人教B版高中数学必修第一册3-2第1课时函数的零点练习含答案

3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点基础过关练题组一函数的零点1.下列图象对应的函数中没有零点的是()2.已知x=-1是函数f(x)=ax+b(a≠0)的一个零点,则函数g(x)=ax2A.-1,1B.0,-1C.1,0D.2,13.(2024江苏南通期末)若函数f(x)=ax2+4x-1在(-1,1)上恰有一个零点,则实数a的值可以为(写出一个即可).

4.函数f(x)=x2-25.判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=x2+x+2;(3)f(x)=x2题组二二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系6.(2023重庆巴蜀中学期中)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则不等式cx+A.x|C.x7.(2024浙江温州期中)若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-3<x<2},则函数y=ax2+x-c的零点为()A.(3,0)和(-2,0)B.(-3,0)和(2,0)C.2和-3D.-2和38.关于x的不等式x2-mx+1>0的解集为R,则实数m的取值范围是()A.{m|0<m<4}B.{m|m<-2或m>2}C.{m|-2≤m≤2}D.{m|-2<m<2}9.(2023上海师范大学附属中学期末)设a∈R,则“a≥0”是“关于x的不等式ax2+5x+a≥0有解”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.(2024广东清远期中)已知函数f(x)=ax2+bx+c的两个零点分别为-2,3,且f-b2a①a>0;②不等式ax+c>0的解集为{x|x<6};③a+b+c>0;④不等式cx2-bx+a<0的解集为x|题组三函数零点的存在性及其应用11.(2024江西景德镇期末)函数f(x)=13x3A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)12.(2024江苏宿迁期中)已知二次函数y=x2-6x+m的两个零点都在区间[2,+∞)内,则实数m的取值范围是()A.(-∞,9)B.(8,9)C.[8,9)D.(8,+∞)13.(多选题)(2023江苏扬州期中)已知函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,若f(a)f(b)<0,则在区间[a,b]上()A.方程f(x)=0没有实数根B.若函数f(x)单调,则f(x)=0必有唯一的实数根C.方程f(x)=0至多有一个实数根D.若函数f(x)不单调,则f(x)=0至少有一个实数根14.(2023辽宁鞍山期中)函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1)>0,f(2)<0,则f(x)在(1,2)上的零点()A.至多有一个B.有1个或2个C.有且仅有一个D.一个也没有15.(2023浙江宁波九校期末)已知函数f(x)=x-A.(0,+∞)B.(0,+∞)∪{-1}C.[0,+∞)D.(-1,+∞)16.(2023北京二中月考)若函数f(x)=3ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则a的取值范围是.

17.(2024广东佛山期中)已知函数f(x)=x(1)若a=0,作出函数f(x)的图象并求f(x)的单调递减区间;(2)讨论关于x的方程f(x)=0的解的个数.18.已知关于x的一元二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有两个实数根,其中一个根在区间(-1,0)内,另一个根在区间(1,2)内,求m的取值范围;(2)若方程有两个不相等的实数根,且均在区间(0,1)内,求m的取值范围.能力提升练题组一函数的零点1.(2023吉林长春期中)已知“不小于x的最小的整数”所确定的函数通常记为f(x)=<x>,例如:<1.2>=2,则方程<x>=34A.1个B.2个C.3个D.无数个2.(2024重庆渝北期中)定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象分别如图①,图②所示.给出下列四个命题,其中正确的命题是()A.方程f(g(x))=0有且仅有三个解B.方程g(f(x))=0有且仅有三个解C.方程f(f(x))=0有且仅有九个解D.方程g(g(x))=0有且仅有九个解题组二函数零点的存在性及其应用3.(2024山东日照期中)已知函数f(x)的图象在区间[1,3]上连续不断,则“f(1)+f(2)+f(3)=0”是“f(x)在[1,3]上存在零点”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2024福建南平期中)已知f(x)的定义域为R,且f(x+1)是奇函数,当x>1时,f(x)=2-A.3B.4C.5D.65.(多选题)(2023江苏南京六校联合体期中)已知函数f(x)是偶函数,且当x≥0时,f(x)=4xA.当m=0时,方程有4个不等实根B.当0<m<1时,方程有6个不等实根C.当m=1时,方程有4个不等实根D.当m>1时,方程有6个不等实根6.(2023四川泸州泸县四中开学考试)已知关于x的函数f(x)=bx2-2bx+|x-1|+b2+b-4有唯一零点x=a,则a+b=()A.-1B.3C.-1或3D.47.(2024山东淄博实验中学期中)写出一个同时具有下列性质①②③的函数:f(x)=.

①定义域为R,值域为[-1,+∞);②f(x)在定义域内是偶函数;③f(x)有3个零点.8.已知函数f(x)=x2-x+1x(1)用定义证明f(x)在(0,1)上单调递减;(2)证明f(x)存在两个零点a,b,且a+b>2.

答案与分层梯度式解析3.2函数与方程、不等式之间的关系第1课时函数的零点基础过关练1.A2.C6.D7.D8.D9.A11.B12.C13.BD14.C15.A1.A选项B,C,D中的图象均与x轴有交点,故其对应的函数均有零点;选项A中的图象与x轴没有交点,故其对应的函数没有零点.故选A.2.C因为x=-1是函数f(x)=ax+b(a≠0)的一个零点,所以-a+b=0,所以a=b,所以g(x)=ax2-bx=ax2-ax=ax(x-1)(a≠0),令g(x)=0,得x=0或x=1.故选C3.答案0(答案不唯一)解析当a=0时,f(x)=4x-1,令4x-1=0,得x=14因为14∈4.答案2解析当x≤0时,令x2-2=0,解得x=-2(正值舍去),所以f(x)在(-∞,0]上有且仅有一个零点.当x>0时,令2x-6-1x=0,得2x2-6所以f(x)在(0,+∞)上有且仅有一个零点.综上所述,函数f(x)的零点个数为2.5.解析(1)f(x)=-8x2+7x+1=-(8x+1)(x-1),令f(x)=0,解得x=-18所以函数f(x)存在零点,零点为-18(2)令x2+x+2=0,因为Δ=12-4×1×2=-7<0,所以方程无实数根,所以f(x)=x2+x+2不存在零点.(3)f(x)=x2令(x6.D由题中二次函数的图象可得,a>0,且1和2是方程ax2+bx+c=0的两个根,所以1+2=-ba,1×2=ca,7.D解析因为不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-3<x<2},所以方程ax2-x-c=0的两根分别为-3,2,且a<0,由根与系数的关系得-故函数y=ax2+x-c=-x2+x+6=-(x+2)(x-3),其图象与x轴的交点坐标为(3,0)和(-2,0),所以函数y=ax2+x-c的零点为-2和3.8.D∵不等式x2-mx+1>0的解集为R,∴函数y=x2-mx+1的图象恒在x轴上方,∴方程x2-mx+1=0无实数解,∴Δ<0,即(-m)2-4<0,解得-2<m<2,∴实数m的取值范围是{m|-2<m<2}.故选D.9.A对于不等式ax2+5x+a≥0,①当a=0时,不等式为5x≥0,∴x≥0,不等式有解;②当a>0时,ax2+5x+a≥0一定有解;③当a<0时,若ax2+5x+a≥0有解,则Δ=25-4a2≥0,∴-52≤a<0.综上,当且仅当a≥-52时,不等式ax2+5x+a∵[0,+∞)⫋-52,+∞,∴“a≥0”是“关于x的不等式ax2+5x+a10.答案②③④解析由题意得,-2和3是方程ax2+bx+c=0的两根,所以-对于①,由f-b2a对于②,不等式ax+c>0可化为x-6<0,解得x<6,故②正确;对于③,a+b+c=a-a-6a=-6a>0,故③正确;对于④,不等式cx2-bx+a<0可化为6x2-x-1<0,解得-13<x<11.B易知f(x)为R上的增函数,因为f(0)=-2<0,f(1)=-23<0,f(2)=83>0,f(3)=10>0,f(4)=70312.C设f(x)=x2-6x+m,因为二次函数y=x2-6x+m的两个零点都在区间[2,+∞)内,所以Δ=(-6故实数m的取值范围是[8,9).13.BD由函数零点存在定理,知函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点,所以若函数f(x)不单调,则f(x)=0至少有一个实数根;若函数f(x)单调,则函数f(x)有唯一的零点,即f(x)=0必有唯一的实数根,故选BD.14.C若a=0,则f(x)=bx+c,是一次函数,由f(1)>0,f(2)<0,得f(1)f(2)<0,则f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.若a≠0,则f(x)=ax2+bx+c是二次函数,由f(1)>0,f(2)<0,得f(1)f(2)<0,则f(x)在(1,2)上必有零点.若f(x)在(1,2)上有两个零点,则必有f(1)f(2)>0,与已知矛盾,故f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点.综上所述,f(x)在(1,2)上的零点有且仅有一个.15.A作出y=f(x)的大致图象,如图所示:若g(x)=f(x)-k有2个零点,则f(x)=k有两个不相等的实数根,即直线y=k与函数y=f(x)的图象有两个交点,由图可知,k>0.故选A.16.答案a>15解析当a=0时,f(x)=1,f(x)在(-1,1)上不存在零点,不满足题意,故a≠0,易知f(x)在(-1,1)上单调,且其图象连续不断,若f(x)在(-1,1)上存在一个零点,则f(-1)·f(1)<0,即(-3a+1-2a)(3a+1-2a)<0,解得a<-1或a>1517.解析(1)当a=0时,f(x)=x2由图象可知,f(x)的单调递减区间为(-1,1).(2)当x=0时,f(x)=0,∴x=0是方程f(x)=0的一个解;由f(x)=0(x≠0)得a=-令g(x)=-x2+2作出g(x)的图象如图所示,由图可知,当a∈(-∞,0]∪{1}时,g(x)的图象与直线y=a有两个交点;当a∈(0,1)时,g(x)的图象与直线y=a有四个交点;当a∈(1,+∞)时,g(x)的图象与直线y=a无交点.综上所述,当a∈(-∞,0]∪{1}时,方程f(x)=0有三个解;当a∈(0,1)时,方程f(x)=0有五个解;当a∈(1,+∞)时,方程f(x)=0有且仅有一个解.18.解析令f(x)=x2+2mx+2m+1.(1)依题意画出函数f(x)的大致图象,如图所示,由图象得f(-1)故m的取值范围是-5(2)根据题意画出函数f(x)的大致图象,如图所示,由图象得Δ解得-12故m的取值范围是-1能力提升练1.B2.A3.A4.C5.BC6.B1.B在同一平面直角坐标系中作出函数f(x)=<x>与y=34两函数图象在(0,+∞)上仅有两个交点,故方程<x>=34x+122.A由题图①可得f(x)有三个零点,设为x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则x1,x2∈(-a,0),x3=a.由题图②可得g(x)有且仅有一个零点,设为x4,则x4∈(0,a).对于A,f(g(x))=0即g(x)=x1,x2或x3,由题图②可知g(x)∈[-a,a],且g(x)单调递减,g(x)=x1,g(x)=x2,g(x)=x3分别有一解,∴方程f(g(x))=0有且仅有三个解,A正确.对于B,g(f(x))=0即f(x)=x4,由题图①知,f(x)=x4有且仅有两个解,B不正确.对于C,f(f(x))=0即f(x)=x1,x2或x3,由题图①知,f(x)=x1和f(x)=x2分别有三个解,f(x)=x3仅有一个解,所以共有七个解,故C不正确.对于D,g(g(x))=0即g(x)=x4,由题图②知,g(x)=x4仅有一个解,故D不正确.3.A若f(1),f(2),f(3)三个值中存在0,则f(x)在[1,3]上显然存在零点,若f(1),f(2),f(3)三个值均不为0,不妨设f(1)≥f(2)≥f(3),因为f(1)+f(2)+f(3)=0,所以f(1)>0,f(3)<0,则f(1)f(3)<0,根据函数零点存在定理可知f(x)在[1,3]上存在零点,所以充分性成立;当f(x)在[1,3]上存在零点时,不一定能得到f(1)+f(2)+f(3)=0,例如f(x)=(x-2)2,此时f(x)的零点为2,但f(1)+f(2)+f(3)=2≠0,所以必要性不成立.综上可得,“f(1)+f(2)+f(3)=0”是“f(x)在[1,3]上存在零点”的充分不必要条件.4.C因为f(x+1)是奇函数,所以f(x+1)的图象关于原点对称,则f(x)的图象关于(1,0)对称,且f(1)=0.因为函数g(x)=k(x-1),k>0,所以g(x)的图象关于(1,0)对称.方程f(x)=g(x)的所有根之和即为两个函数图象交点的横坐标之和,画出f(x)和g(x)的大致图象,如图所示:由图可知,f(x)和g(x)的图象有5个交点,其中一个交点的横坐标为1,另外四个,两两关于点(1,0)对称,所以5个交点的横坐标之和为2×2+1=5.5.BC当0≤x≤4时,f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4∈[0,4],当x>4时,f(x)=x-4由图可知,当m=0时,y=f(x)的图象与直线y=m有3个交点,即方程f(x)-m=0有3个不等实根,A错误;当0<m<1时,y=f(x)的图象与直线y=m有6个交点,即方程f(x)-m=0有6个不等实根,B正确;当m=1时,y=f(x)的图象与直线y=m有4个交点,即方程f(x)-m=0有4个不等实根,C正确;当1<m<4时,y=f(x)的图象与直线y=m有4个交点,即方程f(x)-m=0有4个不等实根,当m=4时,y=f(x)的图象和直线y=m有2个交点,即方程f(x)-m=0有2个不等实根,当m>4时,y=f(x)的图象和直线y=m没有交点,即方程f(x)-m=0没有实根,D错误.故选BC.6.Bf(x)=bx2-2bx+|x-1|+b2+b-4=b(x-1)2+|x-1|+b2-4,令t=x-1,则g(t)=bt2+|t|+b2-4,易得g(t)是偶函数,若g(t)只有一