专题4.5 因式分解章末八大题型总结（拔尖篇）（浙教版）（解析版）

专题4.5因式分解章末八大题型总结（拔尖篇）【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用整体思想分解因式】 1【题型2利用拆项法分解因式】 6【题型3利用添项法分解因式】 8【题型4利用因式分解的结果求参数】 10【题型5利用因式分解进行有理数的简算】 12【题型6利用因式分解探究三角形形状】 14【题型7与因式分解有关的探究题】 16【题型8因式分解的应用】 22【题型1利用整体思想分解因式】【例1】（2024七年级下·山东东营·期中）[阅读材料]因式分解：x+解：将“x+y”看成整体，令x+再将“A”还原，原式=x上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法．[问题解决](1)因式分解：1+4x(2)因式分解：x2(3)证明：若n为正整数，则代数式n+1【答案】(1)1+2(2)x(3)见解析【分析】（1）用换元法设x-y=A，将原式化为1+4A+4A（2）设x2-6x=B（3）先计算n+1【详解】（1）解：令x-原式=1+4==1+2（2）令x2则x=====x（3）n===n∵n为正整数，∴n2∴n+1即代数式n+1【点睛】本题考查换元法、提公因式法、公式法分解因式，理解“换元法”的意义，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．【变式1-1】（2024七年级下·山西运城·期中）（1）2a（2）a-【答案】（1）3(a+b)(a【分析】（1）设A=2a+（2）设N=a-【详解】解：（1）设A=2则原式=A将A,B换回去得：原式=(3a=3(a（2）设N=则原式=N=N=(将N换回去得：原式=(【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法和“整体思想”是解题关键．【变式1-2】（2024七年级下·福建漳州·期中）(1)因式分解：x2(2)因式分解：x+(3)求证：多项式x+1【答案】(1)（1）x(2)x(3)见解析【详解】（1）解：解法一：设x2则原式=y====x方法二：设x2则原式======x（2）解：设x+则原式=======x（3）解：x=x设x2则原式====x∵x2∴x+1∴多项式x+1【点睛】本题主要考查了因式分解，正确理解题意是解题的关键．【变式1-3】（2024七年级下·河南洛阳·期中）整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．下面是对多项式(a2+2a)(a2+2a+2)+1进行因式分解的解题思路：将“a2+2a”解：设a2+2a=x=(=a问题：(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的结果；②请你模仿以上方法尝试对多项式a2(2)请你模仿以上方法尝试计算：(1-2-3-⋯-2023)×(2+3+⋯+2024)-(1-2-3-⋯-2024)×(2+3+⋯+2023)．【答案】(1)①该同学没有完成因式分解；最后的结果为(a+1)4(2)2024【分析】本题考查公式法分解因式，理解整体思想是解决问题的前提，掌握完全平方公式的结构特征和必要的恒等变形是正确解答的关键．（1）①根据因式分解的意义进行判断，再利用完全平方公式分解因式即可；②利用换元法进行因式分解即可；（2）设a=1-2-3-⋯-2023，x=2+3+⋯+2024，则原式【详解】（1）①该同学没有完成因式分解；设a2+2a=x=(=a==(∴最后的结果为(a②设a2原式==x===(（2）设a=1-2-3-⋯-2023，x则1-2-3-⋯-2023-2024=aa+原式===2024×2025-=2024×(2024+1)-==2024．【题型2利用拆项法分解因式】【例2】（2024七年级下·山东济宁·期中）观察下面因式分解的过程：x===上面因式分解过程的第一步把2x2拆成了(1)a2(2)x4【答案】(1)a(2)x【分析】本题考查因式分解，理解题中拆项法是解答的关键．（1）将-8拆成1-9（2）将-23x2【详解】（1）解：a=====a（2）解：x====x【变式2-1】（2024七年级下·陕西榆林·期中）(1)分解因式：x2(2)分解因式：a2【答案】(1)x(2)a【分析】（1）将5拆解成9-4，再根据完全平方公式得x-（2）将-5b2拆解成4【详解】（1）原式=x2-6x+9-4（2）原式=a2+4ab+4b【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题时要注意在变形的过程中不要改变式子的值．【变式2-2】（2024七年级下·黑龙江鸡西·期中）（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；（2）分解因式：a2＋4ab﹣5b2【答案】（1）(x+1)(x－7)；（2）(a+5b)(a－b)【分析】（1）仿照例题方法分解因式即可；（2）仿照例题方法分解因式即可；【详解】解：（1）x2﹣6x﹣7=x2﹣6x+9－16=（x－3）2－42=（x－3+4）(x－3－4)=(x+1)(x－7)；（2）a2＋4ab﹣5b2=a2＋4ab+4b2﹣9b2=（a+2b）2－(3b)2=（a+2b+3b）(a+2b－3b)=(a+5b)(a－b)．【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式、平方差公式，熟记公式，理解题中的分解因式方法并能灵活运用是解答的关键．【变式2-3】（2024七年级下·上海嘉定·期中）把多项式x4【答案】x【分析】把原式中的第二项的系数3变为4-1，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写成平方形式，然后再利用平方差公式即可分解因式．【详解】解：x===x【题型3利用添项法分解因式】【例3】（2024七年级下·山西·期中）阅读与思考在因式分解中，有些多项式看似不能分解，如果添加某项，可以达到因式分解的效果，此类因式分解的方法称之为“添项法”．例如：a4参照上述方法，我们可以对a3a任务：(1)请根据以上阅读材料补充完整对a3(2)已知a＋b＝2，ab＝－4，求a3【答案】(1)a(2)a【分析】（1）在题干的基础上再提取公因式a+（2）由（1）可知求出a2-ab+b2的值即可求出a3+b3的值．将【详解】（1）a===a=a（2）∵a===16∴a3【点睛】本题考查因式分解，代数式求值．读懂题干，理解题意，掌握因式分解的方法是解题关键．【变式3-1】（2024七年级·全国·合肥期中）将下列式子因式分解：x【答案】（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）【分析】运用添项法因式分解，根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解；【详解】解：x4+4y4＝x4+4x2y2+4y2﹣4x2y2，＝（x2+2y2）2﹣4x2y2，＝（x2+2y2+2xy）（x2+2y2﹣2xy）；【点睛】本题考查了添项法因式分解，理解完全平方公式和平方差公式是解答关键．【变式3-2】（2024七年级下·甘肃兰州·期中）分解因式：-2【答案】x【详解】解：x====x【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知乘法公式分解因式是解题的关键．【变式3-3】（2022·广西柳州·七年级期中）分解多项式a5-1【答案】a【分析】直接根据添项方法进行因式分解即可．【详解】解：a===a故答案为：a【点睛】本题考查添项法对多项式进行因式分解，解题的关键是熟练运用提公因式法，也考查了学生的观察能力和整体思想．【题型4利用因式分解的结果求参数】【例4】（2024七年级下·浙江宁波·期中）因为x2+2x-3=x+3x-1，这说明多项式x2利用上述阅读材料求解：(1)若x+3是多项式x2+(2)若x-3和x-4是多项式x3(3)在（2）的条件下，把多项式x3【答案】(1)k(2)m=-7，(3)x【分析】（1）将x=-3代入多项式并使多项式等于0，求k（2）将x=3和x=4分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，求m，（3）将（2）中解得的m，n的值代入多项式，然后进行因式分解即可．【详解】（1）解：∵x+3是多项式x∴当x=-3时，x2+（2）∵(x-3)和(∴33+m∴m=-7，n（3）解：由（2）得x3+m∴x==x【点睛】本题考查因式分解的创新应用，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键．【变式4-1】（2024七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的二次三项式x2-mx+n可分解为x【答案】9【分析】把x+2x-3展开，求出【详解】解：∵x∴x2∴m=1，∴3m故答案为：9．【点睛】本题考查了整式的乘法和因式分解，解题关键是熟练运用整式乘法法则进行计算．【变式4-2】（2023七年级下·江苏·专题练习）已知多项式x4+mx+n能分解为(x2【答案】-2；7【分析】把x2+px+qx2【详解】解：∵x===x4∴展开式乘积中不含x3、x∴p+2=0q+2故答案为：-2，7【点睛】本题考查了整式乘法的运算、整式乘法和因式分解的关系，将结果式子运用整式乘法展开后，抓住“若某项不存在，即其前面的系数为0”列出式子求解即可．【变式4-3】（2024七年级下·江苏苏州·期中）已知多项式x2+kx+36能分解为两个整系数一次式的乘积，则A．10 B．8 C．5 D．4【答案】A【分析】设x2+kx+36能分解成x+【详解】设x2+kx+36=则p∴∴共10个故选A【点睛】本题考查了因式分解，整式的乘法，掌握之间的关系是解题的关键．【题型5利用因式分解进行有理数的简算】【例5】（2024七年级下·上海青浦·期中）用简便方法计算：20202【答案】2021．【分析】此题考查了因式分解的应用，先设2020=a【详解】解：设2020=a则原式=a=a=a∴原式=2020+1=2021．【变式5-1】（2024七年级下·重庆·期中）简便计算：(1)9999×10001-10000(2)999992【答案】(1)-(2)10000000000【分析】本题考查了因式分解的应用，平方差公式．（1）利用平方差公式进行计算，即可解答；（2）利用因式分解进行计算，即可解答．【详解】（1）解：原式===-1；（2）解：原式==99999×=99999×100000+100000=100000×=100000×100000=10000000000．【变式5-2】（2024七年级下·山东烟台·期中）下列算式不正确的是（

）A．999×1001=1000-1×1000+1C．257-5【答案】D【分析】本题主要考查了运用平方差公式和完全平方公式进行简便运算，灵活运用平方差公式和完全平方公式是解答本题额关键．【详解】解：A、999×1001=1000-1B、802C、257D、1992故选：D．【变式5-3】（2024七年级下·四川遂宁·期中）已知P=999999，Q=11A．P>Q B．P<Q C【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用，以及积的乘方逆用，根据作差法比较两个数的大小即可．【详解】解：P====-10×∴P故选：B．【题型6利用因式分解探究三角形形状】【例6】（2024七年级下·山东泰安·阶段练习）已知a,b,c【答案】见解析【分析】可将题目所给的关于a、b、c的等量关系式进行适当变形，转换为几个完全平方式，然后根据非负数的性质求出a、b、c三边的数量关系，进而可判断出△ABC【详解】解：∵a∴2a∴(a∴(∴a-b=0，∴a∴△ABC【点睛】本题考查了配方法的应用，关键是对要求的式子进行变形和因式分解，将已知的等式转化为偶次方的和，根据非负数的性质解答．【变式6-1】（2024七年级下·福建福州·期中）已知△ABC的三边a，b，c满足ba-b+A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解．先提取公因式，得到b-ca-b=0，进而得出【详解】解：∵ba∴ba∴b-c=0∴b=c或∴△ABC故选：B．【变式6-2】（2024七年级下·四川内江·阶段练习）若a、b、c是△ABC的三边，且满足b2+bc-ba-A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】D【分析】根据b2+bc-ba-ca=0，a2+ab-cb【详解】解：∵b2+∴(b+c又∵a、b、c是△∴b+c∴b-a∴b=a∴a∴该三角形是等边三角形，故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是能够对题目提供的式子进行因式分解【变式6-3】（2024七年级下·重庆北碚·期中）已知△ABC三边长a、b、c【答案】△ABC【分析】根据分组分解法对式子进行因式分解，即可判断．此题考查了因式分解的应用、等腰三角形的定义等知识，利用因式分解对原式进行变形是解题的关键．【详解】解：∵3a∴3a∴3a∴a∵a，b，c是△ABC∴3a∴a-∴a=∴△ABC【题型7与因式分解有关的探究题】【例7】（2024七年级下·山东淄博·期中）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，两个正整数为它的“智慧分解”．例如，因为16=52-32，所以16就是一个智慧数，而5和3小颖的方法是通过计算，一个个罗列出来：3=22-12，5=3小明认为小颖的方法太麻烦，他想到：设两个数分别为k+1，k，其中k≥1，且则(k(1)根据上述探究，可以得出：除1外，所有都是智慧数，并请直接写出11，15的智慧分解；(2)继续探究，他们发现8=32-12，12=42-2(3)根据以上所有探究，请直接写出第2023个智慧数，以及它的智慧分解．【答案】(1)奇数，11的智慧分解：5、6，15的智慧分解：7、8(2)见解析(3)第2023个智慧数是2700，2700＝6762﹣6742＝（676+674）（676﹣674）【分析】（1）由小明的探究可得，2k+1(k≥1，且为整数）是除1外，所有的奇数．根据探究可求得（2）借助小明的探究思路，可证猜想；（3）根据探究，前四个正整数只有3是智慧数，后面的正整数每连续四个中就有三个是智慧数，由此可得第2023个智慧数．【详解】（1）解：∵(k+1)∴智慧数是除1外所有的奇数，(5+1)2(7+1)2故答案为：奇数，11的智慧分解：5、6，15的智慧分解：7、8；（2）证明：设k≥2，且k∵8=32-∴(∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．∴4k(k（3）解：据探究得，智慧数是奇数时k≥1，且k为整数，智慧数是4的倍数时，k≥2且∴正整数中前四个正整数只有3为智慧数，此后每连续四个数中有三个智慧数，(2023-1)÷3=674，4×(674+1)=2700，∴第2023个智慧数是2700，∵2700能被4整除，∴2700=676【点睛】本题考查了对因式分解的推理，掌握对因式分解的反推是本题的关键．【变式7-1】（2024七年级下·吉林长春·期中）探究题:(1)问题情景：将下列各式因式分解，将结果直接写在横线上：x2+6x+9=__________；x2(2)探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现：62=4×1×9；(-4)2归纳猜想：若多项式ax2+bx+c(a>0,(3)验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并用此式验证你猜想的结论．(4)解决问题：若多项式(n+1)x【答案】(1)x+32；x(2)b(3)见解析(4)n【分析】（1）可用完全平方公式进行分解因式；（2）根据问题情境，式子中的系数关系，可猜想b2（3）可用完全平方公式进行验证；（4）多项式ax2＋bx＋c（a＞0）是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为b2＝4ac，可列[−（2n＋6）]2＝4（n＋1）（n＋6），进而求出n的值．【详解】（1）解：x2x24x故答案为：x+32；x-（2）由情境中给的式子系数关系，可归纳猜想：b2故答案为：b2（3）验证结论：可用x2＋4x＋4，验证：∵b2＝42＝16，4ac＝4×1×4＝16，∴b2（4）根据题意可得：-444n【点睛】本题主要考查了学生的归纳总结能力和完全平方公式的综合应用，以及对因式分解的理解和应用，综合性较强．【变式7-2】（2024七年级下·湖南长沙·期中）阅读理解并填空：(1)为了求代数式x2+2x若x=1，则这个代数式的值为________﹔若x=2，则这个代数式的值为_______可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围．(2)把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题．例如：x2+2x+3=x2+2x+1+2=(3)求代数式-x2-(4)试探究关于x、y的代数式5x2-4xy【答案】(1)6，11(2)2，-(3)代数式-x2-6x+12(4)代数式5x2-4xy+【分析】（1）把x=1和x=2分别代入代数式（2）根据非负数的性质即可得出答案；（3）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案；（4）先把代数式化成完全平方的形式，再根据非负数的性质求出最小值及此时x、y的值．【详解】（1）解：把x=1代入x2+2若x=2，则这个代数式的值为2故答案为：6，11；（2）解：根据题意可得：x2∵x∴这个代数式x2+2x+3的最小值是2，相应的故答案为：2，-1（3）解：根据题意得：∴-x∴代数式-x2-6x+12的最大值是（4）解：代数式5x2-4xy+y5=4=2∵2x-当2x-y=0，相应的x=-3，y【点睛】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的性质进行解答．【变式7-3】（2024七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在学习《因式分解》）时，邹老师给同学们发了很多硬纸片(a×a的正方形A，b×b的正方形B

(1)在探究中，小明用1张A和1张C组成如图1所示的长方形可以说明a2+ab

(2)继续探究中，小明用1张A，2张B和3张C再次拼得一个长方形，请在框1中画出示意图，并将长方形面积表达式的因式分解结果写在横线上(3)尝试应用：请你仿照小明同学的探究方法，尝试用1张A，4张B和若干张C拼成一个长方形或者正方形，请你设计两种不同的拼法，在框2和框3中分别画出示意图，并在相应的横线上写出所拼长方形的面积表达式及因式分解的结果．

【答案】(1)a((2)a2(3)a2+5ab【分析】（1）根据这个图形的面积有直接求和间接求两种方法，即可写出分解因式的结果．（2）先画出图形，再根据面积法写出分解因式的结果．（3）先画出图形，再根据面积法写出分解因式的结果．【详解】（1）由图知长方形的面积还可表示为a(a+b)故答案为：a（2）如图1张A，2张B和3张C可拼成一个长方形，

由此得a2故答案为：(a（3）如图，用1张A，4张B，5张C可拼成一个长方形，

由此可得a2如图，用1张A，4张B，4张C可拼成一个正方形，

由此可得a2故答案为：a2+5ab【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用面积法写出一个多项式因式分解的结果，能够正确的列出等式是解题的关键．【题型8因式分解的应用】【例8】（2024七年级下·湖北恩施·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4-y4，因式分解的结果是x-yx+yx2+y2，若取x=9，y=9，则各个因式的值是：A．528024 B．522824 C．248052 D．522480【答案】B【分析】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．先提公因式x，然后根据平方差公式因式分解，进而代入字母的值即可求解．【详解】解：∵x==x∵x=52，y=28，则各个因式的值为x=52，x∴产生的密码不可能是522824，故选：B．【变式8-1】（2024七年级下·湖南湘西·期中）如图，某养鸡场老板准备用20米的篱笆围成一个边长为a、b的长方形场地，已知a2b+A．32 B．24 C．16 D．12【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用．由题意得a+b=10【详解】解：由题意得a+b=∴aba解得ab=24∴个长方形场地的面积为24平方米．故选：B．【变式8-2】（2024七年级下·吉林·期中）如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2