备战高考数学一轮复习讲义第23讲

第23讲解三角形A组夯基精练一、单项选择题(选对方法，事半功倍)1.某学生在“捡起树叶树枝，净化校园环境”的志愿活动中拾到了三支小树枝(视为三条线段)，想要用它们作为三角形的三条高线制作一个三角形．经测量，其长度分别为3cm,4cm,6cm，则()A.能作出二个锐角三角形B.能作出一个直角三角形C.能作出一个钝角三角形D.不能作出这样的三角形2.已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为()A.10km B.10eq\r(,3)kmC.10eq\r(,5)km D.10eq\r(,7)km3.(2022·济南期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知eq\f(2b－c,a)＝eq\f(cosC,cosA)，a＝3，则角A的大小为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6) D.eq\f(2π,3)4.圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，如图(1)，它包括一根直立的标竿(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺(称为“圭”)．当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．如图(2)是一个根据某地的地理位置设计的圭表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角(即∠ABC)大约为15°，夏至正午时太阳高度角(即∠ADC)大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即DB的长)为a，则表高(即AC的长)为() 图(1) 图(2)(第4题)A.(2－eq\r(3))a B.eq\f(3＋\r(3),4)aC.eq\f(\r(3)－1,4)a D.eq\f(3－\r(3),4)a二、多项选择题(练—逐项认证，考—选确定的)5.一艘轮船航行到A处时看灯塔B在A的北偏东75°，距离12eq\r(,6)nmile，灯塔C在A的北偏西30°，距离为12eq\r(,3)nmile，该轮船由A沿正北方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏东60°方向，下面结论正确的是()A.AD＝24nmileB.CD＝12nmileC.∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D.∠CDA＝60°6.(2022·苏州模拟)在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，下列选项正确的是()A.若|a|>|b|，则sinA>sinBB.若a·b>0，则△ABC为锐角三角形C.若a·b＝0，则△ABC为直角三角形D.若(b＋c－a)·(b＋a－c)＝0，则△ABC为直角三角形三、填空题(精准计算，整洁表达)7.(2022·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a＝eq\r(5)c，cosC＝eq\f(3,5)，则sinA的值为________，若b＝11，则△ABC的面积为________．8.(2022·邯郸二模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边BC上，且sin∠BAD＝2sin∠CAD，BD＝CD，则eq\f(b,c)的值为______．9.(2022·南通如皋模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＝eq\f(π,4)，a＝2,2abcosC＝(c＋a－b)(c－a＋b)，则C＝______；△ABC的面积为______．四、解答题(让规范成为一种习惯)10.(2022·惠州一模)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,1－cos2B＝cos(A－C)＋cosB，且eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).(1)求证：b2＝ac；(2)当BD＝b时，求cos∠ABC的值．11.如图，四边形ABCD的四个顶点在同一个圆上，已知cosB＝－eq\f(4,5)，AD＝BC＝3，CD＝5.(1)求边AB的长；(2)设∠BAC＝α，∠ACB＝β，求sin(2α＋β)的值．(第11题)B组滚动小练12.若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1<x<2}，则不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c<2ax的解集为()A.{x|－2<x<1} B.{x|x<－2或x>1}C.{x|x<0或x>3} D.{x|0<x<3}13.(2023·镇江期初)日常生活中的饮用水是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)约为c(x)＝eq