2025届北京市顺义区杨镇一中高一下数学期末学业质量监测模拟试题含解析

2025届北京市顺义区杨镇一中高一下数学期末学业质量监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．一个体积为的正三棱柱（底面为正三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱）的三视图如图所示，则该三棱柱的侧视图的面积为（）A． B．3 C． D．122．已知，且，则（）A． B．7 C． D．3．设是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是A．若与共面，则与共面B．若与是异面直线，则与是异面直线C．若==，则D．若==，则=4．函数的部分图象如图所示，函数，则下列结论正确的是（）A．B．函数与的图象均关于直线对称C．函数与的图象均关于点对称D．函数与在区间上均单调递增5．方程的解所在的区间为（）A． B．C． D．6．在复平面内，复数对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．若直线与圆相切，则（）A． B． C． D．或8．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯A．81盏 B．112盏 C．162盏 D．243盏9．在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A． B． C． D．10．设a＞0，b＞0，若是和的等比中项，则的最小值为（）A．6 B． C．8 D．9二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的反函数是______.12．已知与之间的一组数据，则与的线性回归方程必过点__________．13．无穷等比数列的首项是某个正整数，公比为单位分数（即形如：的分数，为正整数），若该数列的各项和为3，则________.14．已知函数的最小正周期为，且的图象过点，则方程所有解的和为________.15．在中，，点在边上，若，的面积为，则___________16．已知数列是等比数列，若，，则公比________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为的扇形，小区的两个出入口设置在点及点处，且小区里有一条平行于的小路．（1）已知某人从沿走到用了分钟，从沿走到用了分钟，若此人步行的速度为每分钟米，求该扇形的半径的长（精确到米）（2）若该扇形的半径为，已知某老人散步，从沿走到，再从沿走到，试确定的位置，使老人散步路线最长．18．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3(b2＋c2)＝3a2＋2bc.(1)若sinB＝cosC，求tanC的大小；(2)若a＝2，△ABC的面积S＝，且b>c，求b，c.19．已知向量，.求：（1）；（2）与的夹角的余弦值；（3）求的值使与为平行向量.20．已知向量与不共线，且，.（1）若与的夹角为，求；（2）若向量与互相垂直，求的值.21．如图，在处有一港口，两艘海轮同时从港口处出发向正北方向匀速航行，海轮的航行速度为20海里/小时，海轮的航行速度大于海轮．在港口北偏东60°方向上的处有一观测站，1小时后在处测得与海轮的距离为30海里，且处对两艘海轮，的视角为30°．（1）求观测站到港口的距离；（2）求海轮的航行速度．

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

根据侧视图的宽为求出正三角形的边长为4，再根据体积求出正三棱柱的高，再求侧视图的面积。【详解】侧视图的宽即为俯视图的高，即三角形的边长为4，又侧视图的面积为：【点睛】理解：侧视图的宽即为俯视图的高，即可求解本题。2、D【解析】

由平方关系求得，再由商数关系求得，最后由两角和的正切公式可计算．【详解】，，，，.故选：D.【点睛】本题考查两角和的正切公式，考查同角间的三角函数关系．属于基础题．3、D【解析】

由空间四点共面的判断可是A,B正确，；C,D画出图形，可以判定AD与BC不一定相等，证明BC与AD一定垂直．【详解】对于选项A，若与共面，则与共面，正确；对于选项B，若与是异面直线，则四点不共面，则与是异面直线，正确；如图，空间四边形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，则AD与BC不一定相等，∴D错误；对于C,当四点共面时显然成立，当四点不共面时，取BC的中点M，连接AM、DM，AM⊥BC，DM⊥BC，∴BC⊥平面ADM，∴BC⊥AD，∴C正确；【点睛】本题通过命题真假的判定，考查了空间中的直线共面与异面以及垂直问题，是综合题．4、D【解析】

由三角函数图像可得，，再结合三角函数图像的性质逐一判断即可得解.【详解】解：由函数的部分图象可得,,即,则，又函数图像过点，则，即，又，即，即，则对于选项A，显然错误；对于选项B，函数的图像关于直线对称，即B错误；对于选项C，函数的图像关于点对称，即C错误；对于选项D，函数的增区间为，函数的增区间为，又，，即D正确，故选：D.【点睛】本题考查了利用三角函数图像求函数解析式，重点考查了三角函数图像的性质，属中档题.5、B【解析】试题分析：由题意得，设函数，则，所以，所以方程的解所在的区间为，故选B.考点：函数的零点.6、D【解析】

利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】在复平面内，复数==1﹣i对应的点（1，﹣1）位于第四象限．故选D．【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7、D【解析】

本题首先可根据圆的方程确定圆心以及半径，然后根据直线与圆相切即可列出算式并通过计算得出结果。【详解】由题意可知，圆方程为，所以圆心坐标为，圆的半径，因为直线与圆相切，所以圆心到直线距离等于半径，即解得或，故选D。【点睛】本题考查根据直线与圆相切求参数，考查根据圆的方程确定圆心与半径，若直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径，考查推理能力，是简单题。8、D【解析】

从塔顶到塔底每层灯盏数可构成一个公比为3的等比数列，其和为1．由等比数列的知识可得．【详解】从塔顶到塔底每层灯盏数依次记为a1,a2,a3故选D．【点睛】本题考查等比数列的应用，解题关键是根据实际意义构造一个等比数列，把问题转化为等比数列的问题．9、B【解析】

由函数的解析式，再根据函数零点的存在定理可得函数的零点所在的区间．【详解】函数的零点所在的区间即函数与的交点所在区间.由函数与在定义域上只有一个交点，如图.函数在定义域上只有一个零点.又，所以.所以的零点在上故选：B【点睛】本题主要考查求函数的零点所在区间，函数零点的存在定理，属于基础题．10、D【解析】

试题分析：由题意a＞0，b＞0，且是和的等比中项，即，则，当且仅当时，即时取等号．考点：重要不等式，等比中项二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、，【解析】

求出函数的值域作为其反函数的定义域，再由求出其反函数的解析式，综合可得出答案.【详解】，则，由可得，，因此，函数的反函数是，.故答案为：，.【点睛】本题考查反三角函数的求解，解题时注意求出原函数的值域作为其反函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.12、【解析】

根据线性回归方程一定过样本中心点，计算这组数据的样本中心点，求出和的平均数即可求解.【详解】由题意可知，与的线性回归方程必过样本中心点，，所以线性回归方程必过.故答案为：【点睛】本题是一道线性回归方程题目，需掌握线性回归方程必过样本中心点这一特征，属于基础题.13、【解析】

利用无穷等比数列的各项和，可求得，从而，利用首项是某个自然数，可求，进而可求出.【详解】无穷等比数列各项和为3，，是个自然数，则，.故答案为：【点睛】本题主要考查了等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.14、【解析】

由周期求出，由图象的所过点的坐标求得，【详解】由题意，又，且，∴，，由得或，又，，∴或，或，两根之和为．故答案为：．【点睛】本题考查求三角函数的解析式，考查解三角方程．掌握正切函数的性质是解题关键．15、【解析】

由，的面积为可以求解出三角形，再通过，我们可以得出(两三角形等高)再利用正弦形式表示各自面积，即能得出的值.【详解】，的面积为，所以为等边三角形，又所以（等高），又所以填写2【点睛】已知三角形面积及一边一角，我们能把形成该角的另外一边算出，从而把三角形所有量都能计算出来（如果需要），求两角正弦值的比值，我们更多联想到正弦定理的公式，或面积公式.16、【解析】

利用等比数列的通项公式即可得出．【详解】∵数列是等比数列，若，，则，解得，即.故答案为：【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）445米；（2）在弧的中点处【解析】

（1）假设该扇形的半径为米，在中，利用余弦定理求解；（2）设设，在中根据正弦定理，用和表示和，进而利用和差公式和辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求最值.【详解】（1）方法一：设该扇形的半径为米，连接.由题意，得(米)，（米），在中，即，解得（米)方法二：连接，作，交于，由题意，得（米），（米），，在中，.（米）..在直角中，（米），（米）.（2）连接，设，在中，由正弦定理得：，于是，则，所以当时，最大为，此时在弧的中点处．【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理的实际应用，结合了三角函数的化简与求三角函数的最值.18、(1);(2).【解析】试题分析：(1)根据已知条件及余弦定理可求得的值,再由同角三角函数基本关系式可求得的值.因为,所以,由两角和的正弦公式可将其化简变形,可求得与的关系式,从而可得.(2)根据余弦定理和三角形面积均可得的关系式.从而可解得的值.试题解析：，，，.(1)，，，，.(2)，，，①，∴由余弦定理可得，,②，∴联立①②可得.考点：1正弦定理;2余弦定理;3两角和差公式.19、（1）5（2）（3）【解析】

(1)利用向量坐标运算法则,先求出向量的坐标,再求模;(2)利用两个向量的数量积的定义和公式,则可求出与的夹角的余弦值;(3)利用两个向量共线的性质,求出的值.【详解】(1)向量,,,;(2)设与的夹角为,∵,,,所以,即与的夹角的余弦值为;(3)由题可得:,∵与为平行向量,∴,解得,即满足使与为平行向量.【点睛】本题主要考查向量的坐标运算,涉及向量的模,数量积,共线等相关知识,属于基础题.20、（1）（2）【解析】

（1）根据平面向量的数量积即可解决．（2）根据两个向量垂直，数量积为0即可解决．【详解】解：（1）（2）由题意可得：，即，，

.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，及两个向量垂直时数量积为0的情况，属于基础题．21、（1