)＝4.又g(2)＝5，f(5)＝3，∴f(g(2))＝f(5)＝3.]4．已知函数f(x)＝x2－2x(－1≤x≤2)．(1)画出f(x)图象的简图；(2)根据图象写出f(x)的值域．[解](1)f(x)图象的简图如图所示．(2)观察f(x)的图象可知，f(x)图象上所有点的纵坐标的取值范围是[－1,3]，即f(x)的值域是[－1,3]．《函数的表示法》专题训练[合格基础练]一、选择题1．购买某种饮料x听，所需钱数为y元．若每听2元，用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为()A．y＝2x B．y＝2x(x∈R)C．y＝2x(x∈{1,2,3，…}) D．y＝2x(x∈{1,2,3,4})D[题中已给出自变量的取值范围，x∈{1,2,3,4}，故选D.]2．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象是如图的曲线ABC，其中A(1,3)，B(2，1)，C(3,2)，则f(g(2))的值为()x123f(x)230A．3 B．2C．1 D．0B[由函数g(x)的图象知，g(2)＝1，则f(g(2))＝f(1)＝2.]3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()C[距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选C.]4．如果feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，则当x≠0,1时，f(x)等于()A.eq\f(1,x) B.eq\f(1,x－1)C.eq\f(1,1－x) D.eq\f(1,x)－1B[令eq\f(1,x)＝t，则x＝eq\f(1,t)，代入feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝eq\f(x,1－x)，则有f(t)＝eq\f(\f(1,t),1－\f(1,t))＝eq\f(1,t－1)，故选B.]5．若f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则fA．3x＋2B．3x－2C．2x＋3B[设f(x)＝ax＋b，由题设有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22a＋b－3a＋b＝5，,20·a＋b－－a＋b＝1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－2.))所以选B.]二、填空题6．已知f(2x＋1)＝x2－2x，则f(3)＝________.－1[由2x＋1＝3得x＝1，∴f(3)＝1－2＝－1.]7．f(x)的图象如图所示，则f(x)的值域为________．[－4,3][由函数的图象可知，f(x)的值域为[－2,3]∪[－4,2.7]，即[－4,3]．]8．若一个长方体的高为80cm，长比宽多10cm，则这个长方体的体积y(cm3)与长方体的宽x(cm)之间的表达式是________．y＝80x(x＋10)，x∈(0，＋∞)[由题意可知，长方体的长为(x＋10)cm，从而长方体的体积y＝80x(x＋10)，x>0.]三、解答题9．画出二次函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；(2)求函数f(x)的值域．[解]f(x)＝－(x－1)2＋4的图象如图所示：(1)f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(1)>f(0)>f(3)．(2)由图象可知二次函数f(x)的最大值为f(1)＝4，则函数f(x)的值域为(－∞，4]．10．(1)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x＋3)－f(x－2)＝2x＋21，求f(x(2)已知f(x)为二次函数，且满足f(0)＝1，f(x－1)－f(x)＝4x，求f(x)的解析式；(3)已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq\f(1,x2)＋1，求f(x)的解析式．[解](1)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则2f(x＋3)－f(x－2)＝2[a(x＋3)＋b]－[a(x－2)＋b]＝2ax＋6a＋2b－ax＋2a－b＝ax＋8a＋所以a＝2，b＝5，所以f(x)＝2x＋5.(2)因为f(x)为二次函数，设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由f(0)＝1，得c＝1.又因为f(x－1)－f(x)＝4x，所以a(x－1)2＋b(x－1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝4x，整理，得－2ax＋a－b＝4x，求得a＝－2，b＝－2，所以f(x)＝－2x2－2x＋1.(3)∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋2＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))2＋3.∴f(x)＝x2＋3.[等级过关练]1．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值为()A．－1 B．5C．1 D．8C[由3x＋2＝2得x＝0，所以a＝2×0＋1＝1.故选C.]2．一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为()A．y＝20－2x B．y＝20－2x(0<x<10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5<x<10)D[由题意得y＋2x＝20，所以y＝20－2x，又2x>y，即2x>20－2x，即x>5，由y>0即20－2x>0得x<10，所以5<x<10.故选D.]3．已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，则f(xf(x)＝eq\f(1,3)x2－2x[以－x代替x得：f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.与f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x联立得：f(x)＝eq\f(1,3)x2－2x.]4．设f(x)＝2x＋a，g(x)＝eq\f(1,4)(x2＋3)，且g(f(x))＝x2－x＋1，则a的值为________．－1[因为g(x)＝eq\f(1,4)(x2＋3)，所以g(f(x))＝eq\f(1,4)[(2x＋a)2＋3]＝eq\f(1,4)(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.]5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2m，渠深为1.8m，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数；(2)确定函数的定义域和值域．[解](1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2m，上底为(2＋2h)m，高为hm，∴水的面积A＝eq\f([2＋2＋2h]h,2)＝h2＋2h(m2)．(2)定义域为{h|0<h<1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0<h<1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0<A<6.84.故值域为{A|0<A<6.84}．第2课时分段函数学习目标核心素养1.了解分段函数的概念，会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象．(重点，难点)2．能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题．(重点、难点)3．通过本节内容的学习，使学生了解分段函数的含义，提高学生数学建模、数学运算的能力．(重点)1.通过分段函数求值问题培养数学运算素养．2．利用分段函数解决实际问题，培养数学建模素养．【新课导入】分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数是一个函数还是几个函数？提示：分段函数是一个函数，而不是几个函数．1．下列给出的式子是分段函数的是()①f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，1≤x≤5，,2x，x<1.))②f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x∈R，,x2，x≥2.))③f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3，1≤x≤5，,x2，x≤1.))④f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋3，x<0，,x－1，x≥5.))A．①② B．①④C．②④ D．③④B[结合分段函数的定义可知①④是分段函数，②③中不同对应关系的定义域有重叠部分，故选B.]2．函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x＜0))的值域是________．[答案][0，＋∞)3．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1，))则f(f(4))＝________.0[∵f(4)＝－4＋3＝－1，f(－1)＝－1＋1＝0，∴f(f(4))＝f(－1)＝0.]【合作探究】分段函数的求值问题【例1】已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2<x<2，,2x－1，x≥2.))(1)求f(－5)，f(－eq\r(3))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))的值；(2)若f(a)＝3，求实数a的值．[解](1)由－5∈(－∞，－2]，－eq\r(3)∈(－2,2)，－eq\f(5,2)∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，f(－eq\r(3))＝(－eq\r(3))2＋2×(－eq\r(3))＝3－2eq\r(3).∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－eq\f(5,2)＋1＝－eq\f(3,2)，而－2<－eq\f(3,2)<2，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(9,4)－3＝－eq\f(3,4).(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去．当－2<a<2时，a2＋2a即a2＋2a∴(a－1)(a＋3)＝0，解得a＝1或a＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意．当a≥2时，2a－1＝3，即a综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2.1．分段函数求函数值的方法：(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤：(1)先对字母的取值范围分类讨论．(2)然后代入不同的解析式中．(3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．提醒：求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切记代入检验．1．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))则f(7)＝________.8[∵函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,ffx＋5，x<10，))∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.]分段函数的解析式【例2】如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为2eq\r(2)cm，当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积[思路点拨]可按点E所在的位置分E在线段AB，E在线段AD及E在线段CD三类分别求解．[解]过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2eq所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.(1)当点F在BG上，即x∈[0,2]时，y＝eq\f(1,2)x2；(2)当点F在GH上，即x∈(2,5]时，y＝eq\f(x＋x－2,2)×2＝2x－2；(3)当点F在HC上，即x∈(5,7]时，y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq\f(1,2)(7＋3)×2－eq\f(1,2)(7－x)2＝－eq\f(1,2)(x－7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2，x∈[0，2]，,2x－2，x∈2，5]，,－\f(1,2)x－72＋10，x∈5，7].))图象如图所示．1．当目标在不同区间有不同的计算表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．2．通过本例让学生初步尝试用分段函数解决实际问题的意识，培养学生的建模素养．2．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．[解]设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．由题意得函数的解析式如下：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤5，,3，5<x≤10，,4，10<x≤15，,5，15<x≤20.))函数图象如图所示：分段函数的图象及应用[探究问题]1．函数f(x)＝|x－2|能用分段函数的形式表示吗？能否作出其图象？提示：能．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥2，,2－x，x<2.))函数f(x)的图象如图所示．2．结合探究点1，你能说一下画含有绝对值的函数图象的方法吗？提示：含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．【例3】已知函数f(x)＝1＋eq\f(|x|－x,2)(－2<x≤2)．(1)用分段函数的形式表示f(x)；(2)画出f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域．[思路点拨](1)分－2<x<0和0≤x≤2两种情况讨论，去掉绝对值可把f(x)写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域．[解](1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋eq\f(x－x,2)＝1，当－2<x<0时，f(x)＝1＋eq\f(－x－x,2)＝1－x，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2，,1－x，－2<x<0.))(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．把本例条件改为“f(x)＝|x|－2”，再求本例的3个问题．[解](1)f(x)＝|x|－2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥0，,－x－2，x<0.))(2)函数的图象如图所示．(3)由图可知，f(x)的值域为[－2，＋∞)．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.1．分段函数是一个函数，而不是几个函数．2．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．3．分段函数的图象分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成．在同一直角坐标系中，根据分段函数每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象．【课堂达标】1．思考辨析(1)分段函数由几个函数构成．()(2)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1，,－x＋3，x>1))是分段函数．()[答案](1)×(2)√2．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤1，,\f(2,x)，x>1，))则f(f(3))＝()A.eq\f(1,5)B．3C.eq\f(2,3)D.eq\f(13,9)D[∵f(3)＝eq\f(2,3)≤1，∴f(f(3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＋1＝eq\f(13,9).]3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则其解析式为________．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))[当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，又过点(1,2)，故k＝2，∴f(x)＝2x；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2.))]4．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1.))(1)画出f(x)的图象；(2)求f(x)的定义域和值域．[解](1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x>1或x<－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．《分段函数》专题训练[合格基础练]一、选择题1．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋5，x≥4，,x－2，x<4，))则f(3)的值是()A．1B．2C．8D．9A[f(3)＝3－2＝1.]2．函数f(x)＝x＋eq\f(|x|,x)的图象是()ABCDC[当x>0时，f(x)＝x＋eq\f(x,x)＝x＋1，当x<0时，f(x)＝x－1，且x≠0，根据一次函数图象可知C正确．故选C.]3．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))的值域是()A．R B．[0,2]∪{3}C．[0，＋∞) D．[0,3]B[当0≤x≤1时，0≤2x≤2，即0≤f(x)≤2；当1<x<2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.综上可知f(x)的值域为[0,2]∪{3}．]4．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≤0，,x2，0<x≤3，))若f(x)＝3，则x的值是()A.eq\r(3) B．9C．－1或1 D．－eq\r(3)或eq\r(3)A[依题意，若x≤0，则x＋2＝3，解得x＝1，不合题意，舍去．若0<x≤3，则x2＝3，解得x＝－eq\r(3)(舍去)或x＝eq\r(3).故选A.]5．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水量不超过10立方米的，按每立方米m元收费；用水量超过10立方米的，超过部分按每立方米2m元收费．某职工某月缴水费16A．13立方米 B．14立方米C．18立方米 D．26立方米A[该单位职工每月