沪教版 九年级数学 四边形的模考汇编复习

占四动形的谟考汇编复习>

砥知识定位

k--------------------------------------------------------、、

✓、

/✓X

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/考椿分析：

I

初中数学中，四边形部分（也包括多边形的一些内容）其特点是：概念、性

质、定理较多，特别是特殊的四边形，例如：平行四边形、矩形、菱形、正

方形、梯形，它们都能自成体系，同时又相互联系，密不可分。在考题中，

不会单一出现某个考点，经常是多方面考查这一知识点，因此同学们要熟练

掌握各个四边形的性质定理和判定定理.

I考忒占比：

四边形在中考中占有一定分值。一般选择或者填空题会考一道，其次就是22

或23题大题中会考到四边形和综合题，总分控制在20分左右。选择、填空

类的四边形题目难度系数小，要求考生熟知四边形的性质定理和判定定理；

而涉及到综合题时，难度较大，会和相似三角形、函数等混合在一起进行考

查，因此必须加以训练，灵活处理这类题目.

售题型梳理

亍曾三丽急喷t井

-：0-题型梳理1：平行四边形性质与判定

【题目】

(2010•浦东新区二模)已知：如图，在平行四边形ABCD中，AM=DM,

求证:(1)AE=AB;

(2)如果BM平分/ABC,求证：BM±CE.

【答案】(1)AE=AB;(2)BM±CE

【角军析】试题分析：(1)根据平行四边形的对边相等且平行，可得ABIICD,AB=CD,

根据平行线的性质可得：zE=zECD,又因为AM=DM,zAME=zDMC,可证得^AEM合

△DCM,即可证得AE=AB;

(2)由ADllBC,可得NAMB=NMBC,又因为BM平分/ABC,可得NAMB=NABM,即

可得AB=AM,因为AE=AB,所以AB=AM=AE,易得NBME=90°,即可证得BM^CE.

证明：(1)•「四边形ABCD是平行四边形，

.,.AB=CD,ABllCD,

.,.zE=zECD,

又；AM=DM,NAME=NDMC,

.“AEM空ADCM,

..CD=AE,

..AE=AB;

(2)•.四边形ABCD是平行四边形，

.-.ADllBC,

..NAMB=NMBC,

,BM平分NABC,

.-.zABM=zMBC,

.­.zABM=zAMB,

..AB=AM,

•.AB=AE,

.-.AM=AE,

.-.zE=zAME,

•••zE+zEBM+zBMA+zAME=180°,

..NBME=90°,

即BM±CE.

总结：此题考查了平行四边形的判定：平行四边形的对边平行且相等.还考查了等腰三角形

的判定与性质.解此题时要注意当有平行线与角平分线出现时，一般会出现等腰三角形.

【难度系数】3

31俐股晡礁

【题目1.U

(2007•闸北区二模)已知：如图，在平行四边形ABCD中，DE_LAB于点E,DF±BC于

点F,zDAB的平分线交DE于点M,交DF于点N,交DC于点P.

(1)求证：NADE=NCDF;

(2)如果NB=120°,求证：ADMN是等边三角形.

【答案】(1)NADE=NCDF;(2)ADMN是等边三角形

【解析】试题分析：(1)根据平行四边形的性质得到NDAB=NC,DCIIAB,根据三角形的

内角和定理和垂线即可求出答案；

(2根据平行四边形的性质得出DCIIAB，根据角平分线得出NDAP=NBAP推出DA=DP,

根据全等三角形的判定证△DAM学DPN,推出DN=DM,求出/MDN60度，即可得到答

案.

证明：(1)1•四边形ABCD是平行四边形，

R.NDAB=NC,DCIIAB,

•.DE，AB于点E,DF_LBC于点F,

.•.NADE=90。-zDAB,zCDF=90°-zC,

R.NADE=NCDF.

(2)证明:/zDAB的平分线交DE于点M,交DF于点N,交DC于点P,

R.NDAP=NBAP,

,.DCIIAB,

;.NDPA=NBAP,

R.NDAP=NDPA,

..DA=DP,

.NADE=NCDF,NDAP=NDPA,DA=DP,

."DAM¥DPN,

..DM=DN,

•.NB=120。，

.-.zMDN=360°-zDEB-zEFB-zB=360°-90°-90°-120°=60°,

.“DMN是等边三角形.

总结：本题主要考查对平行四边形的性质，三角形的内角和定理，垂线，全等三角形的性

质和判定，等边三角形的判定，平行线的性质，角平分线的性质，多边形的内角和定理等知

识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.

【难度系数】3

题型梳理2：矩形的性质与判定

【题目】

[2018闵行区一模】如图，矩形ABCD中，点E在边DC上，且AD=8,AB=AE=17,

那么tanzAEB=「I-----------------斤---11

AB

【答案】4

【角军析】考查了矩形的性质和解直角三角形，根据题意作出辅助线的解题的难点.如图，

过点E作EF±AB于F,则四边形EFBC为矩形，且在直角3EF中，由勾股定理求得AF

的长度，继而得到BF的长度,由等腰AABF的性质推知tanzAEB=tanzABE=EF:BF,得

解.

解：如图，过点E作EF±AB于F,则四边形EFBC为矩形，

..EF=AD=BC=8,EF±AF,

在直角AAEF中,AE=17,EF=8,由勾股定理知，AF=7AE2-EF2=V172-82=15-

.-.BF=AB-AF=17-15=2,

D

.AB=AE，,NAEB=NABE,

.-.tanzAEB=tanzABE=—EF=48=4.

BF2

故答案是：4.

总结：熟练掌握矩形的性质，学会解直角三角形.

【难度系数】3

2Q俐股晡昧

【题目2.1]

[2018金山区二模】如图，已知AD是SBC的中线，M是AD的中点，过A点作AEll

BC,CM的延长线与AE相交于点E,与AB相交于点F。

(1)求证：四边形AEBD是平行四边形；

(2)如果AC=3AF,求证四边形AEBD是矩形。

BD

【答案】（1）四边形AEBD是平行四边形；（2）四边形AEBD是矩形

【解析】试题分析：（1）先判定AAEM%DCM,可得AE=CD,再根据AD是3BC的中

线，即可得到AD=CD=BD,依据AEllBD,即可得出四边形AEBD是平行四边形;（2）

先判定AAEFSBCF,即可得到AB=3AF,依据AC=3AF,可得AB=AC,根据AD是3BC

的中线，可得AD_LBC,进而得出四边形AEBD是矩形.

证明：(1)；M是AD的中点，」.AM=DM,

­.AE//BC,.-.zAEM=zDCM,

又•2AME=NDMC,."AEM学DCM,/.AE=CD,

又.AD是SBC的中线,/.AD=CD=BD,

又•「AE〃BD,.•.四边形AEBD是平行四边形;

(2)•••AE/ZBC,/.AAEF-ABCF,

二冬蜷三,即BF=2AF,，AB=3AF,

BFBC2

又.AC=3AF,..AB=AC,

又.AD是AABC的中线,/.AD±BC,

又..四边形AEBD是平行四边形，，四边形AEBD是矩形。

总结：本题主要考查了平行四边形、矩形的判定，等腰三角形的性质以及相似三角形的性

质的运用，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形。

【难度系数】4

-题型梳理3：菱形的性质与判定

【题目】

【2017黄浦区一模】如图，菱形ABCD内两点M、N,满足MB±BC,MD±DC,NB±

BA

'NMDA,若四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的看,则cosA=

【答案】|

【解析】试题分析：如图，连接AN、CM,延长BM交AD于H.AN是菱形ABCD的

角平分线同理CM也是菱形ABCD的角平分线设BD与AC交于点O易知四边形BMDN

是菱形，设SAOMB=SAONB=SAOMD=SoND=a，因为四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积

的士,所以SAAMB=SAAMD=SACNB=S、cND=4a，推出AM=4OM,CN=4ON，设ON=OM=k,

5

贝UAM=CN=4k,由△ABOs^BNO,推出0B2=0A・ON=5k2,推出OB二泥k,

22=

AB=AD=7AO+OBV30k,由■|AD・BH=5・BD・AO,推出BH=^^=£&k,再利

ZZAU3

用勾股定理求出AH即可解决问题.

解：如图，连接AN、CM,延长BM交AD于H.

■.AB±BN,AD±DN，二NABN=NADN=90°,

在RbANB和RbAND中，

fAN=AN

i.EUABN学ADN,/.zBAN=zDAN,

1AB=AD

•AN是菱形ABCD的角平分线，同理CM也是菱形ABCD的角平分线，设BD与AC交于

点O,

易知四边形BMDN是菱形，®SAOMB=SAONB=SAOMD=SAOND=a,

•.四边形BMDN的面积是菱形ABCD面积的告,

5

•,.SAAMB=SAAMD=SACNB=SACND=4a,

/.AM=4OM,CN=4ON,设ON=OM=k,贝UAM=CN=4kz

•.■AABO-ABNO,/.OB2=OA»ON=5k2,

22

.•QB=V^k,AB=AD=^Q+Qg=V30k,

•.-AD.BH=-»BD«AO,..BH=AQ，BD=-V6k，

22AD3V

•・AH=JAB?-BH2=J30k22=1V而k,

k

.,cosA.#=fV304

研V^T3

故答案为：

总结：本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性

质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，学会利用面积法求线

段，所以中考常考题型.

【难度系数】4

：：□俐股睛陈

【题目3.11

(2018黄浦区二模)如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点。

(1)求证：BE=BF;

(2)当ABEF为等边三角形时,求证：zD=2zA.

【答案】(1)BE=BF;(2)zD=2zA.

【解析】试题分析：(1)根据菱形的性质得至UAB=CB,AD=CD,zA=zC,再根据中点

的定义得到AE=CF,根据SAS可证ABAE学BCF,根据全等三角形的性质得到BE=BF即可;

(2)作辅助线，先根据线段垂直平分线的逆定理证明BD是EF的垂直平分线，由等边三

角形三线合一得：EG=FG,ZEBG=4ZEBF=30°,设EG=x，贝UBE=2x,BG=J^x,根据

中位线定理得：AO=2EG=2x,OB=^x,证明ABHO^ABEG,列比例式可得OH="1x,

JO

A4

BH=£X,再求AH=£X,贝UAH=BH,可得NDAB=60°,NADC=120°,从而得出结论.

DJ

证明：(1)•.四边形ABCD是菱形，

;.NA=NC,AB=BC=AD=CD,

,•点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点，,AE=《AD,CF=^CD,

.-.AE=CF,AABE^CBF(SAS),/.BE=BF;

(2)如图，连接AC、BD交于点。，设BD与EF交于G,AC与BE交于H,则AC,BD,

■.BE=BF,ED=DF,..BD是EF的垂直平分线，

.-.EG=FG,zEBG=yzEBF=30°,

RbBEG中，设EG=x,贝UBE=2x,BG=«x,

■.EGIIAO,E为AD的中点,/.G是OD的中点,

..AO=2EG=2x,OB=^^x,

3

•.OHllGE,.'.ABHO-ABEG,

.OH_0B_BH.0H=_2=BH

z

,,前二BG二BE，27'

949

.-.OH=4X,BH=-x,.-.AH=AO-OH=2x--x

333

..AH=BH，,NHAB=NABH,

■.NBHC=NHAB+NABH=60°,；.NHAB=30°,

;.NDAB=60°,..NADC=120°,

.-.zADC=2zDAB,即ND=2NA.

总结：此题主要考查学生对菱形的性质，全等、相似三角形的判定，三角形的中位线定理

及等边三角形的性质等知识的理解及运用，第二问有难度，证明BD是EF的中垂线是关键。

【难度系数】4

-：©：-题型梳理4：正方形的性质和判定

【题目】

(2015•闸北区模拟)如图，在RfABC中，zBAC=90°,AD=CD,点E是边AC的中点,

连接DE,DE的延长线与边BC相交于点F,AGIIBC,交DE于点G,连接AF、CG.

(1)求证：AF=BF;

(2)如果AB=AC,求证:四边形AFCG是正方形.

【答案】(1)AF=BF;(2)四边形AFCG是正方形

【解析】试题分析：(1)根据线段垂直平分线的性质，可得AF=CF,再根据等角的余

角相等可得NB=NBAF,所以AF=BF.

(2)由AAS可证AAEG当CEF,所以AG=CF.由一组对边平行且相等的四边形是平行四

边形得四边形AFCG是平行四边形，进而证得四边形AFCG是菱形，最后根据有一个角为

直角的菱形是正方形得证四边形AFCG是正方形.

证明：(1)[AD=CD,点E是边AC的中点，

.'.DE±AC.

即得DE是线段AC的垂直平分线.

.-.AF=CF.

.,.zFAC=zACB.

在RfABC中，由NBAC=90°,

得NB+NACB=90°,zFAC+zBAF=90°.

;.NB=NBAF.

.-.AF=BF.

(2)•••AGllCF,.-.zAGE=zCFE.

又..点E是边AC的中点,/.AE=CE.

在MEG和ACEF中,

rZAGE=ZCFE

<NAEG=NCEF,

AE=CE

.“AEG学CEF(AAS).

.-.AG=CF.

又「AGUCF,四边形AFCG是平行四边形.

.AF=CF,.•.四边形AFCG是菱形.

在RbABC中，由AF=CF,AF=BF,得BF=CF.

即得点F是边BC的中点.

又.AB=AC,..AF_LBC.即得NAFC=90°.

四边形AFCG是正方形.

总结：本题考查的是正方形的判定方法，考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定

与性质等基础知识的灵活运用，判别一个四边形是正方形主要是根据正方形的定义及其性

质.

【难度系数】4

M俐股晡诵

【题目4.11

（2016春•浦东新区期末）如图,已知矩形ABCD中，点E是CD边上的一点，连结BE,

过点A作AF±BE.垂足为点F,且AF=BE,过点F作MNIIBC,与AB、CD边分别交于

点M、N,求证：四边形AMND为正方形.

【答案】四边形AMND为正方形

【解析】试题分析：由四边形ABCD是矩形，得到两组对边平行，四个角为直角，对角线

相等，根据MN与BC平行，得至！］MN与AD平行，可得出四边形AMND是平行四边形，

由一个角为直角的平行四边形是矩形得到AMND是矩形，得到NAMN=90。，根据AF与

BE垂直，得到一对直角相等，利用AAS得到三角形AFM与三角形BEC全等，利用全等三

角形对应边相等得到AM=BC,根据AD=BC,得至AM=AD,利用邻边相等的矩形是正方

形即可得证.

证明：1.四边形ABCD是矩形，

.-.ADllBC,ABIICD,zBAD=zC=zABC=90°,BC=AD,

•.MNllBC,

..MNHAD,

又，从81。,

二四边形AMND是平行四边形，

又.NBAD=90°,

二四边形AMND是矩形，

.-.zAMN=90°,

-.AF±BE,

.-.zAFB=90°,

•.zAFB+zABF+zBAF=180°,

.-.zABF+zBAF=90°,

又.NABC=NABF+NEBC=90°,

.-.zBAF=zEBC,

在AAFM和ABEC中,

2FAM=NEBC

<ZAMF=ZC=90°,

AF=BE

."AFM9BEC(AAS),

.-.AM=BC,

又.AD=BC,

..AM=AD,

又.四边形AMND是矩形，

二四边形AMND是正方形.

总结：此题考查了正方形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握正方形

的判定方法是解本题的关键.

【难度系数】4

题型梳理5：梯形的性质与判定

【题目】

[2016徐汇区一模】如图,梯形ABCD中，ADIIBC,NBAC=90°,AB=AC,点E是边

AB上的一点，NECD=45°,那么下列结论错误的是（）

A.NAED=NECBB.NADE=NACEC.BE=V^ADD.BC=«CE

【答案】D

【解析】试题分析：根据等腰直角三角形的性质得出BC=V2AC,从而证得BCH&CE,

根据平行线的性质彳导出NDAC=NACB=45°,证得NDAC=NABC,因为NACD=NBCE,证得

△DAJEBC,得出第=与，——V2，从而证得BE=&AD,进一步证得的3

DEC,得出NEDC=NBAC=90°,从而证得A、D在以EC为直径的圆上，根据圆周角定理

证得NAED=NACD=NECB,zADE=zACE,根据以上结论即可判断.

解:•.zBAC=90°,AB=AC,"ABC=NACB=45°,.收=扬（：,

/EC>AC,/.BC/V2CE,

■.ADIIBC,NECD=45°,；.NDAC=NACB=45°,

R.NDAC=NABC,NACD=NBCE,

.“DAJEBC,.•.需需

DCAC

./ACB=NECD=45°,..AABJADEC,

.-.zEDC=zBAC=90°,,AD在以EC为直径的圆上，

.-.zAED=zACD,zADE=zACE,

•••zACD=zECB,/.zAED=zECB,

“DAJEBC,.•.需兽=&,/.BE=V2AD,

AUAU

故选：D.

总结：本题考查了梯形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性质，圆周角

定理等，熟练掌握这些性质定理是解题的关键.

【难度系数】4

砺股晡昧

【题目5.1]

（2016杨浦区二模）如图,在直角梯形纸片ABCD中，DC〃AB,AB>CD>AD,

NA=90°,将纸片沿过点D的直线翻折，使点A落在边CD上的点E处，折痕为DF,联

结EF并展开纸片；

（1）求证：四边形ADEF为正方形;

（2）取线段AF的中点G,联结GE,当BG=CD时，求证：四边形GBCE为等腰梯形.

【答案】（1）四边形ADEF为正方形；（2）四边形GBCE为等腰梯开么

【解析】试题分析：（1）通过翻折全等证出正方形；（2）等腰梯形的证明要满足上下底

平行，两腰相等.

(1)-.CD//AB,R.NADE=NA=90°,

由翻折性质，知AADF=AEDF,/.ZA=ZDEF=90°,.•.四边形ADEF为矩形，

ZADF=ZFDE=45°,...DA=AF,二四边形ADEF为正方开乡;

(2)连接DG,EG,

.BG=CD,AB/1CD,

二四边形DGBC为平行四边形，，BC=DG,

又.AG=GF,AD=EF,ZA=ZEFA=9Q°,

AGD=FGE，=EG=DG，,BC=EG,

•."G//CE且不相等，二四边形GBCE为等腰梯形.

总结：本题综合性较强，一方面考查翻折的性质，另一方面考查特殊的平行四边形的性质

的运用.

【难度系数】4

M课后嫉习

【题目】四句1

如图，已知AABC和AADE都是等边三角形，点D在边BC上，点E在边AD的右侧，联结

CE.

(1)求证：zACE=60°;

(2)在边AB上取一点F,使BF=BD,联结DF、EF.求证：四边形CDFE是等腰梯形.

【答案】(1)zACE=60°;(2)四边形CDFE是等腰梯形

【解析】试题分析：(1)根据NBAD+NCAD=60°,NEAC+NCAD=60°,得至！UBAD=N

EAC,证明AABD*ACE,得到答案；

(2)证明四边形BCEF是平行四边形，得至I」EFIIBC,再证明DF=CE即可.

证明：(1)•"ABC和3DE都是等边三角形，

.-.zBAD+zCAD=60°,zEAC+zCAD=60°,

.,.zBAD=zEAC,

在AABD和MCE中,

'AB=AC

<ZBAD=ZCAE

AD=AE

.“ABD学ACE,

.-.zACE=zABD=60°;

(2).NACE=60°,zABD=60°,zACB=60°,

.'.ECllAB,

■.BF=BD,BD=CE,;.BF=CE,

二四边形BCEF是平行四边形，

.-.EFllBC,

.NABD=60°,BF=BD,

.-.BF=DF,又BD=CE,

..DF=CE,EFllBC,

二四边形CDFE是等腰梯形.

【难度系数】4

【题目】彼习2

(2015•江宁区二模)如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,AH垂直BC,点E是AH上一

点，延长AH至点F,使FH=EH,

(1)求证：四边形EBFC是菱形；

(2)如果NBAC=NECF,求证:AC±CF.

【答案】(1)四边形EBFC是菱形；(2)AC，CF

【解析】试题分析：(1)根据题意可证得ABCE为等腰三角形，由AH±CB,则BH=HC,

从而得出四边形EBFC是菱形；

(2)由(1)得/2=/3，再根据NBAC=NECF,得N4=N3，由AH±CB，得N3+N1+Z2=90°,

从而得出AC±CF.

证明:(1)-,AB=AC,AH±CB,

.-.BH=HC.

•,FH=EH,

二四边形EBFC是平行四边形.

X/AH±CB,

二•四边形EBFC是菱形.

(2)证明:..四边形EBFC是菱形.

.•.Z2=Z3=yZECF.

-,AB=AC,AH±CB,

吟NBAC.

­.zBAC=zECF

;.N4=N3.

■.AH±CB

.•.N4+N1+N2=90°.

R.N3+N1+N2=90°.

即：AC±CF.

【难度系数】4

【题目】体.习3

(2018演浦区二模)如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点.

(1)求证:BE=BF;

(2)当ABEF为等边三角形时，求证：zD=2zA.

【答案】(1)BE=BF;(2)zD=2zA

【解析】试题分析：(1)根据菱形的性质得到AB=CB,AD=CD,zA=zC,再根据中点

的定义得到AE=CF,根据SAS可证△BAE%BCF,根据全等三角形的性质得到BE=BF即可；

(2)作辅助线，先根据线段垂直平分线的逆定理证明BD是EF的垂直平分线，由等边三

角形三线合一得：EG=FG,zEBG=^zEBF=30°,设EG=x,贝！|BE=2x,BG=J^x,根据

中位线定理得：AO=2EG=2x,0B=2&X,证明ABHO-ABEG,列比例式可得0H=^x,

JJ

44

BH=£X,再求AH=《x,贝UAH