江苏专版2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用午练8余弦定理正弦定理的应用新人教A版必修第二册

午练8余弦定理、正弦定理的应用1.在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶3,则cosC的值为()A. B.- C. D.-2.已知△ABC的三边长分别为AB=7,BC=5,CA=6,则的值为()A.19 B.14 C.-18 D.-193.如图,从山顶A望地面上C,D两点,测得它们的俯角分别为45°和30°,已知CD=100m,点C位于BD上,则山高AB等于()A.100m B.50mC.50m D.50(+1)m4.从某电视塔的正东方向的A处,测得塔顶仰角是60°,从电视塔的西偏南30°的B处,测得塔顶仰角为45°,A,B间距离为35m,则此电视塔的高度是()A.5m B.10m C.m D.35m5.一艘轮船从A动身,沿南偏东70°的方向航行40nmile后到达海岛B,然后从B动身,沿北偏东35°的方向航行了40nmile到达海岛C.假如下次航行干脆从A动身到C,那么此船航行的方向和路程分别为()A.北偏东80°,20()nmileB.北偏东65°,20()nmileC.北偏东65°,20()nmileD.北偏东80°,20()nmile6.(多选题)如图,为对某失事客轮AB进行有效救济,现分别在河岸MN选择两处C、D用强光柱进行帮助照明,其中A、B、C、D在同一平面内.现测得CD长为100米,∠ADN=105°,∠BDM=30°,∠ACN=45°,∠BCM=60°.则()A.S△BCD=2500平方米 B.AD=米C.船AB长为米 D.BD=200米7.锐角三角形ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,C=2A,则=,边长c的取值范围是.

8.如图所示,在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1.已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为;塔BB1的高为m.

9.如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距12nmile,渔船乙以10nmile/h的速度从岛屿A动身沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处动身沿北偏东α的方向追逐渔船乙,刚好用2h在C处追上.(1)求渔船甲的速度;(2)求sinα的值.10.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+c=3,.(1)求角B的大小;(2)若a<b,b=2,求cosA+的值.午练8余弦定理、正弦定理的应用1.A∵sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶3,由正弦定理得a∶b∶c=3∶2∶3,设a=3k,b=2k,c=3k(k>0),则cosC=.2.D由余弦定理的推论,得cosB=,所以=||||cos(π-B)=7×5×=-19.3.D在△ACD中,CD=100m,∠ADC=30°,∠DAC=∠ACB-∠ADC=45°-30°=15°,∴,∴AC==50()m.在△ABC中,∠ACB=45°,∠ABC=90°,AC=50()m,∴AB=ACsin45°=50()×=50(+1)m.4.A设此电视塔的高度是xm,如图所示,则AC=m,∠BCA=150°,AB=35m.∴cos150°=,解得x=5.故选A.5.C由题可知∠ABC=105°.在△ABC中,AB=40,BC=40,所以AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=402+(40)2-2×40×40cos105°=3200+1600,所以AC=20().又因为,所以sin∠BAC=,所以∠BAC=45°,所以下次航行干脆从A动身到C,此船的航向为北偏东65°,故选C.6.ABC∠BDM=30°,∠BCM=60°,则∠CBD=30°,所以BC=BD=100米,所以S△BCD=CB·CD·sin∠BCD=×100×100×sin120°=2500平方米.由题得,∠ADC=75°,∠ACD=45°,∠BDA=45°,在△ACD中,,即,所以AD=米,在△BCD中,BD===100米,在△ABD中,AB===米.即船长为米.7.4(2,2)因为C=2A,所以sinC=2sinAcosA,由正弦定理得c=2acosA,所以=2a=4.因为△ABC是锐角三角形,所以C=2A∈,B=π-A-C=π-3A∈,所以A∈,所以c=4cosA∈(2,2).8.45设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α,则AA1=60tanα,BB1=60tan2α.因为从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角,所以△A1AC∽△CBB1,所以,所以AA1·BB1=900,所以3600tanαtan2α=900,所以tanα=(负值舍去),所以tan2α=,BB1=60tan2α=45.9.解(1)在△ABC中,∠BAC=180°-60°=120°,AB=12nmile,AC=10×2=20(nmile),∠BCA=α.由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos120°=784,解得BC=28nmile.所以渔船甲的速度为BC÷2=14(nmile/h).(2)在△ABC中,AB=12nmile,∠BAC=120°,BC=28nmile,∠BCA=α,由正弦定理,得,所以sinα=.10.解(1)由,可得bcosC=2acosB-ccosB,由正弦定理可得,sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB,所以sin(B+C)=2sinAcosB,即sinA=2sinAcosB.因为sinA≠0,所以cosB=