椭圆及其性质知识点梳理及经典高考题解析

椭圆及其性质【考纲说明】1.掌握椭圆的定义，标准方程，了解椭圆的参数方程；2.掌握椭圆的简单几何性质【知识梳理】知识要点小结：知识点一：椭圆的定义

平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数,这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：假设，那么动点的轨迹为线段；

假设，那么动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；

3．在椭圆的两种标准方程中，都有和；

4．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆：的简单几何性质

〔1〕对称性：对于椭圆标准方程：说明：把换成、或把换成、或把、同时换成、、原方程都不变，所以椭圆是以轴、轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。〔2〕范围：

椭圆上所有的点都位于直线和所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足，。

〔3〕顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。

②椭圆与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为，，，③线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，,。和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。〔4〕离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用表示，记作。

②因为，所以的取值范围是。越接近1，那么就越接近，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于0，就越接近0，从而越接近于，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为。注意：椭圆的图像中线段的几何特征〔如以下图〕：〔1〕；；；〔2〕；；；

〔3〕；；；规律方法：1．如何确定椭圆的标准方程？

任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2．椭圆标准方程中的三个量的几何意义

椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且。可借助右图理解记忆：

显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。3．如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4．方程是表示椭圆的条件方程可化为，即，所以只有A、B、C同号，且AB时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。5．求椭圆标准方程的常用方法：①待定系数法：由条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；

②定义法：由条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6．共焦点的椭圆标准方程形式上的差异

共焦点，那么c相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此类问题常用待定系数法求解。7．判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据：①假设把曲线方程中的换成，方程不变，那么曲线关于轴对称；②假设把曲线方程中的换成，方程不变，那么曲线关于轴对称；③假设把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，那么曲线关于原点对称。8．如何求解与焦点三角形△PF1F2〔P为椭圆上的点〕有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形△PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理〔或勾股定理〕、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。将有关线段，有关角()结合起来，建立、之间的关系.9．如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？

长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，，用表示为。显然：当越小时，越大，椭圆形状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。【经典例题】1求椭圆的标准方程【例1】〔1〕椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的一个端点的距离为，那么椭圆方程为____________〔2〕椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线交椭圆于两点，假设，且，那么椭圆方程为_____________________【解】〔1〕由：，又，故求得：。所以，椭圆方程为：〔2〕设椭圆方程为：，且设，，PQ的中点为。由：，所以，即有：，又，求得：或。联立，消去y,得：，那么有:，即。由韦达定理可得：，从而有，易知：，，所以或，解之得：或。故椭圆方程为：或。【例2】中心在原点的椭圆的左，右焦点分别为，斜率为的直线过右焦点与椭圆交于两点，与轴交于点点，且〔1〕假设，求椭圆离心率的取值范围〔2〕假设，且弦的中点到右准线的距离为，求椭圆的方程【解】〔1〕设椭圆方程为：，那么直线的方程为：由，可求得：代入椭圆方程，并整理得：而且，故有：由：得：考虑到，故求得：〔2〕由〔1〕可知，当时，故椭圆方程可化为：联立消去得：设的中点为，那么易知：椭圆的右准线为：，于是故椭圆方程为：【例3】椭圆的中心在原点，短轴长为，右准线交轴于点，右焦点为，且，过点的直线交椭圆于两点〔1〕求椭圆的方程〔2〕假设，求直线的方程〔3〕假设点关于轴的对称点为，证明：直线过定点〔4〕求的最大面积【解】〔1〕椭圆方程为：〔2〕设直线的方程为：，且设联立消去，得：那么从而求得：由得：，求得所以的方程为：〔3〕有及〔2〕知：。设直线与轴交于点那么有由〔2〕可知：所以又由〔2〕知：，所以，即故直线过定点，即为椭圆的右焦点〔4〕由〔1〕得：令，那么当且仅当，即时，取“”所以的最大面积为2椭圆的性质【例4】椭圆的两个焦点分别为，，在椭圆上存在一点，使得〔1〕求椭圆离心率的取值范围〔2〕当离心率取最小值时，的面积为，设是椭圆上两动点，假设线段的垂直平分线恒过定点。①求椭圆的方程；②求直线的斜率的取值范围。【解】〔1〕设椭圆短轴的端点为B,由及椭圆的性质得：所以，从而，即，又，所以，得：，所以。〔2〕①当取得最小值时，在短轴顶点，所以，又，故求得：。所以椭圆方程为：②【法一：点差法】设，设的中点为，那么即①由的垂直平分线方程为：易知点在该直线上，所以②由①，②可求得：即由：点在椭圆内部，所以【法二：联立方程法】设，设直线的方程为，的垂直平分线方程为：联立消去得：那么有即①又有:从而所以的中点为。又在的垂直平分线上，所以，即②将②代人①求得：【注1】在方法二中，也可由得到②【注2】求取值范围问题通常要建立不等式，关于不等式的来源有以下几种情况：〔1〕不等式；〔2〕椭圆上的点的横坐标满足；〔3〕；〔4〕椭圆内部的点满足；【例5】椭圆的中心在原点，焦点在轴上，斜率为的直线过椭圆的右焦点与椭圆交于两点，与向量共线。〔1〕求椭圆的离心率〔2〕设为椭圆上任一点，假设，求证：为定值【解】〔1〕设椭圆方程为，设，，由：直线AB的方程为：，代入椭圆方程，得：，由韦达定理得：，易知：因为与向量共线，所以，而，所以，即，于是有：又，所以，故有：。〔2〕由〔1〕得：，，所以椭圆方程为：，即，直线AB的方程为：，于是有：，，从而，。于是。设，由：，将M的坐标代入椭圆方程得：，即，于是有：。故为定值。【例6】A为椭圆上一动点，弦分别过焦点，当轴时，恰有.〔1〕椭圆的离心率〔2〕设，，判断是否为定值？【解】〔1〕当轴时，，从而依定义有，所以而，所以，即。〔2〕由〔1〕可知椭圆方程为：，设①假设的斜率都存在，那么直线的方程为代入椭圆方程，并整理得：由韦达定理有由：；同理可得：所以②假设有一个斜率不存在，不妨设轴那么所以综上所述为定值。3.最值问题【例7】是椭圆的左，右焦点以及两定点〔1〕设为椭圆上一个动点①求的最大值与最小值；②求的最大值与最小值。〔2〕过点作直线与椭圆交于两点，假设为锐角〔为原点〕，求直线的斜率的取值范围【解】〔1〕①由：点在椭圆内部。易知所以，。依定义有：，所以，由三角不等式可得：，即。当且仅当三点依次共线以及三点依次共线时，左右等号分别成立。所以；〔此时三点依次共线〕。〔此时三点依次共线〕②【法一】易知所以，设，那么。因为，故当，即点P为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点P为椭圆长轴端点时，有最大1.【法二】易知，所以，设，由向量的数量积定义及余弦定理可得：〔以下同解法一〕〔2〕显然直线不满足题设条件，设，设直线的方程为：，联立，消去，整理得：∴由得：或又所以又所以，即所以。故由①、②得：或【例8】椭圆，是垂直于轴的弦，直线交轴于点，为椭圆C的右焦点，直线与交于点〔1〕证明：点在椭圆上〔2〕求面积的最大值【解】〔1〕由。设，那么且，与的方程分别为：联立两直线的方程求得：即因为，所以点在椭圆上〔2〕设直线的方程为且联立那么由：所以所以令，函数递增，所以当时，取得最小值，故当时，取得最大值【例9】椭圆的中心在原点，左，右焦点分别为，右顶点为，设，过原点的直线与椭圆交于两点，求的最大值【解】【方法一】由可得：椭圆方程为：。设那么，所以直线的方程为：即，作于，那么易知，所以因为点在椭圆上，所以可设所以当时，取得最大值【方法二】由，可得当且仅当即或时取等号所以的最大值为【例10】〔08山东〕曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为，记是以与坐标轴的交点为顶点的椭圆〔1〕求椭圆的标准方程〔2〕设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线，是上异于椭圆中心的点。①假设〔为坐标原点〕当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；②假设点是与椭圆的交点，求的最小面积【解】〔1〕由题意得又，解得：．因此所求椭圆的标准方程为：．〔2〕①假设所在直线的斜率存在且不为零，设所在直线方程为，且设．解方程组得：，，所以．设，由题意知：，所以，即，因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，即，因此，又，所以，故．当或不存在时，上式仍然成立．综上所述，的轨迹方程为．②当存在且时，由〔1〕得：，，由解得：，，所以，，．由于，当且仅当，即时等号成立，此时面积的最小值是．当，．当不存在时，．综上所述，的面积的最小值为．【〔2〕②另解】因为，又，所以，当且仅当，即时等号成立，此时面积的最小值是．【例11】(2009山东卷)设椭圆E:过M〔2，〕，N(,1)两点，O为坐标原点，〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？假设存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，假设不存在说明理由。〔3〕设直线与椭圆相切于点，与椭圆E只有一个公共点，当取何值时，取得最大值？并求此最大值【解】〔1〕因为椭圆E:过M〔2，〕，N(,1)两点,所以解得即所以椭圆E的方程为〔2〕①假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且。设该圆的切线方程为解方程组消去y，得：,,.那么△=，即由由韦达定理得：，。于是要使,需使，所以，①因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为②由①②可得：，所求的圆为，而当切线的斜率不存在时，切线为，与椭圆的两个交点为或，满足。综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且.②因为,，，所以ⅰ〕当时，。因为所以,，即,所以，当且仅当时取”=”.ⅱ〕当时,.ⅲ〕当AB的斜率不存在时,两个交点为或此时,ABDO综上,|AB|的取值范围为：。即:ABDO②【另解】如图，设，作于D，由①及可得：，易知，。所以。令，，易知：函数在上递减，在上递增。所以，。故。〔3〕设直线的方程为，设，因为直线与圆相切，所以①联立，消去Y得：由：，即②由①②可得：，。当直线与椭圆有唯一公共点Q时，有：即有：从而有：于是有：而，当且仅当，即时取等号。所以，故当时，。【课堂练习】一.选择题：１.椭圆上的一点P，到椭圆一个焦点的距离为３，那么P到另一焦点距离为〔〕A．２B．３２．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，那么椭圆方程是〔〕A.B.C.D.３.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是()A４．椭圆的一个焦点是，那么等于〔〕A. B. C. D.５．假设椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，那么离心率等于()A. B. C. D.６．椭圆两焦点为，，P在椭圆上，假设△的面积的最大值为12，那么椭圆方程为〔〕A.B.C.D.７．椭圆的两个焦点是F1(－1,0),F2(1,0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2A＋＝1B＋＝1C＋＝1D＋＝1８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，那么它的焦点与短轴端点连线的夹角为()(A)450(B)600(C)900(D)1200９．椭圆上的点M到焦点F1的距离是2，N是MF1的中点，那么|ON|为……〔〕A.4B.2C.810．△ABC的顶点B、C在椭圆EQ\f(x\S(2),3)＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，那么△ABC的周长是()〔A〕2EQ\r(,3)〔B〕6〔C〕4EQ\r(,3)〔D〕12二、填空题：11．方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围是____________12．过点且与椭圆有共同的焦点的椭圆的标准方程为_____________13．设,,△的周长是，那么的顶点的轨迹方程为_______14．如图：从椭圆上一点向轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，且它的长轴端点及短轴的端点的连线∥，那么该椭圆的离心率等于_____________三、解答题：15.椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程。16.点和圆：，点在圆上运动，点在半径上，且，求动点的轨迹方程。17．A、B为椭圆+=1上两点，F2为椭圆的右焦点，假设|AF2|+|BF2|=a，AB中点到椭圆左准线的距离为，求该椭圆方程．18．〔10分〕根据条件，分别求出椭圆的方程：〔1〕中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为，长轴长为；〔2〕中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，短轴的一个顶点与两个焦点组成的三角形的周长为，且。19．〔12分〕为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点。〔1〕求的最大值；〔2〕假设且的面积为，求的值；【课后作业】一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕1．以下命题是真命题的是 〔〕 A．到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆 B．到定直线和定点F(c，0)的距离之比为的点的轨迹是椭圆 C．到定点F(－c，0)和定直线的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是左半个椭圆D．到定直线和定点F(c，0)的距离之比为(a>c>0)的点的轨迹是椭圆2．假设椭圆的两焦点为〔－2，0〕和〔2，0〕，且椭圆过点，那么椭圆方程是 〔〕A． B． C． D．3．假设方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围为 〔〕A．〔0，+∞〕 B．〔0，2〕 C．〔1，+∞〕 D．〔0，1〕4．设定点F1〔0，－3〕、F2〔0，3〕，动点P满足条件，那么点P的轨迹是 〔〕A．椭圆 B．线段C．不存在 D．椭圆或线段5．椭圆和具有 〔〕A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴6．假设椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，那么这个椭圆的离心率为 〔〕A． B． C． D．7．是椭圆上的一点，假设到椭圆右准线的距离是，那么点到左焦点的距离是 〔〕A． B． C． D．8．椭圆上的点到直线的最大距离是 〔〕A．3 B． C． D．9．在椭圆内有一点P〔1，－1〕，F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|的值最小，那么这一最小值是 〔〕A． B． C．3 D．410．过点M〔－2，0〕的直线m与椭圆交于P1，P2，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1〔〕，直线OP的斜率为k2，那么k1k2的值为 〔〕A．2 B．－2 C． D．－二、填空题〔此题共4小题，每题6分，共24分〕11．离心率，一个焦点是的椭圆标准方程为___________.12．与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．13．是椭圆上的点，那么的取值范围是________________．14．椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，那么椭圆Ｅ的离心率等于__________________．三、解答题〔本大题共6题，共76分〕15．椭圆的对称轴为坐标轴，离心率，短轴长为，求椭圆的方程．(12分)A、B为椭圆+=1上两点，F2为椭圆的右焦点，假设|AF2|+|BF2|=a，AB中点到椭圆左准线的距离为，求该椭圆方程．(12分)高考及模拟题：1.(2008年惠州调研)(文科)椭圆的长轴长是短轴长的eq\r(2)倍，那么椭圆的离心率等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D.eq\f(\r(3),2)1．(2009年柳州模拟)(理科)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(5),4)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(1,2)2．(2008年佛山二模)假设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线y2＝2bx的焦点为F.假设eq\o(F1F,\s\up6(→))＝3eq\o(FF2,\s\up6(→))，那么此椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(3),3)3．(2008年江西卷)F1、F2是椭圆的两个焦点，满足eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0的点M总在椭圆内部，那么椭圆离心率的取值范围是()A．(0,1)B．(0，eq\f(1,2)]C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))4．(2009年江西卷)过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，假设∠F1PF2＝60°，那么椭圆的离心率为()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)5．(2008年湖北卷)如右图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，假设用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出以下式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a2>a1c2；④eq\f(c1,a1)＜eq\f(c2,a2).其中正确式子的序号是()A．①③B．②③C．①④D．②④6．(2008年全国卷Ⅰ)在△ABC中，AB＝BC，cosB＝－eq\f(7,18).假设以A，B为焦点的椭圆经过点C，那么该椭圆的离心率e＝___________.7．(2009年田家炳中学模拟)设椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的四个顶点分别为A、B、C、D,假设菱形ABCD的内切圆恰好经过椭圆的焦点，那么椭圆的离心率为_________．8．(2008年江苏卷)在平面直角坐标系中，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦距为2，以O为圆心，a为半径作圆，过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，0))作圆的两切线互相垂直，那么离心率e＝________.9．(2009年天津卷)椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－c,0)、F2(c,0)(c＞0)，过点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，0))的直线与椭圆相交于点A，B两点，且F1A∥F2B，|F1A|＝2|F2B|.(1)求椭圆的离心率；(2)求直线AB的斜率；(3)设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m，n)(m≠0)在△AF1C的外接圆上，求eq\f(n,m)的值．10．(2009年苏北十校联考)如右图，椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的焦点和上顶点分别为F1、F2、B，我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，那么称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．(1)椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1和C2：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1，判断C2与C1是否相似，如果相似那么求出C2与C1的相似比，假设不相似，请说明理由；(2)写出与椭圆C1相似且半短轴长为b的椭圆Cb的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质(不需证明)；(3)直线l：y＝x＋1，在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称，假设存在，那么求出函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c