苏科版七年级数学暑假第05讲有理数的乘方练习(学生版+解析)

第05讲有理数的乘方【学习目标】1.掌握有理数乘方的意义，正确判断幂的底数，掌握乘方运算的符号法则；2.理解科学记数法的表示，会正确算出科学记数法表示的数的结果；【基础知识】一．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．二．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．三．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．【考点剖析】一．有理数的乘方（共7小题）1．（2022•海陵区一模）（﹣2）2的值等于（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．22．（2022•工业园区模拟）计算：＝．3．（2022春•姜堰区期中）计算：42n•（﹣）2n+1＝（n为正整数）．4．（真题•崇川区期末）下列各组数中，相等的是（）A．23和32 B．（﹣3）3和﹣33 C．（﹣3）2和﹣32 D．﹣（﹣2）和﹣|﹣2|5．（2022春•沭阳县月考）82022×（﹣0.125）2021＝．6．（真题•南关区期末）（﹣2）2的结果是．7．（真题•邗江区月考）若215＝a5＝32b，求a+b的值．二．非负数的性质：偶次方（共5小题）8．（真题•溧阳市期末）若（x﹣3）2+|y+2|＝0，则y2的值是．9．（真题•无锡期末）若|x﹣2|+（3y+4）2＝0，则yx的值为（）A． B．﹣ C．﹣ D．10．（真题•射阳县校级期末）已知|a﹣3|+（b+2）2＝0，则a+b＝．11．（真题•丹徒区月考）|x+1|与（3﹣y）2互为相反数，求x﹣y的值．12．（真题•双峰县期末）若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（）A．﹣6 B．﹣9 C．9 D．6三．科学记数法—表示较大的数（共4小题）13．（2022春•江阴市校级月考）光的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102s，地球离太阳大约多远（结果用科学记数法表示）？14．（2022•灌云县一模）用科学记数法表示11090000，正确的是（）A．1.109×107 B．1.109×106 C．1.109×108 D．11.09×10615．（2022•镇江一模）我国每年的碳排放量超过6000000000吨，数据6000000000用科学记数法可表示为．16．（真题•襄汾县期中）已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝，10m×10n＝．（m，n均为正整数）（2）运用上述猜想计算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）；②（﹣6.4×103）×（2×106）．【过关检测】一．选择题（共3小题）1．（真题•永川区期末）下列各组数中，相等的是（）A．（﹣3）2与﹣32 B．|﹣3|2与﹣32 C．（﹣3）3与﹣33 D．|﹣3|3与﹣332．（2022•太仓市模拟）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金169200000000元，将169200000000用科学记数法表示应为（）A．0.1692×1012 B．1.692×1011 C．1.692×1012 D．16.92×10103．（2022春•江阴市期中）在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，（x+k）＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知（[x（x+k）]＝9x2+mx，则m的值是（）A．45 B．63 C．54 D．不确定二．填空题（共5小题）4．（2022•苏州一模）2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为5500万公里，数字55000000用科学记数法表示为．5．（真题•苏州期中）计算：﹣（﹣）3＝．6．（真题•丹阳市期中）计算：（﹣5）2＝．7．（真题•锡山区期中）若有理数x，y满足x2＝64，|y|＝10，且|x﹣y|＝x﹣y，则x+y的值为．8．（真题•南丹县期末）1根1米长的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，…，如此截下去，则第8次剩下的木棒的长为米．三．解答题（共4小题）9．（真题•滕州市期末）如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．（1）根据上述规定，填空：（2，8）＝，（2，）＝；（2）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．10．（真题•阜宁县校级月考）若|a+1|+（b﹣2）2＝0．（1）求a2﹣b2的值；（2）求ab的值．11．（真题•靖江市校级月考）已知a2＝16，|b|＝9，|c|＝6，且ab＜0，bc＞0，求a﹣b﹣（﹣c）的值．12．（真题•海安市月考）已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n为正整数）．（1）求2M（2018）+M（2019）的值．（2）猜想2M（n）与M（n+1）的关系并说明理由．第05讲有理数的乘方【学习目标】1.掌握有理数乘方的意义，正确判断幂的底数，掌握乘方运算的符号法则；2.理解科学记数法的表示，会正确算出科学记数法表示的数的结果；【基础知识】一．有理数的乘方（1）有理数乘方的定义：求n个相同因数积的运算，叫做乘方．乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数．an读作a的n次方．（将an看作是a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂．）（2）乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0．（3）方法指引：①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值；②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘除，最后做加减．二．非负数的性质：偶次方偶次方具有非负性．任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．三．科学记数法—表示较大的数（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】（2）规律方法总结：①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．【考点剖析】一．有理数的乘方（共7小题）1．（2022•海陵区一模）（﹣2）2的值等于（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【分析】直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．【解答】解：（﹣2）2＝4．故选：B．【点评】此题主要考查了有理数的乘方，正确掌握有理数的乘方运算法则是解题关键．2．（2022•工业园区模拟）计算：＝．【分析】利用有理数的乘方法则计算得结果．【解答】解：原式＝（﹣）×（﹣）＝．故答案为：．【点评】本题考查了实数的运算，掌握乘法的意义是解决本题的关键．3．（2022春•姜堰区期中）计算：42n•（﹣）2n+1＝﹣（n为正整数）．【分析】利用幂的乘方公式、同底数幂的除法进行计算即可．【解答】解：42n•（﹣）2n+1＝42n•（﹣）＝﹣＝﹣42n﹣（2n+1）＝﹣4﹣1＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查的是幂的乘方和同底数幂的乘法，关键是熟练掌握两种法则．4．（真题•崇川区期末）下列各组数中，相等的是（）A．23和32 B．（﹣3）3和﹣33 C．（﹣3）2和﹣32 D．﹣（﹣2）和﹣|﹣2|【分析】根据有理数的乘方，相反数和绝对值分别计算各选项中的数，从而得到答案．【解答】解：A选项，8和9，故该选项不符合题意；B选项，﹣27和﹣27，故该选项符合题意；C选项，9和﹣9，故该选项不符合题意；D选项，2和﹣2，故该选项不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了有理数的乘方，相反数和绝对值，掌握an表示n个a相乘是解题的关键．5．（2022春•沭阳县月考）82022×（﹣0.125）2021＝﹣8．【分析】根据幂的意义计算即可．【解答】解：原式＝82022×（﹣）2021＝﹣82022×8﹣2021＝﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数的乘法，掌握有乘方先算乘方是解题的关键．6．（真题•南关区期末）（﹣2）2的结果是4．【分析】根据幂的意义计算即可．【解答】解：（﹣2）2＝（﹣2）×（﹣2）＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握求n个相同因数积的运算叫做乘方是解题的关键．7．（真题•邗江区月考）若215＝a5＝32b，求a+b的值．【分析】首先根据幂的乘方将底数化为同底，根据同底的幂指数相等列出方程，求解得b的值，然后将幂的形式化为指数相同的幂，根据指数相同的幂相等，底数相等列算式，求解即可．【解答】解：∵32b＝（25）b＝25b＝215，∴5b＝15，∴b＝3，∵215＝（23）5＝a5，∴a＝23＝8，∴a+b＝8+3＝11．【点评】此题考查的是有理数的乘方运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．二．非负数的性质：偶次方（共5小题）8．（真题•溧阳市期末）若（x﹣3）2+|y+2|＝0，则y2的值是4．【分析】根据偶次方和绝对值的非负性列出不等式，求出x、y，根据有理数的乘方法则计算即可．【解答】解：∵（x﹣3）2+|y+2|＝0，（x﹣3）2≥0，|y+2|≥0，∴x﹣3＝0，y+2＝0，解得：x＝3，y＝﹣2，则y2＝（﹣2）2＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟记偶次方和绝对值的非负性是解题的关键．9．（真题•无锡期末）若|x﹣2|+（3y+4）2＝0，则yx的值为（）A． B．﹣ C．﹣ D．【分析】先根据非负数的性质求出x，y的值，再代入计算可得出结论．【解答】解：∵|x﹣2|+（3y+4）2＝0，∴x﹣2＝0，3y+4＝0，解得x＝2，y＝，∴yx＝．故选：A．【点评】本题考查的是非负数的性质，熟知任何数的偶次方及绝对值均为非负数是解答此题的关键．10．（真题•射阳县校级期末）已知|a﹣3|+（b+2）2＝0，则a+b＝1．【分析】根据绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．【解答】解：∵|a﹣3|+（b+2）2＝0，而|a﹣3|≥0，（b+2）2≥0，∴a﹣3＝0，b+2＝0，解得a＝3，b＝﹣2，∴a+b＝3﹣2＝1，故答案为：1．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．11．（真题•丹徒区月考）|x+1|与（3﹣y）2互为相反数，求x﹣y的值．【分析】根据相反数的定义可得|x+1|+（3﹣y）2＝0，再根据绝对值和偶次方的非负数性质求出x、y的值，再代入所求数轴计算即可．【解答】解：∵|x+1|与（3﹣y）2互为相反数，∴|x+1|+（3﹣y）2＝0，又∵|x+1|≥0，（3﹣y）2≥0，∴x+1＝0，3﹣y＝0，解得x＝﹣1，y＝3，∴x﹣y＝﹣1﹣3＝﹣4．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．12．（真题•双峰县期末）若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（）A．﹣6 B．﹣9 C．9 D．6【分析】根据非负数的性质列式求出ab的值，然后再代入代数式进行计算．【解答】解：根据题意得，a+3＝0，b﹣2＝0，解得a＝﹣3，b＝2，∴ab＝（﹣3）2＝9．故选：C．【点评】本题主要考查了非负数的性质，几个非负数相加等于0，则每一个算式都等于0．三．科学记数法—表示较大的数（共4小题）13．（2022春•江阴市校级月考）光的速度约为3×105km/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102s，地球离太阳大约多远（结果用科学记数法表示）？【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：3×105×5×102＝1.5×108（km）．答：地球离太阳大约1.5×108km．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．14．（2022•灌云县一模）用科学记数法表示11090000，正确的是（）A．1.109×107 B．1.109×106 C．1.109×108 D．11.09×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：11090000＝1.109×107，故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．15．（2022•镇江一模）我国每年的碳排放量超过6000000000吨，数据6000000000用科学记数法可表示为6×109．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：6000000000＝6×109．故答案为：6×109．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．16．（真题•襄汾县期中）已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，102×103＝100000＝105．（1）猜想106×104＝1010，10m×10n＝10m+n．（m，n均为正整数）（2）运用上述猜想计算下列式子：①（1.5×104）×（1.2×105）；②（﹣6.4×103）×（2×106）．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：（1）106×104＝1010，10m×10n＝10m+n；故答案为：1010；10m+n；（2）①（1.5×104）×（1.2×105）＝（1.5×1.2）×（104×105）＝1.8×109；②（﹣6.4×103）×（2×106）＝（﹣6.4×2）×（103×106）＝﹣12.8×109＝﹣1.28×1010．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．【过关检测】一．选择题（共3小题）1．（真题•永川区期末）下列各组数中，相等的是（）A．（﹣3）2与﹣32 B．|﹣3|2与﹣32 C．（﹣3）3与﹣33 D．|﹣3|3与﹣33【分析】根据有理数的乘方的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误；B、|﹣3|2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误；C、（﹣3）3＝﹣27，﹣33＝﹣27，故本选项正确；D、|﹣3|3＝27，﹣33＝﹣27，27≠﹣27，故本选项错误．故选：C．【点评】本题考查了有理数的乘方，要注意（﹣3）2与﹣32的区别．2．（2022•太仓市模拟）党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务．中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金169200000000元，将169200000000用科学记数法表示应为（）A．0.1692×1012 B．1.692×1011 C．1.692×1012 D．16.92×1010【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：169200000000＝1.692×1011．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．（2022春•江阴市期中）在数学中为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如记＝1+2+3+…+（n﹣1）+n，（x+k）＝（x+3）+（x+4）+…+（x+n）；已知（[x（x+k）]＝9x2+mx，则m的值是（）A．45 B．63 C．54 D．不确定【分析】根据条件和新定义列出方程，化简即可得出答案．【解答】解：根据题意得：x（x+3）+x（x+4）+…+x（x+n）＝x（9x+m），∴x（x+3+x+4+…+x+n）＝x（9x+m），∴x[（n﹣3+1）x+]＝x（9x+m），∴n﹣2＝9，m＝，∴n＝11，m＝54．故选：C．【点评】本题考查了新定义，根据条件和新定义列出方程是解题的关键．二．填空题（共5小题）4．（2022•苏州一模）2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为5500万公里，数字55000000用科学记数法表示为5.5×107．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：55000000＝5.5×107．故答案为：5.5×107．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（真题•苏州期中）计算：﹣（﹣）3＝．【分析】根据有理数的乘方解决此题．【解答】解：﹣（﹣）3＝．故答案为：．【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方是解决本题的关键．6．（真题•丹阳市期中）计算：（﹣5）2＝25．【分析】根据幂的意义求解即可．【解答】解：（﹣5）2＝（﹣5）×（﹣5）＝25，故答案为：25．【点评】本题考查了有理数的乘方，解题的关键是知道（﹣5）2表示2个（﹣5）相乘．7．（真题•锡山区期中）若有理数x，y满足x2＝64，|y|＝10，且|x﹣y|＝x﹣y，则x+y的值为﹣2或﹣18．【分析】根据绝对值、有理数的乘方、有理数的加法法则解决本题．【解答】解：∵x2＝64，|y|＝10，∴x＝±8，y＝±10．又∵|x﹣y|＝x﹣y，∴x﹣y≥0．∴x≥y．∴当x＝8时，y＝﹣10，此时x+y＝8+（﹣10）＝﹣2；当x＝﹣8时，y＝﹣10，此时x+y＝﹣8+（﹣10）＝﹣18．综上：x+y＝﹣2或﹣18．故答案为：﹣2或﹣18．【点评】本题主要考查绝对值、有理数的乘方、有理数的加法，熟练掌握绝对值、有理数的乘方、有理数的加法法则是解决本题的关键．8．（真题•南丹县期末）1根1米长的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，…，如此截下去，则第8次剩下的木棒的长为米．【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可．【解答】解：第一次截去一半，剩下，第二次截去剩下的一半，剩下×＝（）2，如此下去，第8次后剩下的长度是（）8＝．故答案为：．【点评】本题考查的是有理数的乘方，是基础题，理解乘方的定义是解题的关键．三．解答题（共4小题）9．（真题•滕州市期末）如果xn＝y，那么我们记为：（x，y）＝n．例如32＝9，则（3，9）＝2．（1）根据上述规定，填空：（2，8）＝3，（2，）＝﹣2；（2）若（4，a）＝2，（b，8）＝3，求（b，a）的值．【分析】（1）这个定义括号内第一个数为底数，第二个数为幂，结果为指数，根据有理数的乘方及负整数指数幂的计算即可；（2）根据定义先求出a，b的值，再求（b，a）的值．【解答】解：（1）因为23＝8，所以（2，8）＝3；因为2﹣2＝，所以（2，）＝﹣2．故答案为：3，﹣2；（2）根据题意得a＝42＝16，b3＝8，所以b＝2，所以（b，a）＝（2，16），因为24＝16，所以（2，16）＝4．答：（b，a）的值为4．【点评】本题主要考查了有理数的乘方，负整数指数幂，考核学生的运算能力，熟悉乘方运算是解题的关键．10．（真题•阜宁县校级月考）若|a+1|+（b﹣