2023-2024学年岳阳市高二数学（下）5月联考试卷附答案解析

-2024学年岳阳市高二数学（下）5月联考试卷全卷满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知，则（

）A． B． C．4 D．22．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．已知变量的部分数据如下表，由表中数据得之间的经验回归方程为，现有一测量数据为，若该数据的残差为1.2，则（

）2123252715181920A．25.6 B．28 C．29.2 D．24.44．若直线与圆相切，则圆的半径为（

）A．2 B．4 C． D．85．已知向量，则的最小值为（

）A． B． C．3 D．6．从装有2个白球、3个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（

）A． B． C． D．7．已知函数在上单调递增，且是奇函数，则满足的的取值范围是（

）A．B．C． D．8．若不等式在上恒成立，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知函数，对任意实数都有，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为B．C．的图象关于对称D．在区间上有且仅有一个零点10．设数列的前项和为，已知，则下列结论正确的为（

）A．若，则为等差数列 B．若，则C．若，则是公差为的等差数列 D．若，则的最大值为111．已知抛物线的焦点为，，为上的两点，过，作的两条切线交于点，设两条切线的斜率分别为，，直线的斜率为，则（

）A．的准线方程为B．，，成等差数列C．若在的准线上，则D．若在的准线上，则的最小值为三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，12．的展开式中的系数为.13．已知为坐标原点，若双曲线的右支上存在两点，，使得，则的离心率的取值范围是.14．已知某圆锥内切球的半径为1，则该圆锥侧面积的最小值为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15．在数列中，已知.(1)求证：数列为等比数列；(2)求满足不等式的最大整数.16．近年来，我国青少年近视问题呈现高发性、低龄化、重度化趋势.已知某校有学生200人，其中40人每天体育运动时长小于1小时，160人每天体育运动时长大于或等于1小时，为研究体育运动时长与青少年近视的相关性，研究人员采用分层随机抽样的方法从学生中抽取50人进行调查，得到以下数据：体育运动时长小于1小时体育运动时长大于或等于1小时合计近视4无近视2合计(1)请完成上表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为学生是否近视与体育运动时长有关？(2)为进一步了解近视学生的具体情况，现从调查的近视学生中随机抽取3人进行进一步的检测，设随机变量为体育运动时长小于1小时的人数，求的分布列和数学期望.附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中.17．如图，在四棱锥中，平面，，，是等边三角形，为的中点.(1)证明：；(2)若，求平面与平面夹角的正弦值.18．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点，且为等腰直角三角形.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点为上的一个动点，求面积的最大值；(3)若直线与交于两点，且，证明：直线过定点.19．已知函数有且仅有两个零点､(1)求的取值范围；(2)函数，若与的值域相同，求的值，并证明：1．A【分析】根据复数的四则运算可得，，即可得模长.【详解】由题意可得，则，所以.故选：A.2．C【分析】解出一元二次不等式和绝对值不等式，再利用交集含义即可.【详解】，，.故选：C.3．B【分析】先求出样本中心点，代入回归方程求出，求出预测值结合残差即可得解.【详解】由题意可知，，将代入，即，解得，所以，当时，，则.故选：B.4．C【分析】由圆心到直线的距离等于半径列方程即可得解.【详解】依题意，，解得（负值舍），所以圆的半径为.故选:C.5．C【分析】根据向量垂直得到方程，求出，变形后利用基本不等式求出最值.【详解】，，，当且仅当，即时取等号，的最小值为3.故选：C.6．A【分析】求出和，再利用条件概率的公式求解.【详解】由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球.从而，，故.故选：A.7．C【分析】由函数单调性以及奇偶性分大于1或小于1进行讨论即可得解.【详解】由是奇函数及在上单调递增，所以，则关于对称，当时，，此时若，则，即，所以，当时，，此时若，则，即，所以，综上所述，当且仅当或时，.故选：C.8．C【分析】设，，证明函数单调递减，讨论，确定函数的单调性，结合的最大值小于等于0，求的范围可得结论.【详解】由，，得，所以在为减函数，又函数在也为减函数，，在上单调递减，①当时，当时，单调递减，，符合题意；②当时，存在，使得，当时，单调递减，，不符合题意，舍去；③当时，，又在上单调递减，当时，单调递减，.令，则在上单调递减，，符合题意.综上所述，的最小值为1.故选：C.【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：（1）恒成立⇔；（2）恒成立⇔.9．BD【分析】A选项，求出最小正周期；B选项，是的一条对称轴的方程，从而求出；C选项，，故的图象不关于对称，故C错误；D选项，整体法求出此区间上有且仅有一个零点.【详解】选项，的最小正周期为，故A错误；选项B，易知为最大值或最小值，是的一条对称轴的方程.，，，故B正确；选项C，，，不是最值，的图象不关于对称，故C错误；选项D，当时，，只有，即时，，此区间上有且仅有一个零点，D正确.故选：BD.10．ABD【分析】由递推数列、等差数列的性质即可逐一判断各个选项，从而得解.【详解】当时，，所以为等差数列，A选项正确；，所以是公差为-1的等差数列，C选项错误；当时，，所以，B选项正确；由可知，，所以，D选项正确.故选：ABD.11．BCD【分析】将抛物线方程化成标准形式即可判断A，设，，可以用表示，进一步判断B，设直线：，：，从而得到，进一步结合B选项分析可判断C，由抛物线定义结合基本不等式即可得解.【详解】对A，抛物线：，抛物线的准线方程为，A选项错误；对B，设，，∵，∴，，，∴，B选项正确；对C，由上可知直线：，：，解得，，，，C选项正确；对D，，当且仅当时取等号，D选项正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是得出，进一步结合，即可顺利判断.12．112【分析】利用二项式展开式的通项公式求展开式中项的项数，再由通项公式求其系数.【详解】展开式的通项为.令，得，则的展开式中的系数为.故答案为：.13．【分析】由题意得出，其中，结合离心率公式即可得解.【详解】设渐近线的倾斜角为，则，即，所以，离心率.故答案为：.14．【分析】分析可知，，整理可得侧面积为，换元，结合基本不等式分析求解.【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，且母线与底面所成角为，则，，可得圆锥侧面积为，设，即，则，当且仅当，即时，等号成立，所以该圆锥侧面积的最小值为.故答案为：.15．(1)证明见解析(2)7【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明.（2）先根据等比数列的通项公式得出，进而得出；再根据等差等比数列的前项和公式得出；最后作差法判断数列的单调性，进而可解答.【详解】（1），，又因为，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1）知数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即.设数列的前项和为，则.，数列单调递增.又因为，所以的最大整数为7.16．(1)可以认为学生是否近视与体育运动时长有关(2)分布列见详解，【分析】（1）根据题意结合分层抽样完善列联表，求，并与临界值对比分析；（2）由题意可知：的可能取值为0，1，2，3，结合超几何分布求分布列和期望.【详解】（1）由题意可知：抽取50人中体育运动时长小于1小时的人数为，据此可得列联表：体育运动时长小于1小时体育运动时长大于或等于1小时合计近视8412无近视23638合计104050零假设：学生是否近视与体育运动时长无关，可得，根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断出成立，因此可以认为不成立，即认为学生是否近视与体育运动时长有关.（2）由题意可知：的可能取值为0，1，2，3，，，，，所以的分布列为0123的期望.17．(1)证明见详解(2)【分析】（1）先证明，，然后利用线面垂直的判定定理证明垂直于平面；（2）通过建立空间直角坐标系，由空间向量法即可求出两平面夹角的余弦值.【详解】（1）由于是等边三角形，为的中点．故是等边的中线，则，又因为平面，平面内，可得，且，平面，可得平面，由平面，所以.（2）取的中点，连接，因为是的中点，可知是三角形的中位线，故∥.因为平面，∥，所以平面，即三线两两垂直.以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则由，，，，则，可得，，，则，．设平面的法向量为，则，令，则，，故．由题意可知：平面的一个法向量为.可得，所以平面与平面夹角的余弦值为．18．(1)(2)(3)证明见详解【分析】（1）根据题意结合离心率列式求，即可得方程；（2）设，根据点到直线的距离结合三角函数分析可知：取到最大值，即可得面积最大值；（3）设直线：，，，根据向量夹角结合向量运算分析可得，进而可得，即可得定点.【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题意可知：，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）可知：，则直线的斜率为，且，可知直线：，即，因为点为椭圆上的一个动点，设，则点到直线的距离，其中，可知当时，取到最大值，所以面积的最大值为.（3）由题意可知：直线的斜率存在，设直线：，，，因为，则，即，又因为点在椭圆上，则，即，可得，同理可得：，且，，可得，则，整理可得，显然，则，即，可得直线：，所以直线过定点.【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法（1）动直线l过定点问题．解法：设动直线方程（斜率存在）为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点；（2）动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．19．(1)(2)，证明见解析【分析】（1）利用导数求出函数的单调性，即可得到有且仅有两个零点等价于，从而求出的取值范围；（2）首先判断的奇偶性，利用导数说明在上的单调性，即可求出的值域，结合（1）可知的值域，即可求出，即可得到，再分别构造函数证明，，即可得证.【详解】（1）因为的定义域为，