2024年高中数学专题2-13重难点题型培优精讲直线与圆的位置关系学生版新人教A版选择性必修第一册

专题2.13直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系及判定方法(1)直线与圆的位置关系及方程组的状况如下：(2)直线与圆的位置关系的判定方法

①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，依据方程组解的个数来探讨，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.

②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来推断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.2．圆的切线及切线方程(1)自一点引圆的切线的条数：

①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；

②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；

③若点在圆内，则过此点不能作圆的切线.

(2)求过圆上的一点的圆的切线方程：

①求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求得切线方程.假如k=0或k不存在，则由图形可干脆得切线方程.

②重要结论：

a.经过圆上一点P的切线方程为.

b.经过圆上一点P的切线方程为.

c.经过圆+Dx+Ey+F=0上一点P的切线方程为.3．圆的弦长问题设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种：

(1)几何法

如图所示，半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：.(2)代数法

将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B.

①若交点坐标简洁易求，则干脆利用两点间的距离公式进行求解.

②若交点坐标无法简洁求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可得或的关系式，通常把或叫作弦长公式.4．解与圆有关的最值问题(1)利用圆的几何性质求最值的问题

求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线.

①如图2-5-1-4①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为AD=r+d.其中r为圆的半径，d为圆心到直线的距离；

②如图2-5-1-4②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为AD=2r；

③如图2-5-1-4③，当直线l与圆C相离时，最小距离为BD=d-r，最大距离为AD=d+r.(2)利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围)问题

解析几何中的最值问题一般是依据条件列出所求目标——函数关系式，然后依据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，依据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径.

①形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题.②形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.

③形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.

(3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦.5．直线与圆的方程的应用(1)解决实际问题的步骤：

(2)建系原则

建立适当的平面直角坐标系要把握两个原则：

①对称性原则.可以选择对称中心为坐标原点，对称轴所在的直线为坐标轴.到两个定点的距离问题，可以选择两个定点所在的直线以及线段的垂直平分线为坐标轴等.有两条相互垂直的直线的问题则可选其为坐标轴.

②集中性原则.可以让曲线上尽可能多的特殊点在坐标轴上.如与三角形有关的问题，可以考虑将三角形的三个顶点全部放在坐标轴上.

【题型1直线与圆的位置关系及判定】【方法点拨】①代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，依据方程组解的个数来探讨，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离.②几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来推断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.【例1】直线mx-2y-m+1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定【变式1-1】对于随意实数k，圆C:x2+yA．相交 B．相切C．相离 D．与k的取值有关【变式1-2】已知直线l:x-y+2=0与圆CA．-∞,0C．-∞,【变式1-3】已知点Ma,bab≠0在圆x2+y2=A．l//m且与圆相离 B．C．l//m且与圆相交 D．【题型2圆的切线问题及切线方程的求解】【方法点拨】①当一条直线l与圆C相切时，毫无疑问地要用到圆心C到直线l的距离d=r(r为圆C的半径).②当一条直线l与圆C相切于点P时，则lPC.③过圆外一点P向圆C作切线，切点为Q，则必定会用到.【例2】过点M(3,1)作圆x2+y2-2A．x+y-4=0C．x-y-2=0【变式2-1】已知圆心在x轴上，半径为22的圆上有一点M1,2，则圆在点M处的切线方程是（A．x-y+1=0 B．C．x+y-3=0【变式2-2】过直线x+y=5上的点作圆CA．32 B．23 C．15【变式2-3】在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y-32=2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆CA．273,22 B．2【题型3圆的弦长问题】【方法点拨】当直线与圆相交时，因几何法求弦长较便利，一般不用代数法.用几何法求解圆的弦长的一般步骤：第一步：确定圆的半径r；其次步：求解圆心到直线的距离d；第三步：代入公式求解弦长.【例3】直线l:3x+4y-A．25 B．4 C．23【变式3-1】过点A2,2，作倾斜角为π3的直线l，则直线l被圆O:A．1-32 B．2-【变式3-2】已知直线l：mx-y-3m+1=0恒过点P，过点P作直线与圆C：(x-1)2A．45 B．2 C．4 D．【变式3-3】已知圆O： x2+y2=10，已知直线l： ax+by=2a-ba,b∈A．352 B．552【题型4直线与圆有关的最值问题】【方法点拨】解直线与圆的最值问题主要有以下两种思路：①代数法：利用平面几何中的有关公式，构造函数，把问题转化为函数的最值，然后依据函数最值的求法进行求解.在转化过程中常用到向量的数量积、一元二次方程根与系数的关系、换元等学问和方法.②几何法：找到所求式的几何意义，在坐标系中与圆建立联系，分析其与圆的位置变更状况，找到最大、最小取值点.【例4】已知圆C：x2+y2-4x-2y+1=0，点P是直线yA．253 B．453【变式4-1】瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同始终线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC，AB=AC，点B(-1,1)，点C(3,5)，过其“欧拉线”上一点Р作圆O：x2+A．2 B．22 C．3 D．【变式4-2】已知点Q在圆M:x+32+y-32=4上，直线l:2x①点Q到直线l的距离小于4.5②点Q到直线l的距离大于1③当∠QRP最小时，④当∠QRP最大时，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式4-3】已知圆C1:(x-2)2+(y+3)2=1，圆C2:(x-3)2+A．52+4C．52 D．【题型5直线与部分圆的相交问题】【方法点拨】一条直线和一个圆的一部分有交点时，假如用代数法去探讨，则要转化为一元二次方程根的取值状况，过程比较繁琐，因此这类问题一般接受数形结合的方法去探讨，探讨应抓住两类直线：一是切线；二是过端点的直线.【例5】若直线l:kx-y-2=0与曲线A．43,2C．-2,4【变式5-1】设点P(x,y)是曲线yA．[0，125] B．[【变式5-2】设曲线x=1-(1-y)2上的点到直线x-yA．2 B．2-22 C．【变式5-3】过点2,-1引直线l与曲线y=1-x2相交于AA．-1,-34 B．-【题型6直线与圆的方程的应用】【方法点拨】用坐标法解决几何问题时应留意以下几点：①应在利于解题的原则下建立适当的平面直角坐标系，不行随意建立；②在实际问题中，有些量具有确定的限制条件，转化成代数问题时要留意取值范围；③最终确定要将代数结果转化成几何结论.【例6】如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽视不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B(1)求圆C的方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不变更方向，试问该船有没有触礁的紧急?【变式6-1】为了保证我国东海油气田海疆海上平台的生产平安，海事部门在某平台O的北偏西45°方向22km处设立观测点A，在平台O的正东方向12km处设立观测点B，规定经过O、A、B三点的圆以及其内部区域为平安预警区．如图所示：以O为坐标原点，O的正东方向为x(1)试写出A，B的坐标，并求两个观测点A，B之间的距离；(2)某日经观测发觉，在该平台O正南10kmC处，有一艘轮船正以每小时87【变式6-2】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）.规划在公路l上选两个点P､Q，并修建两段直线型道路PB､QA.规划要求，线段PB､QA上的全部点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD（C,D为垂足），测得AB=10(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；(2)在规划要求下，点Q能否选在D处？并说明理由.【变式6-3