高中数学数学文化鉴赏与学习专题题组训练12阿波罗尼斯教师版

专题12阿波罗尼斯一、单选题1．阿波罗尼斯是古希腊闻名数学家，与阿基米德､欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他探讨发觉：假如一个动点P到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点P的轨迹为圆，这就是闻名的阿波罗尼斯圆.若点C到的距离之比为，则点C到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】设，依题意，依据两点的距离公式求出动点的轨迹方程，再求出圆心到直线的距离，即可求出点到直线距离的最小值；【详解】解：设，则，即，化简得，所以点的轨迹为以为圆心，的圆，则圆心到直线的距离，所以点C到直线的距离的最小值为；故选：A2．古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆上有且仅有一个点P满意，则r的取值为（

）A．1 B．5 C．1或5 D．不存在【答案】C【解析】【分析】干脆设点P，依据可以求得点P的轨迹为圆，依据题意两圆有且仅有一个公共点，则两圆外切或内切，可得或．【详解】设点P∵即整理得：∴点P的轨迹为以为圆心，半径的圆，∵圆的为圆心，半径的圆由题意可得：或∴或故选：C．3．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点，动点满意，当P、A、B不共线时，面积的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用求出圆的方程和半径，进而利用圆的范围可求出三角形面积的最大值.【详解】设，因为、，且，所以，整理得，即圆的方程为，半径为；所以，则面积的最大值是.故选：D.4．古希腊闻名数学家阿波罗尼斯发觉：平面内到两个定点，的距离之比为定值（，且）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满意，则点的轨迹的圆心坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】依据题设，应用两点距离公式可得，整理并化为圆的标准形式，即可确定圆心.【详解】令P(x，y)，则，两边平方并整理得：，∴圆心为(4，0)．故选：A．5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满，则动点P轨迹与圆的位置关系是（

）A．相交 B．相离 C．内切 D．外切【答案】A【解析】【分析】首先求得点的轨迹，再利用圆心距与半径的关系，即可推断两圆的位置关系.【详解】由条件可知，，化简为：，动点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，圆是以为圆心，为半径的圆，两圆圆心间的距离，所以两圆相交.故选：A6．阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯探讨了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个闻名问题：已知平面上两点A，B，则全部满意（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满意，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依据给定条件确定轨迹C是圆，利用圆的性质求出其半径即可计算作答.【详解】依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，明显直线l与圆C相离，令点D到直线l的距离为d，由圆的性质得：，解得，，所以C的长度为.故选：B7．公元前三世纪，阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆一个基本性质：过椭圆上随意一点（不同于，）作长轴的垂线，垂足为，则为常数，若，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设椭圆方程为（）并确定、坐标，可得,,，代入得到参数的关系，列方程求离心率即可【详解】设椭圆方程为（）若,,，则,,，所以,而,即,所以故选：D8．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满意，则面积的最大值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【解析】【分析】设经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利用坐标法计算.【详解】设经过点A，B的直线为x轴，的方向为x轴正方向，线段AB的垂直平分线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系.则，．设，∵，∴，两边平方并整理得，即．要使的面积最大，只需点P到AB（x轴）的距离最大时，此时面积为．故选：C.9．阿波罗尼斯探讨圆锥曲线的光学性质得到：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点．设抛物线C：，一束平行于抛物线对称轴的光线经过，被抛物线反射后，又射到抛物线C上的Q点，则直线FQ的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由题设可得，由三点共线结合斜率两点式求直线FQ的斜率，进而利用点斜式写出直线方程.【详解】设过平行于抛物线对称轴的直线与抛物线交于点P，易知．将代入抛物线方程得，即，又焦点为F，且P，F，Q三点共线，则，由点斜式方程化简得.故选：D10．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆为椭圆长轴的端点，为椭圆短轴的端点，，分别为椭圆的左右焦点，动点满意面积的最大值为面积的最小值为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由题可得动点M的轨迹方程，可得，，即求.【详解】设，，由，可得=2，化简得.∵△MAB面积的最大值为面积的最小值为，∴，，∴，即，∴．故选：A．11．古希腊闻名数学家阿波罗尼斯发觉：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值()的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xoy中，已知，，点P满意，设点P的轨迹为圆C，下列结论中正确的个数是(

)①圆C的方程是②过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为60°③过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为2，该直线斜率为④在直线上存在异于A，B的两点D，E，使得A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【分析】设，运用两点的距离公式，化简可得的轨迹方程，可推断①；设切点为，，利用正弦即可求出，由对称性可求得，从而推断②；依据题意设出直线方程，利用圆心到直线的距离为2，求得切线斜率，可推断③；取，，即可推断④．【详解】①．在平面直角坐标系中，，，点满意，设，则，化简可得圆的方程为，故①正确；②．圆心，半径为4，∴，过点向圆引切线，设切点为，，则，∴，∴，故②正确；③．过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，可设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为2，即，解得，故③错误；④．当，时，，故④正确．故选：C．12．阿波罗尼斯是古希腊闻名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的探讨，主要探讨成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的探讨成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】设，，依据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，依据坐标求出即可.【详解】设，，所以，由，所以，因为且，所以，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又，所以，因为，所以的最小值，当M在位置或时等号成立.故选：D13．在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满意，当且时，点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发觉，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线，为双曲线的左、右顶点，为双曲线的虚轴端点，动点满意，面积的最大值为，面积的最小值为，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先求动点的轨迹方程，再依据面积的最大值求得，依据的面积最小值求，由此可求双曲线的离心率.【详解】设，，,依题意,得,即,两边平方化简得,所以动点的轨迹是圆心为,半径的圆，当位于圆的最高点时的面积最大，所以,解得；当位于圆的最左端时的面积最小，所以,解得,故双曲线的离心率为.故选:C.二、多选题14．古希腊闻名数学家阿波罗尼斯发觉：平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，，，点满意，设点的轨迹为曲线，则（

）A．曲线的方程为B．过点向曲线引切线，两条切线的夹角为C．若点在曲线上，则线段的中点的轨迹方程为D．为直线上一点，过点向曲线引切线，其中为切点，则的最小值为【答案】AC【解析】【分析】由求得曲线的方程，结合圆的切线、轨迹、切线长等学问对选项进行分析，从确定正确答案.【详解】设，由，即得：，整理得，所以A选项正确.B选项，过点向曲线引切线，设其中一个切点为，如下图所示，中，，所以两条切线的夹角不是，B选项错误.C选项，设，则，代入圆的方程得：，整理得，C选项正确.D选项，由于，所以当最小时，最小，最小为，所以最小为，D选项错误.故选：AC15．阿波罗尼斯古希腊数学家，约公元前年的著作圆锥曲线论是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有圆C：和点，若圆C上存在点P，使其中O为坐标原点，则t的取值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【解析】【分析】由求出点的轨迹为圆，再将问题化为两圆有交点，依据圆心距与两圆半径之间的关系列式，求出的范围，从而可得答案.【详解】设，由得，整理得，即，依题意可知，圆与圆有交点，两圆圆心分别为和，两圆半径分别为和，圆心距为，所以，即，解得，所以的取值可以是和.故选：AB16．已知两定点，（），动点与、的距离比（且），那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，则下列说法正确的是（

）A．B．C．若，则最小值为D．若满意点的轨迹方程，则【答案】ACD【解析】【分析】设,由,得,与对比,可得且,求解即可推断A，B；对于C，，利用三角形三边关系定理即可推断；对于D，等价于，依据的判别式的符号即可判定【详解】设,由(且),得所以所以又的轨迹方程为,所以且,解得(舍去)或,所以,所以,所以,故A正确B错误对于C，连接交圆于当且仅当、、三点共线时取等号，故C正确对于D，的判别式因为满意，故设则（其中为第四象限角，）所以所以在上恒成立故D正确故选:ACD17．古希腊闻名数学家阿波罗尼斯发觉：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满意＝.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（）A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得＝C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D．在C上存在点M，使得【答案】BC【解析】【分析】依据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一推断即可.【详解】在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满意，设P（x，y），则，化简得（x＋4）2＋y2＝16，所以A错误；假设在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得，设D（m，0），E（n，0），则，化简得3x2＋3y2－（8m－2n）x＋4m2－n2＝0，由轨迹C的方程为x2＋y2＋8x＝0，可得8m－2n＝－24，4m2－n2＝0，解得m＝－6，n＝－12或m＝－2，n＝4（舍去），即在x轴上存在异于A，B的两点D，E使，所以B正确；当A，B，P三点不共线时，，可得射线PO是∠APB的平分线，所以C正确；若在C上存在点M，使得，可设M（x，y），则有＝2，化简得x2＋y2＋x＋＝0，与x2＋y2＋8x＝0联立，方程组无解，故不存在点M，所以D错误．故选：BC【点睛】关键点睛：运用两点间距离公式是解题的关键.18．古希腊闻名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发觉：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，点满意．点的轨迹为曲线，下列结论正确的是（

）A．曲线的方程为B．曲线被轴截得的弦长为C．直线与曲线相切D．是曲线上随意一点，当的面积最大时点的坐标为【答案】AB【解析】【分析】设，依据，，点满意．求得点的轨迹方程，再逐项推断.【详解】对于选项A，设，由，，可得，所以，整理可得，即，故选项A正确；对于选项B，因为，令得，曲线被轴截得的弦长为，故选项B正确；对于选项C，因为，所以圆心，半径，所以圆心到直线的距离，所以直线与曲线相离，故选项C错误；对于选项D，因为是曲线上随意一点，要使的面积最大，则曲线上的点到轴的距离最大，即的边上的高等于圆的半径时，的面积最大，此时点的坐标为，故选项D错误．故选：AB．19．古希腊闻名数学家阿波罗尼斯发觉：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐示系xOy中，，，动点M满意，直线l：，则以下说法正确的是（

）A．动点M的轨迹方程为B．直线l与动点M的轨迹确定相交C．若直线l与动点M的轨迹交于P、Q两点，且，则D．动点M到直线l距离的最大值为3【答案】ABD【解析】【分析】设，由题意求出点的轨迹以及轨迹方程，利用直线与圆的位置关系，依次推断四个选项即可．【详解】解：设，因为动点满意，且，，所以，整理可得，即，对于A，动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，动点的轨迹方程为，故选项A正确；对于B，因为直线：过定点，而点在圆内，所以直线与动点的轨迹确定相交，故选项B正确；对于C：因为，所以圆心到直线的距离，所以，解得，故C错误；对于D：因为，所以动点到直线距离的最大值为，故D正确；故选：ABD三、填空题20．阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，，动点P满意，则点P的轨迹方程是___________．【答案】【解析】【分析】干脆设点P的坐标，利用两点间距离公式代入化简整理可求点P的轨迹方程．【详解】设，即，整理得：即．故答案为：．21．阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有，，当的面积最大时，则的长为____________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将角化边，即可求得点的轨迹方程，然后确定三角形面积的最大值和点的坐标，最终求解的长度即可．【详解】解：因为，由正弦定理可得，即，因为，不妨令，，建立如图所示的平面直角坐标系，设点的坐标为，点的轨迹方程满意：，整理可得：，，即点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆（除与轴两交点外），当点的坐标或时三角形的面积最大，其最大值为，由勾股定理可得．故答案为：．22．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个闻名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满意（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为____________【答案】【解析】【分析】在轴上取，由可得，可得，利用两点间距离公式可求得结果.【详解】如图，在轴上取点，，，，，（当且仅当为与圆交点时取等号），.故答案为：.23．古希腊数学家阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga，约公元前262~190年）发觉：平面上两定点A，B，则满意的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知，动点M满意，则面积的最大值为_________.【答案】13【解析】【分析】依据题意求点的方程与边，利用圆上的点到直线的最远距离为圆心到直线的距离加上半径，即可求出边的高，进而求出面积的最大值.【详解】设点，

，故点的方程为.直线的方程为圆心到直线的距离.设点到边的高为，的最大值为.故答案为：13.24．公元前三世纪，阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上随意一点P（不同于A，B）作长轴的垂线，垂足为Q，则为常数k．若，则该椭圆的离心率为______．【答案】【解析】【分析】设椭圆方程为、并确定坐标，可得，，，代入题设等式，结合椭圆参数的关系列方程求离心率即可.【详解】设椭圆方程为且，若，，则，，，所以，而，即，所以.故答案为：.25．在平面上给定相异两点A，B，点P满意，则当且时，P点的轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆的离心率，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满意，若的面积的最大值为3，则面积的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】先依据求出圆的方程，再由的面积的最大值结合离心率求出和的值，进而求出面积的最小值.【详解】解：由题意，设，，因为即两边平方整理得：所以圆心为，半径因为的面积的最大值为3所以，解得：因为椭圆的离心率即，所以由得：所以面积的最小值为：故答案为：.【点睛】思路点睛：本题先依据已知的比例关系求出阿波罗尼斯圆的方程，再利用已知面积和离心率求出椭圆的方程，进而求得面积的最值.四、双空题26．古希腊闻名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发觉：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系中，，，点满意，则点P的轨迹方程为__________.（答案写成标准方程），的最小值为___________.【答案】

【解析】【分析】设点P坐标，然后用干脆法可求；依据轨迹方程和数量积的坐标表示对化简，结合轨迹方程可得x的范围，然后可解.【详解】设P点坐标为，则由，得，化简得，即.因为，所以因为点P在圆上，故所以，故的最小值为.故答案为：，27．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点P到两定点A，B的距离之比满意(且，t为常数)，则点的轨迹为圆．已知在平面直角坐标系中，，，动点P满意，则P点的轨迹为圆，该圆方程为_________；过点的直线交圆于两点，且，则_________．【答案】

【解析】【分析】设，依据可得圆的方程，利用垂径定理可求.【详解】设，则，整理得到，即.因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为，则为的中点