人教版九年级数学上册专题07圆中的重要模型-圆中的外接圆和内切圆模型(原卷版+解析)

专题07.圆中的重要模型--圆中的内切圆和外接圆模型模型1、内切圆模型【模型解读】内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。【常见模型及结论】1）三角形的内切圆模型条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。图1图2图32）直角三角形的内切圆模型条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=；3）四边形的内切圆模型条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。结论：。例1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，分别交于D，E两点，则的长为．（结果用含的式子表示）例2．（2022秋·安徽·九年级统考期末）如图，在中，，过点作于点D，P是内一点，且，连接交于点，若点恰好为内心，则的度数为（

）A．36° B．48° C．60° D．72°例3．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是．

例4．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，点是的内心，，，，，则的半径为．

例5．（2023·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若，，则的值是．例6．（2023·成都市九年级期中）如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（

）

A． B． C． D．例7．（2023·四川宜宾·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝．例8．（2023·广东东莞·九年级校考期中）如图，在内切圆半径为1的直角三角形ABC中，，，内切圆与BC边切于点D，则A到D的距离AD（

）A． B． C． D．模型2、多边形的外接圆模型【模型解读】外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。【常见模型及结论】1）三角形的外接圆模型条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。结论：①OA=OB=OC；②。图1图2图32）等边三角形的外接圆模型条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；3）四边形的外接圆模型条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。结论：①；；②。例1．（2023·黑龙江·校联考模拟预测）△ABC中，∠A＝80°，点M是△ABC的外心，点N是△ABC的内心，连接BM，CM，BN，CN，则∠BMC与∠BNC的差为（）A．30° B．35° C．40° D．45°例2．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，点O，I分别是锐角的外心、内心，若，则的度数为．例3．（2023·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，则⊙O的半径为.例4．（2022春·江苏·九年级期末）中，，，点I是的内心，点O是的外心，则．例5．（2023.广东九年级期中）如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．例6．（2023湖北省荆门市九年级上期中）如图，、、、是上的四个点，．(1)判断的形状，并证明你的结论；(2)探究、、之间的数量关系，并证明你的结论．例7．（2023广东中考模拟）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．（1）求∠BPC的度数；（2）求证：PA=PB+PC；（3）设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度．课后专项训练1．（2023·湖北恩施·九年级统考期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（

）A．10 B．10 C．14 D．162．（2023春·湖北九年级课时练习）已知的内切圆的半径为，且，的周长为16，则的长为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．将再次折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，，交于点．则以下结论一定成立的是（

）A． B．C．点到三边的距离相等 D．点到三个顶点的距离相等4．（2022春·绵阳市九年级课时练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（

）A．64° B．120° C．122° D．128°5．（2023·山西太原·校考模拟预测）如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为()A． B． C． D．6．（2023·河北邢台·九年级校考阶段练习）如图，在中，点为的内心，点在边上，且⊥，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．7．（2023春·湖北九年级期中）点I是的内心，若，则的度数为（）A． B． C． D．或8．（2023·重庆九年级期中）已知三角形三边长分别为5cm、5cm、6cm，则这个三角形内切圆的半径是（）A．cm B．cm C．2cm D．3cm9．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，10．（2023·山东·九年级专题练习）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，若，点E为弦的中点，连接，若，则的长为（）A．5 B． C．4 D．11．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，交于点，若，则的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．812．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中，，BC＝6，AC．I是△ABC的内心，则线段OI的值为（）A．1 B． C． D．13．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝80°，则∠D的度数是（

）A．60° B．65 C．70° D．75°14．（2023·江苏九年级课时练习）已知等腰直角三角形外接圆半径为5，则内切圆半径为（）A．5+5 B．12﹣5 C．5﹣5 D．10﹣1015．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．16．（2023·山东九年级月考）如图，是的内切圆，切点分别为点、、，设的面积、周长分别为、，的半径为，则下列等式：①；②；③；④，其中成立的是（填序号）17．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为.18．（2023·广东·九年级专题练习）已知，点为的外心，点为的内心．（1）若，则；（2）若，则．19．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为．

20．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．(1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心．21．（2023浙江年级上期中）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点则四边形叫做的外切四边形．（1）如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想：(横线上填“>”，“<”或“=”)；（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；（3）用文字叙述上面证明的结论：；（4）若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长．22．（2023·福建泉州·统考二模）如图，在中，点I是的内心．(1)求作过点I且平行于的直线，与分别相交于点D，E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)若，，，求的长．

23．（2023·山东·九年级专题练习）如图所示，在中，（1）求.（2）求内切圆半径.24．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，以为直径的半圆O交于点D．(1)尺规作图：过点D作半圆O的切线，交于点E；(2)求证：；(3)若，，求半圆O的半径长．25．（2023.山东九年级期中）探究问题：

(1)阅读理解：①如图A，在所在平面上存在一点P，若它到三个顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离．②如图B，若四边形的四个顶点在同一个圆上，则有，此为托勒密定理．知识迁移：①请你利用托勒密定理解决如下问题：如图C，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图D，在的外部以为一边作等边及其外接圆；第二步：在上任取一点，连接．易知________；第三步：请你根据（1）①中定义，在图D中找出的费马点P，则线段______的长度即为的费马距离．(2)知识应用：今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到该市某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图E所示的（其中，均小于），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．26．（2023江苏盐城九年级月考）探究题(1)知识储备：①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的弧BC上任意一点．求证：PB+PC=PA．②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．(2)知识迁移：我们有如下探寻△ABC(其中∠A，∠B，∠C均小于120°)的费马点和费马距离的方法：如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据(1)的结论，易知线段____的长度即为△ABC的费马距离．(3)知识应用：①如图3所示的△ABC（其中均小于），，现取一点P，使点P到三点的距离之和最小，求最小值；②如图4，若三个村庄构成Rt△ABC，其中．现选取一点P打水井，使P点到三个村庄铺设的输水管总长度最小，画出点P所对应的位置，输水管总长度的最小值为________．（直接写结果）

专题07圆中的重要模型--圆中的内切圆和外接圆模型模型1、内切圆模型【模型解读】内切圆：平面上的多边形的每条边都能与其内部的一个圆形相切，该圆就是该多边形的内切圆，这时称这个多边形为圆外切多边形。它亦是该多边形内部最大的圆形。内切圆的圆心被称为该多边形的内心。三角形内切圆圆心：在三角形中，三个角的角平分线的交点是内切圆的圆心，圆心到三角形各个边的垂线段相等。正多边形必然有内切圆，而且其内切圆的圆心和外接圆的圆心重合，都在正多边形的中心。【常见模型及结论】1）三角形的内切圆模型条件：如图1，⊙O为三角形ABC的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=。图1图2图32）直角三角形的内切圆模型条件：如图2，⊙O为Rt的内切圆（即O为三角形ABC的内心），⊙O的半径为r。结论：①点O到三角形ABC的三边距离相等；②；③r=；3）四边形的内切圆模型条件：如图3，⊙O是四边形ABCD的内切圆。结论：。例1．（2023·黑龙江鸡西·校考三模）如图，在中，，半径为的是的内切圆，连接，分别交于D，E两点，则的长为．（结果用含的式子表示）【答案】【分析】根据内切圆圆心是三角形三条角平分线的交点，得到的大小，然后用弧长公式即可求解．【详解】∵内切圆圆心是三条角平分线的交点，∴；设，，在中：，在中：，由①②得：，故答案为：．【点睛】本题考查内心的性质，求弧长；解题关键是根据角平分线算出的度数．例2．（2022秋·安徽·九年级统考期末）如图，在中，，过点作于点D，P是内一点，且，连接交于点，若点恰好为内心，则的度数为（

）A．36° B．48° C．60° D．72°【答案】C【分析】根据内心定义可知，，分别是，，的角平分线，推导出，由等腰三角形三线合一的性质可得，由全等三角形的判定及其性质可得,，继而可得，，进而即可求解．【详解】∵点恰好为内心，∴，，分别是，，的角平分线，∴，又，∴，∴，∴，∵，于点D，∴点是的中点，，又，，∴,∴，又，∴，又，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查三角形内心的定义及其性质，全等三角形的判定及其性质、等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学知识点．例3．（2023秋·河南漯河·九年级统考期末）如图，是的内切圆，切点分别为，且，，，则的半径是．

【答案】1【分析】先根据勾股定理求出，由切线长定理得，，，设，则，，然后根据，求解即可．【详解】解：在中，∵，，，∴，∵为的内切圆，切点分别为D，E，F，∴，，，如图，连接，，

∵为的内切圆，∴，∴，∴四边形是正方形，设，则，，∵，∴，∴，则的半径为1．故答案为：1．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，勾股定理，正方形的判定与性质，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握切线长定理．例4．（2023秋·辽宁葫芦岛·九年级统考期末）如图，点是的内心，，，，，则的半径为．

【答案】【分析】过O作交于E，设，在和中，运用勾股定理即可解答；【详解】过O作交于E，设

点是的内心，，，在中，由勾股定理可得：在中，由勾股定理可得：故解得故故答案为【点睛】该题考查了角平分线的性质，勾股定理，圆的基本性质，解答该题的关键是掌握该部分知识点．例5．（2023·江苏南京·九年级校联考阶段练习）如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线．若，，则的值是．【答案】9【分析】根据切线长定理，可得，由此即可解决问题．【详解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，∴可以假设切点分别为E、H、G、F，∴，∴，∵，，∴，故答案为：9．【点睛】本题考查了切线长定理，考查了数学运算能力．例6．（2023·成都市九年级期中）如图，是的内切圆，、、为切点，，，，切交于，交于，则的周长为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用切线长定理得到等边，再利用给出的三条边长，设未知数列方程组，计算出边长，再利用等边换边得到的周长．【详解】是的内切圆,、、是的切线，又切于点K，、、、、，

的周长为：设，，，则、、，解得，的周长为：．故选D．【点睛】本题考查切线长定理及边长的计算，需要理清目标和条件，正确且有条理的计算是解题的关键．例7．（2023·四川宜宾·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，一直线l经过点M（，1）与x轴、y轴分别交于A、B两点，且MA＝MB，可求得△ABO的内切圆⊙O1的半径r1＝﹣1；若⊙O2与⊙O1、l、y轴分别相切，⊙O3与⊙O2、l、y轴分别相切，…，按此规律，则⊙O2014的半径r2014＝．【答案】【分析】连接OO1、AO1、BO1，作O1D⊥OB于D，O1E⊥AB于E，O1F⊥OA于F，将三角形ABO分解成三个三角形，再根据三个三角形的面积之和等于△ABO的面积，即可得出半径的值，再根据题意依次列出⊙O2，⊙O3…的半径大小，找出规律即可．【详解】连接OO1、AO1、BO1，作O1D⊥OB于D，O1E⊥AB于E，O1F⊥OA于F，如图所示：则O1D＝O1E＝O1F＝r1，∵M是AB的中点，∴B（0，2），A（2，0），则S△OO1B＝×OB×r1＝r1，S△AO1O＝×AO×r1＝r1∵S△AOB＝S△OO1B+S△AO1O+S△AO1B＝∴同理得：…∴依此类推可得：⊙O2014的半径r2014＝故答案为【点睛】本题考查的是三角形的内切圆、勾股定理、规律型，解此类题目时要根据题意列出等式，适当地对图形进行分解，总结出规律是解题的关键．例8．（2023·广东东莞·九年级校考期中）如图，在内切圆半径为1的直角三角形ABC中，，，内切圆与BC边切于点D，则A到D的距离AD（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】取内切圆的圆心O，连接圆心与切点，由，可得∠BAC=60°，再根据内切圆的圆心的是三角形三条角平分线的交点，可知∠OAE=30°，从而得到AE=，CE=1，CD=1，再用勾股定理即可求解．【详解】解：取内切圆的圆心O，与AC，AB的切点E、F，连接OD、OE、OF．∵，，∴∠BAC=60°，∵内切圆的圆心的是三角形三条角平分线的交点，∴又∵OE=1，OE⊥AC（切线的性质），∴AE=，∵OE⊥AC，OD⊥BC，，∴四边形CDOE是矩形，又∵OD=OE，∴四边形CDOE是正方形，∴CE=CD=OE=1，

∴AC=AE+CE=+1，在Rt△ACD中，，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查勾股定理，正方形的判定与性质，三角形的内切圆，切线的性质等知识，根据题意正确画出的辅助线是解题的关键．模型2、多边形的外接圆模型【模型解读】外接圆：与多边形各顶点都相交的圆叫做多边形的外接圆，通常是针对一个凸多边形来说的，如三角形，若一个圆恰好过三个顶点，这个圆就叫作三角形的外接圆，此时圆正好把三角形包围。三角形外接圆圆心：即做三角形三条边的垂直平分线（两条也可，两线相交确定一点）。【常见模型及结论】1）三角形的外接圆模型条件：如图1，⊙O为三角形ABC的外接圆（即O为三角形ABC的外心）。结论：①OA=OB=OC；②。图1图2图32）等边三角形的外接圆模型条件：如图2，点P为等边三角形ABC外接圆劣弧BC上一点。结论：①，PM平分；②PA=PB+PC；③；3）四边形的外接圆模型条件：如图3，四边形ABCD是⊙O的内接四边形。结论：①；；②。例1．（2023·黑龙江·校联考模拟预测）△ABC中，∠A＝80°，点M是△ABC的外心，点N是△ABC的内心，连接BM，CM，BN，CN，则∠BMC与∠BNC的差为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】A【分析】分别求出∠BMC＝2∠A＝160°，BNC＝130°,然后得出结果．【详解】解：如图，∵点M是△ABC的外心，∴∠BMC＝2∠A＝160°，∵点N是△ABC的内心，∴∠BNC＝180°﹣（∠NBC+∠NCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝130°，∴∠BMC﹣∠BNC＝160°﹣130°＝30°．故选：A．【点睛】本题考查三角形的内心和外心，解题关键掌握内心（内切圆圆心）和外心（外接圆圆心）的定义．例2．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，点O，I分别是锐角的外心、内心，若，则的度数为．【答案】/24度【分析】连接，先计算出，再利用外心性质和等腰三角形的性质得到，则，利用圆周角定理得到，接着计算出，再根据三角形内心即可解决问题．【详解】解：连接，如图，∵，∴，∵O点为的外心，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵I为的内心，∴平分，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解决本题的关键是掌握内心与外心定义．例3．（2023·湖北武汉·九年级阶段练习）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB=AC=4，BC=8，则⊙O的半径为.【答案】5cm【分析】作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得BD=CD=BC=4，再利用三角形外心的定义得到△ABC的外接圆的圆心在AD上，连结OB，设⊙O的半径为r，利用勾股定理，在Rt△ABD中计算出AD=8，然后在Rt△OBD中得到42+（8-r）2=r2，再解关于r的方程即可；【详解】解：如图1，作AD⊥BC于D，∵AB=AC，∴BD=CD=BC=4，∴△ABC的外接圆的圆心在AD上，连结OB，设⊙O的半径为r，在Rt△ABD中，∵AB=4，BD=4，∴AD==8，在Rt△OBD中，OD=AD-OA=8-r，OB=r，BD=4，∴42+（8-r）2=r2，解得r=5，即△ABC的外接圆的半径为5；【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心，解题关键证明等腰三角形底边上的高经过三角形外接圆的圆心.例4．（2022春·江苏·九年级期末）中，，，点I是的内心，点O是的外心，则．【答案】14.3【分析】如图，过点A作交于点D，由等腰三角形得点I、点O都在直线AD上，连接OB、OC，过点I作交于点E，设，，根据勾股定理求出，则，，由勾股定理求出R的值，证明由相似三角形的性质得，求出r的值，即可计算．【详解】如图，过点A作交于点D，∵，，∴是等腰三角形，∴，∵点I是的内心，点O是的外心，∴点I、点O都在直线AD上，连接OB、OC，过点I作交于点E，设，，在中，，∴，，在中，，解得：，∵，，∴，∴，即，

解得：，∴，∴．故答案为：14.3．【点睛】本题考查内切圆与外接圆，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定与性质，掌握内切圆的圆心为三角形三条角平分线的交点，外接圆圆心为三角形三条垂直平分线的交点是解题的关键．例5．（2023.广东九年级期中）如图，在△ABC中，∠C=60°，以AB为直径的半圆O分别交AC，BC于点D，E，已知⊙O的半径为．（1）求证：△CDE∽△CBA；（2）求DE的长．分析

（1）由圆内接四边形的外角等于它的内对角知∠CED=∠A（或∠CDE=∠B），又有∠C=∠C，故△CDE∽△CBA；（2）连接AE．由（1）中△CDE∽△CBA得DE：BA=CE：CA，由于直径对的圆周角是直角，有∠AEB=∠AEC=90°；在Rt△AEC中，有∠C=60°，∠CAE=30°．则DE：BA=CE：CA=1：2，即DE=．解答

（1）证明：∵四边形ABED为⊙O的内接四边形，

∴∠CED=∠A（或∠CDE=∠B）；又∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA．

（2）解：连接AE．

由（1）得△CDE∽△CBA，∴DE：BA=CE：CA，

∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=∠AEC=90°．

在Rt△AEC中，∵∠C=60°，∴∠CAE=30°；

∴DE：BA=CE：CA=1：2，即DE=．点评

本题考查了圆内接四边形的性质、相似三角形的判定和性质、圆周角定理，直角三角形的性质等知识的综合应用能力．例6．（2023湖北省荆门市九年级上期中）如图，、、、是上的四个点，．(1)判断的形状，并证明你的结论；(2)探究、、之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)等边三角形，见解析(2)，见解析【分析】（1）根据圆周角定理得到，，根据等边三角形的判定定理证明；（2）在上截取，得到为等边三角形，证明，根据全等三角形的性质，结合图形证明即可．【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，，，∴是等边三角形；（2）解：，理由如下：在上截取，∵，∴为等边三角形，∴，，在和中，，∴∴，∴．【点睛】本题考查的是圆周角定理，全等三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．例7．（2023广东中考模拟）如图，点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点．（1）求∠BPC的度数；（2）求证：PA=PB+PC；（3）设PA，BC交于点M，若AB=4，PC=2，求CM的长度．【答案】（1）∠BPC=120°，（2）证明见解析；（3）CM=．【分析】（1）由圆周角定理得∠BPC与∠BAC互补；（2）在PA上截取PD=PC，可证明△ACD≌△BCP，则AD=PB，从而得出PA=PB+PC；（3）容易得到△CDM∽△ACM，所以CM：AM=DM：MC=DC：AC=2：4=1：2，设DM=x，则CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x，△BPM∽△ACM，所以BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，解此分式方程求出x．【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∵点P为等边△ABC外接圆劣弧BC上一点，∴四边形ABPC是圆的内接四边形∴∠BPC+∠BAC=180°，∴∠BPC=120°，（2）证明：连结CD．在PA上截取PD=PC，∵∠ABC=∠APC=60°，∴△PCD为等边三角形，∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，在△ACD和△BCP中，，∴△ACD≌△BCP，∴AD=PB，∵PA=AD+DP，DP=PC，∴PA=PB+PC；（3）∵△PCD和△ABC都为等边三角形，∴∠MDC=∠ACM=60°，CD=PC，又∵∠DMC=∠CMA，∴△CDM∽△ACM，AB=4，PC=2，∴CM：AM=DM：MC=DC：AC=PC：AC=2：4=1：2，设DM=x，则CM=2x，BM=4-2x，PM=2-x，AM=4x，AD=AM-DM=4x-x=3x∵∠BMP=∠CMA，∠PBM=∠CAM，∴△BPM∽△ACM，∴BP：AC=PM：CM，即3x：4=（2-x）：2x，解得x=（舍去负值），∴CM=．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、圆周角定理以及等边三角形的性质，是一个综合题，难度较大．课后专项训练1．（2023·湖北恩施·九年级统考期末）如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝BD＝2，EC＝3，则△ABC的周长为（

）A．10 B．10 C．14 D．16【答案】C【分析】根据切线长定理得到AF=AD=2、BE=BD=2、CF=CE=3，然后根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF=AD=2、BE=BD=2、CF=CE=3∴BC=BE+CE=5，AB=AD+BD=4，AC=BF+FC=BC=5，∴△ABC的周长=2+2+5+5=14．故答案为C．【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心、切线长定理等知识点，灵活利用切线长定理是解题答本题的关键．2．（2023春·湖北九年级课时练习）已知的内切圆的半径为，且，的周长为16，则的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据题意，画出图形，，过点作，，，连接，根据内切圆的性质，可得，求得线段，再根据切线长定理求解即可．【详解】解：根据题意，作出图形，过点作，，，连接，如下图：由切线长定理可得：，，，，，，∵，∴，∴，∴，即，在中，，，∴，由勾股定理可得：，的周长为16，可得：解得，故选：C．【点睛】此题考查了圆与三角形的综合应用，涉及了切线长定理，勾股定理，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．4．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．将再次折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，，交于点．则以下结论一定成立的是（

）A． B．C．点到三边的距离相等 D．点到三个顶点的距离相等【答案】C【分析】根据是折痕，可知平分，平分，点为的内接圆的圆心，由此即可求解．【详解】解：∵是折痕，∴平分，平分，点为的内接圆的圆心，如图所示，于，于，于，选项，的度数无法确定，与的数量关系也不确定，故选项不符合题意；选项，的长度不确定，的数量关系也不确定，故选项不符合题意；选项，根据角平分的性质可得，，即点到三边的距离相等，故选项符合题意；选项，，故选项不符合题意；故选：．【点睛】本题考查三角形与圆的知识的综合，理解并掌握角平分线的性质，内切圆的知识是解题的关键．4．（2022春·绵阳市九年级课时练习）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BD，CE，若∠CBD=32°，则∠BEC的大小为（

）A．64° B．120° C．122° D．128°【答案】C【分析】根据圆周角定理可求∠CAD=32°，再根据三角形内心的定义可求∠BAC，再根据三角形内角和定理和三角形内心的定义可求∠EBC+∠ECB，再根据三角形内角和定理可求∠BEC的度数．【详解】在⊙O中，∵∠CBD=32°，∴∠CAD=32°，∵点E是△ABC的内心，∴∠BAC=64°，∴∠EBC+∠ECB=(180°-64°)÷2=58°，∴∠BEC=180°-58°=122°．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的内心，圆周角定理，三角形内角和定理，关键是得到∠EBC+∠ECB的度数．5．（2023·山西太原·校考模拟预测）如图，截的三条边所得的弦长相等，若，则的度数为()A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用截的三条边所得的弦长相等，得出即是的内心，从而∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出的度数．【详解】解：过点分别作、、，垂足分别为、、，连接、、、、、、、，如图：∵，∴∴∴点是三条角平分线的交点，即三角形的内心∴，∵∴∴．故选：C【点睛】本题考查的是三角形的内心、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，比较简单．6．（2023·河北邢台·九年级校考阶段练习）如图，在中，点为的内心，点在边上，且⊥，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】中，点为的内心，可求出的度数，根据四边形的内角和即可得出结论．【详解】解：在中，，点为的内心，四边形的内角和，且故选：A．【点睛】本题考查了三角形内心的定义及多边形的内角和，牢固掌握相关概念是解题的关键．7．（2023春·湖北九年级期中）点I是的内心，若，则的度数为（）A． B． C． D．或【答案】A【分析】先根据内心的定义得到，再根据作答即可．【详解】如图，∵点I是的内心，∴，∵，∴；∴；∴．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内心，熟练掌握定义是解答本题的关键．三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心是三角形角平分线的交点．8．（2023·重庆九年级期中）已知三角形三边长分别为5cm、5cm、6cm，则这个三角形内切圆的半径是（）A．cm B．cm C．2cm D．3cm【答案】B【分析】由⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于E，切BC于D，根据切线长定理得到AB=AC，A，O，D三点共线，求得BD，AD，BE，AE，由勾股定理列方程求解．【详解】如图∵⊙O是△ABC的内切圆，⊙O切AB于E，切BC于D，∵AB=AC=5，∴A，O，D三点共线，∴BD=BC=3，∴AD==4，∴BE=BD=3，∴AE=2，设三角形内切圆的半径为r，∴（4-r）2=22+r2，∴r=cm，∴三角形内切圆的半径为cm．故选B．【点睛】考查对三角形的内切圆与内心，切线长定理，切线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．9．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，若的半径为r，，则的值和的大小分别为（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，【答案】D【分析】如图，连接．利用切线长定理，圆周角定理，切线的性质解决问题即可．【详解】解：如图，连接．∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，∴，∴，，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，圆周角定理，切线的性质等知识，解题的关键是掌握切线的性质，属于中考常考题型．10．（2023·山东·九年级专题练习）如图，点I为的内心，连接并延长交的外接圆于点D，若，点E为弦的中点，连接，若，则的长为（）A．5 B． C．4 D．【答案】C【分析】由已知条件可得到，过点D作于F，连接，可得四边形为平行四边形，可得，即可求出IE的长．【详解】解：连接，如图，∵I为的内心，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∵，∴，过点D作于F，连接，∴，在中，由勾股定理得，，∵点E为弦的中点∴为的中位线，∴，，∴四边形为平行四边形，∴，故选C．【点睛】本题是三角形外接圆和内切圆综合，考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，等腰三角形的性质与判定，内心等等，正确作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．11．（2022秋·浙江宁波·九年级统考期末）如图，点为的内心，连接并延长交的外接圆于点，交于点，若，则的值为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根据三角形的内心性质，证明，得到，则，进而得到，代入即可得到答案．【详解】解：连接，如图所示：∵为的内心，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴∴，故选：D．【点睛】本题考查三角形的内心、三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．12．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中，，BC＝6，AC．I是△ABC的内心，则线段OI的值为（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．想办法求出OH，IH即可解决问题．【详解】解：如图，连接AO，延长AO交BC于H，连接OB．∵，∴AB=AC，AH⊥BC，∴BH=CH=3，∴AH==9，设OA=OB=x，在Rt△BOH中，∵OB2=OH2+BH2，∴x2=（9-x）2+32，∴x=5，∴OH=AH-AO=9-5=4，∵S△ABC=•BC•AH=•（AB+AC+BC）•IH，∴IH=，∴OI=OH-IH=4-（-1）=5-，故选：B．【点睛】本题主要考查的是三角形的内心和外心、等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．13．（2022春·浙江·九年级专题练习）如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝80°，则∠D的度数是（

）A．60° B．65 C．70° D．75°【答案】B【分析】利用三角形内心的性质得OB，OC分别是角平分线，进而求出的大小，再利用三角形外心的性质得出等于的一半，即可得出答案．【详解】解：连接OB，OC，如图，点O是△ABC的内心，，，，，点O是△DBC的外心，，故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形的内心和三角形外心的性质，牢记以上知识点得出各角之间的关系是做出本题的关键．14．（2023·江苏九年级课时练习）已知等腰直角三角形外接圆半径为5，则内切圆半径为（）A．5+5 B．12﹣5 C．5﹣5 D．10﹣10【答案】C【分析】由于直角三角形的外接圆半径是斜边的一半，由此可求得等腰直角三角形的斜边长，进而可求得两条直角边的长；然后根据直角三角形内切圆半径公式求出内切圆半径的长．【详解】解：∵等腰直角三角形外接圆半径为5，∴此直角三角形的斜边长为10，两条直角边分别为5，∴它的内切圆半径为：R=(5+5−10)=5−5；故选C.【点睛】要注意直角三角形内切圆半径与外接圆半径的区别：直角三角形的内切圆半径：r=(a+b-c)；(a、b为直角边，c为斜边).直角三角形的外接圆半径：R=c.15．（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，点O是外接圆的圆心，点I是的内心，连接，．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角形内心的定义可得的度数，然后由圆周角定理求出，再根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出答案．【详解】解：连接，∵点I是的内心，，∴，∴，∵，∴，故选：C．

【点睛】本题主要考查了三角形内心的定义和圆周角定理，熟知三角形的内心是三角形三个内角平分线的交点是解题的关键．16．（2023·山东九年级月考）如图，是的内切圆，切点分别为点、、，设的面积、周长分别为、，的半径为，则下列等式：①；②；③；④，其中成立的是（填序号）【答案】①②③④【分析】正确，首先证明，同法可证，，由，可得．正确，利用面积法证明即可．正确，证明，可得结论．正确，利用切线长定理解决问题即可．【详解】解：如图，作直径，连接．是的切线，，，，是直径，，，，，，同法可证，，，，，故正确，连接，，，，．，故正确，，，，，，故正确，是的内切圆，切点分别相为点、、，，，，，故正确，故答案为：．【点睛】本题考查三角形的内切圆，切线的性质，圆周角定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．17．（2023·四川绵阳·统考二模）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为.【答案】【分析】设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，根据三角形内心定义可得S△ABC＝lr＝×20×＝AB•CD，可得bc＝40，根据勾股定理可得BC＝a＝7，再根据I是△ABC内心，可得IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，根据圆内接四边形性质和圆周角定理可得∠BOC＝120°，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OB的长．【详解】解：如图，设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，设AB＝c，BC＝a，AC＝b，∵∠BAC＝60°，∴AD＝b，CD＝AC•sin60°＝b，∴BD＝AB﹣AD＝c﹣b，∵△ABC周长为l＝20，△ABC的内切圆半径为r＝，∴S△ABC＝lr＝×20×＝AB•CD，∴b•c，∴bc＝40，在Rt△BDC中，根据勾股定理，得BC2＝BD2+CD2，即a2＝（c﹣b）2+（b）2，整理得：a2＝c2+b2﹣bc，∵a+b+c＝20，∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，解得a＝7，∴BC＝a＝7，∵I是△ABC内心，∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∴∠IBC+∠ICB＝60°，∴∠BIC＝120°，∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OE⊥BC，∴BE＝CE＝，∠BOE＝60°，∴OB＝.∴外接圆直径为．故答案为：．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，解直角三角形，圆内接四边形的性质，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．属于中考选择题的压轴题，很有难度．18．（2023·广东·九年级专题练习）已知，点为的外心，点为的内心．（1）若，则；（2）若，则．【答案】/100度/125度【分析】（1）如图，证明；求出，进而求出即可解决问题；（2）根据圆周角定理得到，根据三角形的内心的性质得到平分平分，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：（1）如图，的内心为点，，，，，，故答案为：；（2）如图，点为的外心，，，点为的内心，平分平分，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心、外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形的内心的概念和性质是解题的关键．19．（2023·江苏南京·统考二模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与，，相切，切点分别为，，，则的半径为．

【答案】1【分析】如图所示，延长交于M，连接，先证明得到，设设，则，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，如图所示，连接，利用等面积法求出半径即可．【详解】解：如图所示，延长交于M，连接，∵四边形是正方形，∴，∵E为的中点，∴，由折叠的性质可得，∴，又∵，∴，

∴，

设，则，，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴，如图所示，连接∵分别与，，相切，切点分别为，，，∴，∵，∴，∴，∴的半径为，故答案为；1．

【点睛】本题考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．20．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）如图，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．(1)求证：；(2)求证：；(3)连接、，求证：点D是的外心．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据三角形内心的定义得，再由圆周角与弧之间的关系即可得证；（2）连接，证出即可得证；（3）连接，，，证出即可得证．【详解】（1）证明：点I是的内心，平分，，，，．（2）证明：如图，连接，点I是的内心，平分，平分，，又，，，，，．（3）证明：如图，连接，，，，．，∴点D是的外心．【点睛】本题考查了三角形内心和外心的定义，圆的基本性质中圆周角与弧之间的关系等，理解定义，掌握圆的基本性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.21．（2023浙江年级上期中）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形．如图1，与的三边分别相切于点则叫做的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形．如图2，与四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA分别相切于点则四边形叫做的外切四边形．（1）如图2，试探究圆外切四边形的两组对边与之间的数量关系，猜想：(横线上填“>”，“<”或“=”)；（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；（3）用文字叙述上面证明的结论：；（4）若圆外切四边形的周长为相邻的三条边的比为，求此四边形各边的长．【答案】（1）=；（2）答案见解析；（3）圆外切四边形的对边之和相等；（4）4；10；12；6【分析】（1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论；（2）根据切线长定理即可得出结论；（3）由（2）可得出答案；（4）根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．【详解】（1）∵⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，∴猜想AB＋CD＝AD＋BC，故答案为：＝．（2）已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H，求证：AD＋BC＝AB＋CD，证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG＝AH，同理：BG＝BF，CE＝CF，DE＝DH，∴AD＋BC＝AH＋DH＋BF＋CF＝AG＋BG＋CE＋DE＝AB＋CD，即：圆外切四边形的对边和相等．（3）由（2）可知：圆外切四边形的对边和相等．故答案为：圆外切四边形的对边和相等；（4）∵相邻的三条边的比为2：5：6，∴设此三边为2x，5x，6x，根据圆外切四边形的性质得，第四边为2x＋6x−5x＝3x，∵圆外切四边形的周长为32，∴2x＋5x＋6x＋3x＝16x＝32，∴x＝2，∴此四边形的四边的长为2x＝4，5x＝10，6x＝12，3x＝6．即此四边形各边的长为：4，10，12，6．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切四边形的性质，四边形的周长，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解本题的关键．22．（2023·福建泉州·统考二模）如图，在中，点I是的内心．

(1)求作过点I且平行于的直线，与分别相交于点D，E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的平行线的作法作图即可；（2）过点I作于点N，于点M，于点M，于点P，过点A作于点F，交于点H，过点D作于点G，连接．易证，即可得出．由三角形内心的性质可知，结合三角形面积公式可得出，，即得出，结合题意可求出，．又易证，，即可证，得出，从而可求出，即可求解．【详解】（1）解：如图，直线即为所作；

（2）解：如图，过点I作于点N，于点M，于点M，于点P，过点A作于点F，交于点H，过点D作于点G，连接．

∵，∴，∴,∴．∵点I是的内心，∴．∵，，∴．∵，即，∴，．由所作辅助线可知四边形为矩形，∴，∴．∵，，∴．又∵，∴，∴，∴，∴，解得：．【点睛】本题考查作图—作平行线，三角形相似的判定和性质，三角形内心的性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质等知识．掌握基本作图方法和正确作出辅助线是解题关键．23．（2023·山东·九年级专题练习）如图所示，在中，（1）求.（2）求内切圆半径.【答案】（1）；（2）内切圆半径为1.【分析】（1）由三角形内角和可得∠CBA+∠CAB=90°，由O为内切圆圆心可得OA、OB为∠CBA和∠CAB的角平分线，即可得出∠OAB+∠OBA=45°，根据三角形内角和求出∠BOA的度数即可；（2）连接OD，OE、OF，由切线性质可得OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，由∠C=90°，OD=OE可证明四边形DCEO是正方形，可得OD=CD，利用勾股定理可求出AB的长，根据切线长定理可得CD=CE，AE=AF，BD=BF，设内切圆半径OD=r，根据AB=BF+AF列方程即可求出r的值，即可得答案.【详解】（1）∵∠C=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵O为内切圆圆心，∴OA、OB为∠CBA和∠CAB的角平分线，∴∠OAB+∠OBA=∠CBA+∠CAB=45°，∴∠BOA=180°-45°=135°.（2）连接OD，OE、OF，∵AB、AC、BC是切线，切点为D、E、F，∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，CD=CE，AE=AF，BD=BF，∵∠C=90°，OD=OE，∴四边形DCEO是正方形，∴CD=OD，设OD=r，∴AF=AE=3-r，BF=BD=4-r，∵AC=3，BC=4，∴AB==5，∴AB=BF+AF=3-r+4-r=5，解得r=1，即内切圆半径为1.【点睛】本题考查了三角形的内切圆的性质、切线长定理、正方形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解题关键．24．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，以为直径的半圆O交于点D．(1)尺规作图：过点D作半圆O的切线，交于点E；(2)求证：；(3)若，，求半圆O的半径长．【答案】(1)见详解(2)见详解(3)【分析】（1）以D点为圆心画弧交于两点，再以这两点为圆心，以合适的长度为半径画弧，两弧交于一点，将该点与D点连接，交于点E，即可；（2）连接，先得到，根据“三线合一”可得：平分，即有，再根据，可得，问题随之得解；（3）利用勾股定理可得，根据（2）中的相关结论再证明，即有，即可得，问题得解．【详解】（1）以D点为圆心画弧交于两点，再以这两点为圆心，以合适的长度为半径画弧，两弧交于一点，将该点与D点连接，交于点E，如图，即为半圆O的切线；证明：连接，如图，根据作图可