广东省惠阳区某中学人教版高中数学必修一学案：函数的基本性质

必修一第一章第3单元

第一课时：1.3-1函数的单调性(1)(课前先学案)

【自主学习】精读课本P22第二段一P23,P15—P17,完成课前先学案

【学习目标】

1、理解函数的单调性定义；

2、会判断函数的单调区间、证明函数在给定区间上的单调性。

【知识梳理】

(一)函数的单调性、增函数、减函数的概念

一般地，设函数f(x)的定义域为A,区间对于M内的任意两个自变量小、xz,

如果任意x《xz,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间M上是增函数;

如果任意X〈X2,都有f(X|)>f(X2),那么就说f(x)在区间M上是减函数.

如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有单调

性，M称为函数f(x)的单调区间.

要点诠释：

[1]关键字词：“任意”和“都”；

[2]关系：单调性是函数的局部性质，而定义域和值域是函数的整体性质；

[3]单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质(一致则增，相

反则减)；

[4]不能随意合并两个单调区间，每一个单调区间必须最大化，单独的一个点没有单调变化。

(二)证明函数单调性的步骤：

(1)取值：设玉，々是/(X)定义域内一个区间上的任意两个量，且西<工2；

(2)比较大小：一般用作差法比较大小，然后变形(变形方法：因式分解、配方、有理

化等)；

(3)定号(依据符号法则判断变形后式子的符号)并得出结论。

(三)函数单调性的判断方法：

1、图象法(适合于有图且不需要详细过程的题)；

2、定义法(适合于函数单调性的证明题)；

【预习自测】

1、画出下列(初中)函数的图像，然后判断其单调性并写出其单调区间。

(1)/(x)=2x+l：(2)/(x)=-2x+l；(3)/(x)=3；(4)

/(%)=—

第一课时：1.3-1函数的单调性（1）（上课正学案）

【课堂检测】

1、依据函数图象，判断下列函数的单调性并指出其单调区间。

(4)

【拓展探究】

例1.用定义法证明函数f(x)=x+，在区间(0,1］上是减函数.

【当堂训练】

2

1、用定义法证明函数f(x)在区间(2,7］上是减函数.

x-1

【小结与反馈】

[1]证明函数单调性要求使用定义；

[2]如何比较两个量的大小？（作差）

[3]如何判断一个式子的符号？（对差适当变形）

第一课时：L3T函数的单调性(1)(课后温学案)

【课外拓展】

必做：

1.书P39A组TL2,3

选做(考重点大学必做):

1

1、证明函数八幻在(0,+00)上的单调性.

y/x

2、已知函数f(x)在(0,+8)上是减函数，比较fS'-a+l)与/(：3)的大小.

参考答案:

1、证明：在(0,+8)上任取X］、X2,且X2>X1,则

玉-x

/(工2)-/(%)2

+厄)

Vxi>0,x2>0,>0,>0,Xj-x2<0

,

...上式<0,..f(x2)-f(x1)<0

f(x)=在(0,+oo)上递减.

yJX

133

2、解：a2-a+l=(a—)2+->->0

244

又f(x)在(0,+8)上是减函数，则/(/-a+DW

第二课时：L3-2函数的单调性(2)--最值(课前先学案)

【自主学习】精读课本P30

【学习目标】

求函数的最大值或最小值。

【知识梳理】

(一)、最值的定义(书P30)：

1、设函数f(x)的定义域为I,若一存在一个实数M满足以下两个条件:

(1)任意xel,都有f(x)WM恒成立；(2)存在x°el,使得f(x0)=M；

则称M为函数f(x)的最大值。

2,设函数f(x)的定义域为I,若一存在一个实数M满足以下两个条件：

(1)任意xel,都有f(x)NM恒成立；(2)存在X°GI,使得f(x0)=M；

则称M为函数f(x)的最小值。

(二)、最值的求法：

1、依据函数的图象求最值；

2、依据函数在已知区间上的单调性求最值。

【预习自测】

1、已知函数f(x)在区间［-6,5］的图象如下图,求：

(1)当xe［-6,5］时，f(x)的最大值为,f(x)的最小值为,f(x)的值域

为:

(2)当xd(-6,5)时，f(x)的最大值为,f(x)的最小值为,f(x)的值域

为;

(3)当xG［-l,1］时，f(x)的最大值为,f(x)的最小值为,f(x)的值域

为;

(4)当xC(-1,1)时，f(x)的最大值为,f(x)的最小值为,f(x)的值域

为o

(5)当xd(-5,3)时，f(x)的最大值为,f(x)的最小值为,f(x)的值域

为。

2、已知函数f(x)=x?-2x+3,求

(1)作函数f(x)的图象，并指出其单调区间；

(2)函数f(x)在区间x£[-l,1]的最大(小)值以及值域;

(3)函数f(x)在区间x£[l,2]的最大(小)值以及值域；

(4)函数f(x)在区间xe[-2,2]的最大(小)值以及值域。

思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.

第二课时：1.3-2函数的单调性(2)--最值(上课正学案)

【课堂检测】

1+3x

1、已知函数f(x)=7亍.

(1)证明：函数f(x)在区间(；,+8)上单调递增；

⑵当XG[1,3]时,求函数f(x)的值域.

【拓展探究】

例1、已知函数f(x)=x*-2x+3,求函数f(x)在区间xG[a-1,a+1]的最小值。

【当堂训练】

1、已知函数f(x)=-x?-2x+3,求函数f(x)在区间xe[a-l,a+1]的最大值。

【小结与反馈】

二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像.当对称轴与所给定义域区间的相对

位置关系不确定，则需分类讨论.

第二课时：1.3-2函数的单调性(2)--最值(课后温学案)

【课外拓展】

必做：

1、求下列函数的最大值、最小值和值域：

(1)f(x)=x2-2x-3,%e[2,4]；(2)f(x)=x2-2x-3,xe[^4,2]

(3)/(x)=4x2-3x+4：(4)y=V-x2+2x+8,

2、2知函数f(x)=/+4x+3,求函数f(x)在区间xe[a-l,a+1]的最小值。

3、己知函数f(x)=-x'+4x+3,求函数f(x)在区间xG[a-1,a+1]的最大值。

选做：

已知函数f(x)=-x?+4x+3,求函数f(x)在区间xG[a-1,a+1]的最大值和最小值。

第三课时：1.3-3函数的单调性(3)——应用篇(课前先学案)

【预习自测】

1、已知二次函数f(x)=x?-2x+5,判断下列说法是否正确(体会三种说法的细微差别)。

(1)f(x)的单调递增在区间是(1,+8)；

(2)f(x)在区间(2,3)上是增函数;

(3)f(x)在区间(2,3)上是单调函数.

2、最值与不等式恒成立问题：

已知函数f(x)的定义域为I和实数M,判断下列说法是否正确。

(1)若f(x)max=M,则任意xel,都有f(x)«M恒成立；

(2)若任意xel,都有f(x)WM恒成立，则

(3)若f(x)mm=M,则任意xel,都有f(x)NM恒成立;

(4)若任意XGl,都有f(X)NM恒成立，则f(X)mm=M:

第三课时：1.3-3函数的单调性(3)——应用篇(上课正学案)

【拓展探究】

例1、已知二次函数f(x)=x,-2(aT)x+5求实数a的取值(范围)。

(1)f(x)的单调递增在区间是(；,+8);

(2)f(x)在区间(；，1)上是增函数；

(3)f(x)在区间(；』)上是单调函数.

例2、最(界)值与不等式恒成立问题：

已知函数f(x)=2x-l,

(1)若任意xe[—1,2],都有f(x)<M恒成立，求实数M的取值范围;

(2)若任意xe[—l,2],都有f(x)>M恒成立，求实数M的取值范围;

(3)若任意xe(—1,2),都有f(x)<M恒成立，求实数M的取值范围;

(4)若任意xe(-l,2),都有f(x)>M恒成立，求实数M的取值范围;

例3、(06年江西改编)已知f(x)=x?+ax+1,若f(x)20对于一切xw(0,—)恒成立，求

2

实数a的取值范围。

【当堂训练】

1、设函数f(x)=(3a-1)x+a,x£［0,1］,若恒成立，求a的取值范围.

点拨：为使得函数在［0,1］上恒有f(x)W1成立，只需使在区间［0,1］上的f(x)最大

值W1即可，但解析式中一次项系数含字母，故需分情况讨论以确定自变量取何值时函数有

最大值，最大值是多少.

【小结与反馈】

1、若能够取得到相应的最值，那么不等式恒成立问题常转化为函数的最值问题

(1)f(x)>m恒成立，即/(X)min>m；(2)f(x)〈m恒成立，即/(X)max<m；

2、若不能够取得到相应的最值，那么不等式恒成立问题常转化为函数的界值问题.

对于界值的取舍可以依据图形进行单独的判断。

第三课时：1.3-3函数的单调性(3)——应用篇(课后温学案)

【课外拓展】

1、(05天津卷改编)若函数/(x)=V一℃在区间(_g,O)内单调递增，求实数a的取值范

围；

若函数/(幻=/一公：在区间(_g,O)内单调,

2、求实数a的取值范围；

3、已知函数f(x)=:x2-2ax+a2-1.

(1)若函数f(x)在区间［0,2］上是单调的，求实数a的取值范围；

(2)当x£［-1,1］时，求函数f(x)的最小值g(a),并画出最小值函数y=g(a)的图象.

4、函数f(x)=x?-ax+3在［-2,2］上恒有f(x)2a,求实数a的取值范围。

第4题参考答案

解：由题意知：在［-2,2］上有/(X)minN。成立,

2

又f(x)=x?-QX+3=(x--|-)2+3—5，所以曲线y=f(x)的对称轴为直线x,

开口向上

(1)当@＜一2即av-4时，对称轴x=3在所给区间的左外侧，有

22

/(x)min=/(-2)>a,即4+2a+3—a20,解得a2—7,A-7^a<-4

2°当一2<@K2即-4WaW4时，对称轴x=色在所给区间［-2,2］之间，有

22

22

/（x）min=/（］）2a，即?一;+32a,化简为：«2+4«—12<0,

解得-6WaW2,<a<2

3°当@>2即a>4时，对称轴x=色在所给区间［-2,2］的右外侧，有

22

7

/（x）min=/（2）Na,即4-2a+3-a》0,（舍）

综上，-7WaW2。

第四课时：1.3-4函数的奇偶性（课前先学案）

【自主学习】精读课本P33—P36,完成课前先学案

【学习目标】：1、了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法，能证明一些简单

函数的奇偶性；2、初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质。

【知识梳理】

（-）数学常识

1、中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某点旋转180°后的图形与原来的图形完

全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，该点叫做对称中心；

2、轴对称图形：在平面内，把一个图形沿一条直线折叠后两旁的图形完全重合，那么

这个图形叫做轴对称图形，该直线叫做对称轴；

3、点（x（）,%）关于y轴的对称点的坐标是，点（/,%）关于x轴的对称点的的坐标

是,

点（玉）,X））关于原点的对称点的坐标是.

4、“function”的含义：康熙大帝时期的数学家李善兰翻译的单词"function”具有双

含义（"幕"和"函数"）。如：f（x）=X2、f（x）=X4./（x）=x、f（x）=x3>

/（X）=XT=L......等。

X

243

函数y=xy=xy=x

X

图形的对称

性

赛次数的奇

偶

两个对称点

的坐标关系

/(X)与

f(-x)的关

系

(三)偶、奇函数的定义(大学数学教材):

已知函数丁=/(X)的定义域D在数轴上关于原点对称，且对于任意XG。，

(1)/(-x)=/(x)都恒成立O称函数y=/(x)是偶函数.

(2)/(-X)=-/(x)都恒成立O称函数y=/(x)是奇函数.

如果函数^=/(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数y=，(x)具有奇偶性.

说明：1.“任意”、“恒成立”等关键词，奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x

都必须成立；

2.前提条件：奇、偶函数的定义域(数集)在数轴上关于原点对称.

如果一个函数的定义域不关于原点对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；

(四)判断函数奇偶性的方法：

1.图像法：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于)，轴对称；

2.定义法(三步)：判断定义域关于原点对称=>/(—%)与/(%)的关系n作结论。

第四课时：1.3-4函数的奇偶性(上课正学案)

【课堂检测】

1、判断下列函数的奇偶性(定义法或者图象法)：

X^(X4-

(1)f(x)=x2(-2<x<3)：(2)/(x)=x2(-2<x<2)：(3)/(x)=:----------,(4)

x+1

/(x)=|x|+2

【拓展探究】

例1、判断下列函数的奇偶性：

(1)/(X)=3X6-8X4+5X2-9,(2)/(x)=1lx7-3x5+4x3-x,(3)/(x)=0：

小结：1.根据函数的奇偶性的定义进行判断.

2.根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不

是奇函数也不是偶函数；

3、整式函数的奇偶性与赛指数的关系：

4、整式函数的奇偶性的加减规律：

【当堂训练】

1、判断下列函数的奇偶性：

(1)/(%)=x12+%8+x4+x2+9；(2)/(%)=x"+x9+x5+x3+9%；(3)

f(x)=;

第四课时：1.3-4函数的奇偶性（课后温学案）

【课外拓展】

必做：

1、判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=X2-4|x|+3;

\Jl-X2

⑶f(x)=|x+3|-|x-3|(4)”x)=

\x+2\-2

⑸/(x)=:[g(x)—g(—x)](xeR)。

第五课时：1.3-5函数的奇偶性和单调性(课前先学案)

【预习自测】

1、己知定义在区间［-5,-1］［1,5］上的函数/(X)的部分图象(如图)，试完成

(1)若函数/(划为偶函数，则/(x)在区间［—5,-1］上的单调,最大值为—，最

小值为_；

(2)若函数/(x)为奇函数，则/(x)在区间［-5,7］上的单调,最大值为—,最小

值为一；

2、已知奇函数/(x)在区间［-5,-1］上单调递增，最大值为3,最小值为-1,则f(x)在区

间［1,5］上的单调,最大值为,最小值为；

3、已知偶函数/(x)在区间［-5,-1］上单调递增，最大值为3,最小值为T,则f(x)在区

间［1,5］上的单调,最大值为,最小值为；

4、已知f(x)=x、ax3-bx,且f(-2)=10,则f(2)=.

第五课时：1.3-5函数的奇偶性和单调性（上课正学案）

【课堂检测】

1、已知函数/（X）=（/〃-2）%2+（加一1»的图象关于原点对称，则实数加的值为—

2、已知函数/（x）=（根-2）f+Q”-l）x+3在区间（a-4,a）上是偶函数，则加=

3、已知f(x)=x、ax3-bx-8,且f(-2)=10,求f(2).

【拓展探究】

y_LZ7

例1、若函数/(x)=］：：；+］在［-U］上是奇函数,求/(X)的解析式。

点拨：奇函数/(X)在其定义域内/(-幻=-/(幻恒成立，因此可以应用恒等式的相关

方法进行处理。

例2、f(X)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x-x,试画出函数图象并求f(x)的解

析式。

【当堂训练】

1、已知奇函数y=/(x)在x=0处有意义，贝”/(0)的值为

2、若偶函数/(x)在上是增函数，则下列关系式中成立的是()

33

A./(--)</(-D</(2)B./(-1)</(--)</(2)

C./(2)</(-1)</(-|)D./(2)</(-|)</(-1)

【小结与反馈】

能利用函数的奇偶性的定义和图象特征解决一些简单的问题.

第五课时：1.3-5函数的奇偶性和单调性(课后温学案)

【课外拓展】

必做：1、已知函数/(x)=(加-1)/+(m—2)x+(加2-7加+12)为偶函数，则，”的值

是;

2、若函数/(x)=(左―2%+g1枳是偶函数，则/(幻的递减区间是

3、设奇函数/(无)的定义域为［—5,5］,若当xe［0,5］时，/(x)的图象如图，则不等

式/(%)<0的解集是；

4、(2008上海改编)设函数/(%)是定义在R上的奇函数，若当xe(0,+co)

时，f(x)=x-\,则(1)/(0)=,

(2)满足了(力>0的x的取值范围是；

5、函数f(x)是定义在［-6,6］上的偶函数，且在［-6,0］上是减函数，则()

A.f(3)+f(4)>0B.f(-3)-f(2)<0C.f(-2)+f(-5)<0D.

f(4)-f(-l)>0

6、(2008全国I)设奇函数/(x)在(0,+8)上为增函数，且/(1)=0,则不等式

/(X)/(—x)<0的解集为()

X

A.(—LO)(1,+oo)B.(—00,-1)(0,1)C.(—oo，-1)(1,4-oo)

D.(-1,0)(0,1)

7、函数/(x)在R上为奇函数，且/(x)=J7+l,x>0,求/(x)的解析式.

选做)1、设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+l,xGR,试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的

最小值.

解:当a=0时,f(x)=x2+|x|+l,此时函数为偶函数；

当a#0时，f(x)=x2+|x-a|+l,为非奇非偶函数.

1,3

(1)当x》a时，f(x)=(x+—)-+a

i13

[1]aw-]时，函数/'(x)在[a,+8)上的最小值为"-5)="a,

且f(-g)<f(a).

[2]a>—g时，函数/'(尤)在[a,+8)上单调递增，

/•/(X)在[。，+30)上的最小值为f(a)=a'l.

13

(2)当x〈a时，f(x)—%2-x4-6?+1—(x--)~+aH—

24

⑴时，函数/'(X)在(-8,可上单调递减，

在(-8,同上的最小值为f(a)=a'l

⑵时，/(X)在(-8,句上的最小值为/(；)=[+a,fLf(1)</(a).

1313

综上：。<-万时，/(X)Lin="a；a>]时，/Wlmin=4+a；

2

时，/U)lmin=a+1»

第六课时：1.3-6抽象函数(课前先学案)

【预习自测】

1、已知函数/(x)的定义域为(—1,1),则

(1)/(1一。)中实数。的取值范围；

(2)_/(1一/)中实数。的取值范围；

2、己知定义在R上的函数/(x)单调递减，且/(1一。)</(«2-1),则实数。的取值范

围—

第六课时：1.3-6抽象函数(上课正学案)

【拓展探究】

例1、已知奇函数f(x)在定义域为(-1,1)内单调递减，解不等式：

/(1-«)+/(1-«2)<0,

-1<1-6Z<1

22

参考答案：/(1-a)<-/(I-a)^f(a-1),则卜1<1一/<1,.0<a<1

\-a>a2-1

例2、已知函数/(x)的定义域是(0,+8),且满足/(盯)=/(x)+/(y),/(-)=1,

如果对于0<x<y,都有/(x)>/(y),(1)求/(I)；⑵解不等式/(—x)+/(3—x)N—2.

参考答案：(1)令x=y=l,则/(1)=/(1)+/(1),/(1)=0

(2)/(-x)+/(3-x)>-2/(1)。/(-%)+/(I)+/(3-x)+/(1)>0=/(I)

=/(-Y/+/(寸3—x)2/⑴x，3-x

-->0

2

3—x

则《二^>0，解得：一lWx<0

2

上工1

22

例3、已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x、y,恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x

2

>0时，f(x)<0,又f(l)=—§.

(1)求证：f(x)为奇函数;

(2)求证:f(x)在R上是减函数;

(3)求f(x)在［-3,6］上的最大值与最小值.

【答案】

(1)证明：定义域R关于原点对称，

令x=y=0,可得f(0)+f(O)=f(0+0),从而f(0)=0.

令■可得f(x)+f(-x)=f(x-x)=0,即f(-x)=-f(x),

故f(x)为奇函数。

⑵证明：设Xi、X2GR,且X1>X2,则XI—X2>0,于是f(X1-X2)<0.

从而f(Xl)-f(X2)=f[(X1-X2)+x2]-f(x2)=f(x「X2)+f(X2)-f(X2)=f(X1-X2)<0.

所以f(x)在R上是减函数。

(3)解析：由(2)知，所求函数的最