数系的扩充与复数的引入高考数学总复习高中数学课时训

数系的扩充与复数的引入

----—自主学习

Q基础自测

1.（2008•浙江理）已知a是实数，W是纯虚数，则2=.

答案1

2.（2009•海安高级中学高三第四次检测）已知meR,复数工=则"二（m2+2m-3）i,若z对应的点位

m-1

于复平面的第二象限，则m的取值范围是.

答案m<-3或l<m<2

3.满足条件z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹方程是.

答案x、yz=25

4.（2008•辽宁理）复数的虚部是______.

-2+i1-2i

答案I

5.设Z为复数z的共轲复数，若复数z同时满足z-5=2i,5=iz^Uz=.

答案-1+i

—典例剖析♦一

2

例1已知复数z=^~7。+6+（a.-5a-6）i（a£R）,

a2-l

试求实数a分别取什么值时，z分别为：

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.

解（1）当z为实数时，

a2-5a-6=0

则有2

a-7a+6有意义'

a2-l

..」"=-1或"=6,.*6,即a=6时，z为实数.

(2)当z为虚数时,

则有a2-5a-6^0且‘厂丁+6有意义，

a2-1

1•aWT且a#6且aH±1..•.aW±l且aW6.

・・・当aC(-oo,-l)U(-1,1)U(1,6)U(6,+8)时，z为虚数.

a2-5。-6w0

（3）当z为纯虚数时，有a2-la+6_*

-----------=U

.{aw-1且aw6

=6

・•・不存在实数a使z为纯虚数.

例2已知x,y为共扼复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y.

解设x=a+bi(a,b£R),则y=a-bi,

x+y=2a,xy二a'+b；

代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,

4a2=4

根据复数相等得

-3(a2+/?2)=-6

a=1ta-1分

解得或或

b=\b1

x=1-i

故所求复数为

y=1+i

x=—14-i1、x=-1-i

或或

y-1-iy=-1+i

例3计算:

(1)(-l+i)(2+i)(1+2i)2+3(l-i)

⑵

i32+i

1-i1+i1-V3i

⑶x(4)

(1+i)2(1-i)2（再旬2,

(-l+i)(2+i)W=T-3i.

解(1)

i3

(l+2i)2+3(l-i)_-3+4i+3-3i

⑵

2+i2+i

i,i(2-i)_1^2.

2+i555

1—i1+i1—i1+i

(3)------+------=——+——

(1+i)2(1-i)221-2i

⑷"6_（七+』-i）_-i

（百+i）2（4+产V3+i

_（-i）（V3-i）__l_V3

444

例4（14分）如图所示，平行四边形OABC,顶点0,A,C分别表示0,3+2i,-2+4i,

试求：

（1）AO,前所表示的复数；

（2）对角线石所表示的复数；

（3）求B点对应的复数.

解(1)73=-苏，.•.尉所表示的复数为-3-2i.3分

:反^=73,.•.正所表示的复数为-3-2i.6分

(2)不=苏-5?,二3所表示的复数为

(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.9分

(.3)OB=OA+AB=OA+OC,

...而表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=l+6i,

即B点对应的复数为l+6i.14分

----—知能迁移一

1.已知m€R,复数z=机("'-2)+(m%2m-3)i,当m为何值时,(1)zdR；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点

in-1

位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线x+y+3=0上.

解(1)当z为实数时，则有m'+2m-3=0且mTWO

得m=-3,故当四二-3时，z£R.

-------=U

(2)当z为纯虚数时，则有(m-\

机2+2m-3工0.

解得m=0,或m=2.

・••当HFO或m=2时，z为纯虚数.

(3)当z对应的点位于复平面第二象限时，

"7(*2).0

则有，m—\

w2+2w-3>0.

解得mV-3或lVmV2,故当mV-3或1VmV2时，z对应的点位于复平面的第二象限.

(4)当z对应的点在直线x+y+3=0上时，

则有型上工1+(-2+2口-3)+3=0,

tn-1

2

得，"("+2〃L4)R,解得mR或1n=-1土石.

m—\

...当m=0或M=T土石时，z对应的点在直线x+y+3=0上.

2

2.已知复数Zi=m+(4-m)i(mGR),Zz=2cos夕+(4+3sin夕)i(2eR).若zi=z2,求4的取值范围.

2

解Vzi=z2,/.m+(4~m)i=2cos^+(2+3sin0)i,

tn=2cos0

{42=4+3sin。

2=4-m2-3sin0=4-4cos20-3sin0

a9

=4sin"0-3sin^=4(sin)2--,

816

二一lWsineWl,

39

•••当sin夕=一时，A,ain=——；当sin。——1时，A,所『7,

816

9

，二W4W7.

16

3.计算下列各题

(1)(—+」i)3(4+5i)

(5-4iXl-i)

解⑴(■+li)3(4+5i)_2后(l+i)3i(5-4i)

(5-4iXl-i)(5-4i)(l-i)

=2技1+=拒i(1+j)，=五i[(1+i)2]2

2

=71i(2i)J拉i.

⑵-26+i/拉Y°°)i(l+2国力也丫

=i+px251>.3=i+i3=i_i=0

4.已知关于x的方程(6+i)x+9+ai=0(aeR)有实数根b.

(1)求实数a,b的值；

(2)若复数z满足|Z-a-bi|-2|z|=0,求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.

解(1)：b是方程X?-(6+i)x+9+ai=0(a£R)的实根,

(b2-6b+9)+(a-b)i=0,

故产-6b+9=0解得@巾=3.

\a=b

(2)设z=x+yi(x,y£R),

由Iz-3-3i|=2|z|,

得(x-3)2+(y+3)2=4(x2+y2),

即(x+1)2+(y-1)2=8.

・・・Z点的轨迹是以Q(-1,1)为圆心，2贬为半径的圆.

如图，当Z点在0(1的连线上时，z|有最大值或最小值.

,.-100.1=72,半径r=2亚，

・•・当Z=l-i时，Z|有最小值且|z|nin=V^.

活页作业

一、填空题

1.（2008•天津理）i是虚数单位，匚出工=

i-1----------------------

答案T

2.（2008•广东文）已知0VaV2,复数z=a+i（i是虚数单位），则|z的取值范围是.

答案（1,石）

3.（2008•山东文）设z的共轨复数是若z+5=4,z•z=8,则三=.

Z

答案士i

4.若（a-2i）i=b-i,其中a、bdR,i是虚数单位，则/+b三.

答案5

5.在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是l+2i,-2+i,0,则第四个顶点对应的复数

为.

答案T+3i

6.设a是实数，且，是实数，则@=

1+i2----------

答案1

7.（2008•北京理，9）已知（a-i），=2i,其中i是虚数单位，那么实数2=.

答案T

8.（2008•湖北理,11）设z,是复数，z尸（其中一表示z,的共聊复数），已知z2的实部是-1,则4

的虚部为.

答案1

二、解答题

9.已知z2=8+6i,求z3-16z--^.

解原式=Z416Z2-1QQ=①-8）2-]64=⑹9-164

ZZZ

=--200,=-2..0..0..z...=-_2_0_0_z_

Z五国2'

z|2=z1=|8+6i|=io,又由d=8+6i=[±（3+i）]2,

.♦.z=±（3+i）,当z=3+i时，原式=-60+20i：

当z=-3-i时，原式=60-20i.

10.已知z是复数，z+2i、=均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象

2-1

限，求实数a的取值范围.

解设z=x+yi（x、y£R）,

.*.z+2i=x+（y+2）i,由题意得y=-2.

—=^21=-（x-2i）（2+i）

2-i2-i5

=-（2x+2）+-（x-4）i.

55

由题意得x=4,.*.z=4-2i.

A（z+ai）2=（12+4a-a2）+8（a-2）i,

由于（z+aiT在复平面对应的点在第•象限，

所以2+4。-滔>0,解得2VaV6,

[8(a-2)>0

・・・实数a的取值范围是(2,6).

11.是否存在复数z,使其满足2・z+2i5=3+ai(a£R),如果存在，求出z的值；如果不存在，说明理由.

解设z=x+yi(x,yGR),则/+/+21(x-yi)=3+ai.

.Jx2+y2+2y=3

，9[2x=a

2

消去x得y2+2y+g--3=0,A=16-a2.

4

当且仅当a|W4时，复数z存在，

2

11na2±\16-«.

此时z=—-------------------1.

22

12.设z