单调性与最大(小)值

3.单调性与最大(小)值【考点梳理】重难点：单调性考点一：增函数与减函数的定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：(1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数．(2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数．考点二：函数的单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．重难点：函数的最大(小)值考点一：函数的最大(小)值及其几何意义最值条件几何意义最大值①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标最小值①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标考点二：求函数最值的常用方法1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．2．运用已学函数的值域．3．运用函数的单调性：(1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)．(2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)．4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．【题型归纳】题型一：函数单调性的判定与证明1．（2023秋·全国·高一）下列命题正确的是（

）A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同【答案】C【分析】分别判断出，，和的单调性，即可判断．【详解】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误；对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误；对于C：在是增函数，在是减函数，，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确；对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数；设定义域为，取，则，当时，，即在上单调递减，当，，即在上单调递减，同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误，故选：C．2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数.判断函数在上的单调性，并证明；【答案】函数在上单调递减，理由见详解【分析】利用定义法即可证明函数的单调性.【详解】函数在上单调递减；理由如下：取，规定，则，因为，，所以，所以，所以函数在上单调递减.3．（2023·全国·高一课堂例题）求函数的单调递减区间．【答案】函数的单调递减区间为，【分析】方法一：利用定义法，求出函数定义域后，设，是区间上的任意两个实数，且，然后作差变形，判断其符号，可得其单调区间，方法二：求出函数定义域后，对函数分离常数变形，然后利用基本函数的单调性可求出函数的单调区间.【详解】方法一（定义法）由题意知函数的定义域是，设，是区间上的任意两个实数，且，则，，∵，，∴，，，，∴，即，∴函数在上单调递减．同理可得，函数在上单调递减．综上可得，函数的单调递减区间为和．方法二（分离常数法）由题意知函数的定义域是，函数可变形为，此时，求函数的单调区间转化为求函数的单调区间．由，知，则函数在和上均单调递减．故函数的单调递减区间为，．题型二：根据函数的单调性求参数范围4．（2023春·天津北辰·高一校考阶段练习）函数在上是增函数，则实数的范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据二次函数的性质即可由对称轴求解.【详解】由于为开口向下的二次函数，对称轴为，所以，故选：A5．（2023·全国·高一专题练习）已知是上的增函数，那么的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据是R上的增函数，列出不等式组，解该不等式组即可得答案．【详解】因为函数是上的增函数，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选：C.6．（2023秋·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校考期末）已知，若函数在区间上为减函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出函数解析式，再求出函数的单调减区间，然后结合已知条件可求出的取值范围.【详解】令，则，所以，所以在上递减，因为函数在区间上为减函数，所以，得，故选：A题型三：复合函数的单调性7．（2022·辽宁丹东·高一丹东市第四中学校考期中）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由复合函数的单调性求解，【详解】由得或，即的定义域为，而在上单调递减，在上单调递增，由复合函数单调性得，的单调递减区间为，故选：B8．（2022秋·四川遂宁·高一校考期中）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函数的解析式，求得函数的定义域，再结合二次函数的性质和复合函数的单调性的判定方法，即可求解.【详解】由函数有意义满足，解得或，令，由二次函数的性质，可得函数在上单调递减，在单调递增，结合复合函数的单调性的判定方法，可得函数在区间单调递减，即函数的单调递减区间为.故选：D.9．（2022·高一课时练习）若函数区间单调递减，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复合函数的单调性得，解出即可．【详解】由题意得，∴，即，故选：C．题型四：根据函数的单调性解不等式10．（2023秋·全国·高一专题练习）已知是定义在上的增函数，且，则满足的x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的单调性进行求解即可.【详解】因为，所以由，因为是定义在上的增函数，所以有，故选：A11．（2023·全国·高一专题练习）已知函数是定义在区间上的函数，且在该区间上单调递增，则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知有，即可求取值范围.【详解】因为函数是定义在区间上的增函数，满足，所以，解得.故选：D12．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意，可知在上单调递减，又，所以,解不等式即可得解.【详解】由题意,，不失一般性不妨假设，则，所以在上单调递减，又，所以,解不等式得,则正实数的取值范围为.故选：B.题型五：根据函数的单调性求值域13．（2022秋·江西·高一江西师大附中校考期中）函数，的值域是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用分离常数法，结合函数的单调性求解即可．【详解】，当时，单调递增，，当时，单调递增，，故函数，的值域是．故选：C．14．（2022春·安徽安庆·高一安庆市第二中学校考阶段练习）已知不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值之和为（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【分析】由题意可得，是方程的两根，可求得的值，分析二次函数在区间上单调性，求出最值得解.【详解】由题不等式的解集是，所以是方程的两根，，解得，二次函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，，当时，，所以二次函数在区间上最大值与最小值之和为.故选：B.15．（2022秋·甘肃酒泉·高一校考期中）已知集合，函数，则此函数的最小值是（

）A． B． C． D．不存在【答案】C【分析】令，利用复合函数的单调性求解即可.【详解】设，则，所以是由和构成的复合函数，因为在上是递增函数，在上是单调递减函数，在是单调递增函数，所以在是递减函数，在递增函数，所以当时，取得最小值为，故选：C题型六：函数不等式恒成立问题16．（2023·全国·高一专题练习）若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】真命题转化为不等式恒成立求参数的取值范围求解即可.【详解】若“，使成立”的否定是：“，使”为真命题，即；令，由，得，所以，所以，故选：C.17．（2021秋·四川攀枝花·高一攀枝花市第十五中学校校考期中）对于任意x∈[2，2]，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（）A． B．m≤2 C．m≤0 D．m≤4【答案】C【分析】将不等式进行等价变形，再换元构造函数，求出函数的最小值即可判断作答.【详解】依题意，，x∈[2，2]，令，则化为，显然，在上单调递增，在上单调递减，而，即，于是得x∈[2，2]，当时，取最小值0，又任意x∈[2，2]，不等式恒成立，则，所以实数m的取值范围是.故选：C18．（2021·全国·高一专题练习）已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由分段函数知，分两部分讨论函数的单调性，从而可得在上是减函数，化恒成立问题为在，上恒成立；从而化为最值问题即可．【详解】解：由，知：①当时，，故在，上是减函数；②当时，，故在上是减函数；又，在上是减函数，不等式在，上恒成立可化为在，上恒成立；即在，上恒成立，故，解得，，即；故选：A．题型七：函数的单调性的综合问题19．（2023·全国·高一专题练习）已知函数.(1)求函数的定义域；(2)用定义法证明：在上单调递增；(3)求在上的最大值与最小值.【答案】(1)(2)证明见解析(3)，【分析】（1）由分母不等于零可求得函数定义域；（2）设，由可证得结论；（3）由单调性可确定最值点，结合解析式可得最值.【详解】（1）由得：，的定义域为.（2）设，，，，，在上单调递增.（3）由（2）知：在上单调递增，，.20．（2023秋·浙江丽水·高一统考期末）已知函数.(1)若，判断函数在区间上的单调性并用定义证明；(2)，恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)单调递增，证明见解析(2)或.【分析】（1）先取值，再对函数值作差，变形后判断符号，从而可得结论；（2）由，得恒成立，从而可求出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，在区间上单调递增.证：，且，则，，，即，在区间上单调递增.（2）由，因为，所以有，可得，可得，可得，可得或，因为，，所以的最大值为1，的最小值为，综上可知，的取值范围是或.21．（2023·全国·高一专题练习）已知定义在上的函数，满足，，且对于任意，都有.(1)求；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)0(2)【分析】（1）根据条件，令，即可得到；（2）由条件结合函数单调性的定义得到函数在上单调递减，再由，，得到，从而得到，即可求解.【详解】（1）令，得，解得：，所以.（2）因为对任意，都有，所以函数在上单调递减，又时，，且，则由，得：，即，所以，解得：，故实数的取值范围为.【双基达标】一、单选题22．（2023秋·高一）下列函数在区间上为增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定条件，逐项判断函数在上的单调性作答.【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是；对于B，函数在上单调递增，B是；对于C，函数在上单调递减，C不是；对于D，函数在上不单调，D不是.故选：B23．（2023秋·高一课时练习）函数的值域是（）A．R B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，由函数的解析式，即可得到其值域.【详解】当时，；当时，，所以函数的值域是．故选：B24．（2023·全国·高一专题练习）已知函数在闭区间上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意结合二次函数的性质运算求解.【详解】因为，可知开口向上，对称轴为，则在上单调递减，在上单调递增，又因为，且在闭区间有最大值3，最小值2，所以.故选：D.25．（2023·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，若对都有，且在上单调递减，则与的大小关系是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由，得到，利用单调性即可判断大小关系，即可求解．【详解】因为对都有，所以又因为在上单调递减，且，所以，即．故选：A．26．（2023·全国·高一专题练习）“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】求出函数在区间上单调递增时a的取值范围，判断和的逻辑推理关系，即可得答案.【详解】由题意函数在区间上单调递增，需满足，解得，则推不出，反之，也推不出，故“”是“函数在区间上单调递增”的既不充分也不必要条件，故选：D27．（2023春·河北衡水·高一衡水市第二中学校考期中）已知函数的最小值是－1，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据端点处的函数值，然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围.【详解】由已知可得显然在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，,当时，，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值当时，，在上单调递增，所以在处取得最小值，当时，，在上单调递减，于题意不符；当时，，在上单调递减，于题意不符；.故选：C.28．（2023秋·全国·高一专题练习）定义在R上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性比较函数值大小．【详解】∵函数图象关于对称，且对任意，当时都有，∴在上单调递减，在单调递增，，∵，∴，∴．故选：B．29．（2023春·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考开学考试）已知函数.(1)当时，求在上的最值；(2)若在上有最大值2，求实数的值.【答案】(1)最大值为1，最小值为；(2)或2.【分析】（1）把代入函数式，再利用二次函数性质求出最值作答.（2）根据二次函数图象对称轴与区间的关系分类，探讨取得最大值2的a值作答.【详解】（1）当时，函数，，显然函数在上递增，在上递减，当时，，当时，，所以函数的最大值为1，最小值为.（2）函数，，当时，函数在上单调递减，，由，得，则；当时，函数在上单调递增，，即有，则，当时，，由，解得，无解，所以实数的值为或2.30．（2023秋·河北邯郸·高一校考期末）已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立．(1)求；(2)用定义证明的单调性；【答案】(1)0；(2)见解析.【分析】（1）利用赋值法结合条件计算即可；（2）利用单调性的定义作差计算即可.【详解】（1）令，则由题意可得，（2）任取且，即，由题意可得，而当且仅当时，，所以，即，所以函数在单调递减.【高分突破】一、单选题31．（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）若函数是R上的增函数，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，要使函数是R上的增函数，其每一段函数在其定义域内必须为增函数且左端的最大值小于等于右端的最小值，列出不等式组求解即可.【详解】由题意得，解得.故选：A.32．（2023·高一课时练习）设函数，在区间上都是增函数，则在区间上，下列说法中：①是增函数；

②是增函数；③是增函数；

④是增函数．所有正确说法的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据单调性的性质判断①，利用反例判断②③④.【详解】因为函数，在区间上都是增函数，所以在区间上是增函数，故①正确；对于②：令，，，显然、在上单调递增，当时在上单调递减，故②错误；对于③、④：令，，，显然、在上单调递增，则在上单调递减，故③错误；则在上单调递减，故④错误；故选：A33．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）设函数若存在最小值，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据分段函数解析式，讨论、，结合一次函数、二次函数性质判断是否存在最小值，进而确定参数范围.【详解】由，函数开口向上且对称轴为，且最小值为，当，则在定义域上递减，则，此时，若，即时，最小值为；若，即时，无最小值；当，则在定义域上为常数，而，故最小值为；当，则在定义域上递增，且值域为，故无最小值.综上，.故选：B34．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】根据已知得出函数在定义域上单调递减，即可根据单调性解不等式得出答案.【详解】函数中，在上单调递减，在上单调递减，且，则函数在定义域上单调递减，，，解得：，即不等式的解集为.故选：D.35．（2023·全国·高一专题练习）定义在R上的函数f（x）满足，且当时，单调递增，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的对称性和单调性即可.【详解】由，得的对称轴方程为，故，即，解得．故选：D.二、多选题36．（2023·全国·高一专题练习）已知函数在上的值域为，则实数的值可以是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BCD【分析】配方后得到当时，取得最小值，结合，求出，得到答案.【详解】，当时，单调递减，当时，单调递增，故当时，取得最小值，又，故要想在上的值域为，则要，故实数的值可以是.故选：BCD37．（2023秋·浙江台州·高一统考期末）已知，都是定义在上的增函数，则（

）A．函数一定是增函数 B．函数有可能是减函数C．函数一定是增函数 D．函数有可能是减函数【答案】ABD【分析】根据单调性的定义即可判断各选项.【详解】对于A，设，设，则又由都是定义在上的增函数，则且，所以，故函数一定是增函数，A正确；对于B，设，此时为减函数，B正确；对于C，设，此时，在上为减函数，C错误；对于D，当时，函数为减函数，D正确.故选：ABD.38．（2023·全国·高一专题练习）已知函数，若对任意的，且恒成立，则实数a的取值可以是（

）A． B． C．1 D．2【答案】AB【分析】根据题意设，通过变形得到恒成立，进而构造，转化为在上单调递减进而分类讨论求解即可.【详解】不妨设，则，根据题意，可得恒成立，即恒成立，令，则恒成立，所以函数在上单调递减.当时，在上单调递减，符合题意；当时，要使在上单调递减，则解得.综上所述，实数a的取值范围是.故选：AB39．（2023·全国·高一专题练习）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（）A．B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集为【答案】ACD【分析】依题意令，求出，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D.【详解】因为，则有，令，则，则，故A正确；令，则，令代，则，即，即，故B错误；设且，则，由，令，则，即，令，，则，即，因为时，，又，故，所以，所以，即在上单调递减，又，所以，，又，所以，故在上的最大值为，故C正确；由，即，即，即，又因为，即，所以，即，故，即，解得，即原不等式的解集为，故D正确；故选：ACD.40．（2022秋·海南海口·高一海口一中校考期中）已知，则（

）A．最小值 B．最大值为C．无最小值 D．无最大值【答案】AD【分析】依题意将写成分段函数形式，分别画出两函数在同一坐标系下的图象，并结合图象即可得出结论.【详解】根据题意函数，在同一坐标系下画出两函数图象如下：根据可知，取的是两函数图象在上的部分，如上图中的粗直实线以及其两侧的向上的抛物线；由图可知有最小值，无最大值，BC错误，D正确；且最小值的横坐标是方程的正实根，即，所以最小值为，即可知A正确.故选：AD三、填空题41．（2023·全国·高一专题练习）若函数在区间上是严格增函数，则实数的取值范围是.【答案】【分析】利用函数在区间上的单调性，结合定义法求实数的取值范围，【详解】函数在区间上是严格增函数，则任取，都有，即，由，有，，所以，由，则，即实数的取值范围是.故答案为：42．（2023·全国·高一课堂例题）设，不等式恒成立，则实数的最大值为．【答案】3【分析】分离参数，由对勾函数的单调性得出实数的最大值.【详解】，故只需．因为，令，则，再令，在上单调递增，故当，即时，取最小值3，所以，的最大值为3．故答案为：343．（2023春·云南玉溪·高一统考期末）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是．【答案】【分析】根据二次函数的对称轴，结合已知可得.【详解】函数关于对称，因为函数在上具有单调性，所以，或．故答案为：44．（2023·全国·高一专题练习）函数的定义域为A，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列说法中：①函数是单函数；②函数是单函数；③若函数为单函数，且，则；④若函数是A上的单函数，则是A上的单调函数．其中所有正确说法的序号是．【答案】②③【分析】结合单函数的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案.【详解】对于①，若函数是单函数，则由得,解得或，不满足单函数的定义，故①错