第6章 实数复习 教学设计

人教版七下第6章实数复习课教学设计教学内容解析教学流程图地位与作用本章知识属于“数与代数”领域，主要内容是平方根、立方根的概念和求法，实数的有关概念和运算．学生已经对有理数的概念和运算有了深刻的认识，引入无理数后，扩大了数的范围，拓展了数的运算。本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识．本章内容不仅是初中阶段学习二次根式、一元二次方程以及解三角形中涉及运算的基础，也是更高学段学习的基础．概念解析根据两条线段的比不能表示为两个整数的比的情况，发现了无理数，并用无限不循环小数表示，有理数添加无理数后扩充到实数的范围．在扩充过程中，运算和运算律保持不变．思想方法数系扩充遵循“引入新数——扩大数集——研究新数系的性质——研究新数系的运算”．用类比原数系的方法研究新数系的性质、运算、运算律．知识类型由于乘方和开方互为逆运算，所以开平方、开立方运算分别以平方、立方运算为基础，平方根和立方根的概念离不开平方和立方的概念．通过复习实数的概念和运算，进一步明确知识之间的区别与联系，构建和优化知识结构．教学重点基于以上分析，确定本节课的教学重点：算术平方根、平方根、立方根，实数的概念、性质和运算，实数的知识体系．教学目标解析教学目标1．了解算术平方根、平方根、立方根，实数的概念．2．掌握实数的运算法则及运算律．3．理解实数的性质，知道实数与数轴上的点一一对应，会求实数的相反数与绝对值，能对实数进行大小比较．目标解析达成目标1的标志是：学生知道什么是算术平方根、平方根、立方根，实数，知道它们之间的关系，能够把知识整理成适当的结构体系，并能有条理地叙述出本章的核心知识．达成目标2的标志是：学生掌握实数的运算法则，会利用运算律进行运算．达成目标3的标志是：学生知道数系扩充的研究过程，能够用归纳的方法研究问题．教学问题诊断分析具备的基础学生经历了全章的学习，掌握了算术平方根，平方根，立方根，实数等相关知识，并且能够运用所学的知识解决问题．与本课目标的差距分析本节课的学习中，学生将面对综合性的问题，需要学生融会贯通的加以解决，通过梳理已学习的知识，基于数系扩充的理念构建全章的知识体系．存在的问题数系扩充抽象程度较高，学生平时接触很少，深入思考需要一定的时间．全章的知识体系，对每一部分的知识都要有重新的认识，需要深刻理解乘方和开方的关系，在整体的视野下进行构建．应对策略突出解题过程的思考，强化知识之间的相关联系，深化知识理解、优化知识结构，体会类比、数形结合的数学思想，以及从特殊到一般的研究方法．教学难点基于以上分析，确定本节课的教学难点：基于数系扩充的知识整理．教学支持条件分析教学过程设计课前检测1．9的平方根是__________．设计意图：通过经典的题目，唤起学生对平方根概念的回忆，为本节课的复习做好准备．2．=__________，=__________．设计意图：选取与实数有关的运算，让学生感悟到数与代数领域的核心在于运算，在此过程中回忆运算的顺序．3．实数可以怎样分类？设计意图：让学生从两个纬度对实数进行分类，搞清不同类别数之间的内在联系，理顺其中的从属关系，深化对概念的理解．回顾整理问题1

数的概念是怎样从正整数逐步发展到实数的？师生活动：教师引导学生回顾数系扩充的过程．设计意图：逐步引入新数扩充到实数，体会数系扩充的过程，理清彼此之间的内在联系．追问1：通过具体的例子说说对无理数的认识．师生活动：学生列举出若干个无理数，教师引导写出开不尽方的平方根和立方根，（如，，），重温对无理数的认识．设计意图：理解无理数就是无限不循环小数，明确无理数的大致类别．追问2：随着数的不断扩充，数的运算有什么发展？师生活动：教师引导学生回顾在数系扩充的过程中，明确有些运算是保持不变的，有些运算是随着扩充而新增加的．设计意图：数的范围从有理数扩充到实数，体现了概念、运算的一致性。随着数的扩充，数的运算也有了新的发展，在实数范围内，不仅能进行加、减、乘、除运算，而且对任意非负数都能进行开平方运算，对任意实数能进行开立方运算．追问3：在数系扩充过程中，运算律始终保持不变吗？（若学生已经回答相关内容，则教师进行梳理，然后直接跳转问题2）师生活动：学生通过具体的例子作为载体，说明加法和乘法的运算律始终保持不变，教师引导归纳数与代数的核心是运算和运算律．设计意图：体会数系扩充过程中的不变，体会数与代数的核心是运算和运算律．问题2：回顾算术平方根，平方根，立方根的概念和性质，乘方运算和开方运算有什么关系？一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．a的算术平方根记为，a叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0．一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根．这就是说，如果x2＝a，那么x叫做a的平方根．一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．师生活动：结合举出的平方根和立方根的例子，学生回顾算术平方根，平方根，立方根的概念和性质，重温乘方和开方互为逆运算的过程．设计意图：深化数学概念的理解，体会乘方和开方是互为逆运算的．问题3：写出，，的相反数，并比较它们的大小．师生活动：学生写出，，的相反数，教师引导学生说出实数的比较大小和有理数的比较大小是一样的，即正数大于0，0大于负数，正数大于负数，两个负数绝对值大的反而小，提出实数范围内的相反数，绝对值和有理数范围内的涵义相同．设计意图：通过具体的例子，感受有理数扩充到实数范围时，相反数，绝对值等的涵义相同．追问1：怎样用有理数来估计无理数的大致范围？师生活动：承接上面的问题，比较无理数的大小，需要用有理数来估计无理数的大致范围，引导学生用夹逼的方法来估算，在此过程中可适当使用计算器．设计意图：对无理数进行逼近，得到近似值（有理数），感受无理数的产生过程，体会技术对数学学习的影响．追问2：有理数和无理数的联系和区别是什么？师生活动：学生回答有理数和无理数统称为实数，有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数．设计意图：明确实数的组成，深化对有理数、无理数和实数概念的理解．追问3：可以把实数表示在数轴上比较大小，实数与数轴有什么关系？师生活动：学生发现实数和数轴上的点是一一对应的，教师引导学生理解其内涵，引导学生明白在数轴上右边点表示的数大于左边点表示的数，这与用数轴比较有理数大小相同．设计意图：体会实数与数轴上的点是一一对应的，通过用数轴来比较大小，进一步感受数系扩充的一致性．目标1检测：下列说法中：①

-9的算术平方根是3；②

的平方根是；③

；④

带根号的数都是无理数，正确的是__________．设计意图：针对目标1的检测．师生活动：如果学生基本上回答正确，那么可以下一个环节；如果出现错误，那么针对错误点回顾相关的概念．目标2检测：计算：．设计意图：针对目标2的检测．师生活动：如果学生基本上回答正确，那么可以下一个环节；如果出现错误，那么针对错误点回顾相关的概念，并选取相近的题目进行重新检测．目标3检测：并在数轴上表示对应的点．设计意图：针对目标3的检测．师生活动：如果学生基本上回答正确，那么可以下一个环节；如果出现错误，那么让学生进行合作交流，体会实数和数轴上的点是一一对应的．问题4：根据知识的回顾，梳理出本章的知识结构图．师生活动：学生根据自己的认识梳理出个性化的知识结构图，教师巡视并进行点拨，优化个性化的知识结构图，待学生完善后给出参考的知识结构图．设计意图：根据个体的不同情况，帮助学生建立个性化知识结构图，并通过比较优化结构图．典例精析课堂小结例1

下列说法正确的是（）A．实数不是有理数就是无理数．B．无限小数都是无理数．C．带根号的数都是无理数．D．两个无理数之和一定是无理数．师生活动：学生回答并分析，说出有理数、无理数和实数的概念和关系，教师点评．设计意图：加深对有理数、无理数和实数的概念的理解．例2

已知≈2.078，≈20.78，则y=__________．师生活动：学生回答问题，教师引导学生提出若干个类似的问题并加以解答．设计意图：进一步理解乘方和开方是互为逆运算的．例3

计算：（1）（2）师生活动：学生自主完成，教师评析．设计意图：体现运算是实数学习的重点，注重双基的落实．例4

已知的整数部分和小数部分分别为和，求的值．师生活动：学生分析小数部分的缘由，并通过运算解决问题，教师评析．设计意图：感受无理数是无限不循环小数，体会有理数和无理数的关系，提高运算的精准度．课堂小结问题5

通过复习，畅谈数系扩充的学习过程，回忆学习的方法和数学思想，构建框架图形式的小结．师生活动：学生通过交流，发表各自的见解，总结得到数系扩充学习过程中的一致性．设计意图：通过小结，引导学生概括数系扩充的基本思想，提升学生的数学素养．目标检测设计1．如图，在数轴上表示实数的点可能是（）A．PB．QC．MD．N2．已知一个