2025优化设计一轮第4节 复数

第4节复数高考总复习优化设计GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI2025课标解读1.理解复数的概念,理解复数相等的充要条件.2.理解复数的代数表示法及其几何意义.3.掌握复数代数形式的四则运算,了解两个具体复数相加减的几何意义.研考点精准突破目录索引

强基础固本增分12强基础固本增分知识梳理1.复数的定义及分类(1)复数的定义形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做__________,实部是__________,虚部是__________.

(2)复数的分类全体复数构成的集合叫做复数集,记为C,显然有R∈C这个条件不能忽略

虚数单位

ab实数

纯虚数

微点拨1.复数的实部与虚部都是实数,特别注意复数a+bi(a,b∈R)的虚部是b,而不是bi.2.对于复数a+bi(a,b∈R),其实部a=0是a+bi为纯虚数的必要不充分条件.2.复数的有关概念

复数相等a+bi=c+di⇔__________(a,b,c,d∈R)

共轭复数a+bi与c+di共轭⇔__________(a,b,c,d∈R)

复数的模设

对应的复数为z=a+bi(a,b∈R),则向量

的模叫做复数z=a+bi的模或绝对值,记作|z|或|a+bi|,即|z|=|a+bi|=________微思考“3+2i>1+2i”“2+i<4+i”等结论对吗?为什么?a=c且b=da=c且b=-d提示

不对.两个实数可以比较大小,但两个虚数只能判断它们是否相等,而不能比较它们的大小.3.复数的几何意义(1)复数z=a+bi

复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R).(2)复数z=a+bi(a,b∈R)平面向量(O为坐标原点).一一对应

一一对应

微点拨若复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,则|z1-z2|的几何意义是点Z1,Z2之间的距离.4.复数的运算(1)运算法则设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.(2)复数加法的运算定律设z1,z2,z3∈C,则复数加法满足以下运算律:①交换律:z1+z2=__________.

②结合律:(z1+z2)+z3=__________.

(a±c)+(b±d)i(ac-bd)+(bc+ad)iz2+z1z1+(z2+z3)自主诊断题组一

思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.(

)2.复数中有复数相等的概念,因此复数可以比较大小.(

)3.已知z=a+bi(a,b∈R),当a=0时,复数z为纯虚数.(

)4.实轴上的点对应的都是实数,虚轴上的点对应的都是虚数.(

)××××题组二

回源教材5.(人教A版必修第二册复习参考题7第1(2)题)复数

的共轭复数是(

)A.i+2

B.i-2

C.-2-i

D.2-iB6.(人教A版必修第二册7.1.1节例1改编)若复数z=m+1+(m-1)i为纯虚数,则实数m=__________.

-1解析

若复数z为纯虚数,需m+1=0,且m-1≠0,即m=-1.7.(人教A版必修第二册习题7.2第7题改编)已知2i-3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,则实数p=__________.

12解析

因为2i-3是方程的一个根,所以-2i-3也是这个方程的一个根,由根与系数的关系,得-=(2i-3)+(-2i-3),解得p=12.题组三

连线高考8.(2023·新高考Ⅱ,1)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于(

)A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限A解析

∵(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,∴复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.9.(2023·全国乙,文1)|2+i2+2i3|=(

)A.1

B.2

C.

D.54+iC研考点精准突破考点一复数的四则运算CC(3)(2023·全国甲,理2)若a∈R,(a+i)·(1-ai)=2,则a=(

)A.-1

B.0

C.1

D.2C(4)(2024·云南昆明一中模拟)已知复数z=

,则z+z2+z3+…+z2023=(

)A.-1

B.1

C.-i

D.i所以z2=-1,z3=-i,z4=1,得z+z2+z3+z4=0,所以z+z2+z3+…+z2

023=505(z+z2+z3+z4)+z+z2+z3=-1.A规律方法复数代数形式运算问题的解题策略复数的加减法在进行复数的加减法运算时,可类比实数运算中的合并同类项法则(实部与实部相加减,虚部与虚部相加减)进行复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含虚数单位i的看作一类同类项,分别合并即可复数的除法复数除法的关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数,同时注意将i的幂写成最简形式考点二复数的有关概念ADA规律方法复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等,解决这些概念问题时,关键是将已知复数化为标准的代数形式z=a+bi(a,b∈R),然后根据概念的不同,列出实部、虚部应满足的条件,从而解决问题.[对点训练1](多选题)(2024·广东惠州模拟)已知复数z=

,则下列选项正确的有(

)A.z的虚部为1

B.|z|=2C.z2为纯虚数

D.在复平面内对应的点位于第一象限AC

考点三复数的几何意义例3(1)(2021·新高考Ⅱ,1)在复平面内,复数

对应的点位于(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限A(2)(2024·山东淄博实验中学模拟)设复平面内表示2-i和3+4i的点分别为点A和点B,则表示向量

的复数在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限A(3)(2024·江西赣州模拟)已知复数z满足|z+i|=1(i为虚数单位),则|z-i|的最大值为(

)A.1

B.2

C.3

D.4C解析

设复数z在复平面内对应的点为Z,因为|z+i|=|z-(-i)|=1表示复平面内的点Z到定点C(0,-1)的距离为1,所以点Z的轨迹为以C(0,-1)为圆心,半径r=1的圆.因为|z-i|表示复平面内的点Z到定点B(0,1)的距离,所以|ZB|≤|BC|+1=2+1=3,即|z-i|的最大值为3.[对点训练2](1)若复数(2-i)(a+i)在复平面内对应的点在第四象限,则实数a的取值范围是(

)C解析

(2-i)·(a+i)=2a+1+(2-a)i,因为复数在复平面内所对应的点(2a+1,2-a)在第四象限,A.2-i

B.-2+iC.2+i

D.-2-iA考点四复数与方程例4(多选题)(2024·山东潍坊模拟)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2+px+2=0的两根为x1,x2,其中x1=1+i,