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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,,已知函数(),则函数的值域为()A. B. C. D.2.已知函数(e为自然对数底数),若关于x的不等式有且只有一个正整数解,则实数m的最大值为()A. B. C. D.3.当时,函数的图象大致是()A. B.C. D.4.二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是()A.180 B.90 C.45 D.3605.已知函数fx=sinωx+π6+A.16,13 B.16.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸7.设(是虚数单位),则()A. B.1 C.2 D.8.执行程序框图,则输出的数值为()A. B. C. D.9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为()A. B. C. D.10.已知,则()A. B. C. D.211.已知为正项等比数列,是它的前项和,若,且与的等差中项为,则的值是()A.29 B.30 C.31 D.3212.已知函数是奇函数,且,若对,恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.数学家狄里克雷对数论,数学分析和数学物理有突出贡献,是解析数论的创始人之一.函数,称为狄里克雷函数.则关于有以下结论:①的值域为;②;③;④其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号)14.曲线在处的切线的斜率为________.15.展开式中项系数为160,则的值为______.16.在平面五边形中,,,,且.将五边形沿对角线折起,使平面与平面所成的二面角为,则沿对角线折起后所得几何体的外接球的表面积是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知动圆恒过点,且与直线相切.(1)求圆心的轨迹的方程;(2)设是轨迹上横坐标为2的点,的平行线交轨迹于,两点,交轨迹在处的切线于点,问:是否存在实常数使,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.18.(12分)已知函数,(Ⅰ)当时,证明;(Ⅱ)已知点,点,设函数,当时,试判断的零点个数.19.(12分)已知函数,其中.(1)讨论函数的零点个数;(2)求证:.20.(12分)已知函数,若的解集为.(1)求的值;(2)若正实数,,满足,求证:.21.(12分)在平面直角坐标系中,直线的的参数方程为(其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线经过点.曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程;(2)过点作直线的垂线交曲线于两点(在轴上方),求的值.22.(10分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程;(2)若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点,且,点的坐标为,求的面积.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
利用换元法化简解析式为二次函数的形式,根据二次函数的性质求得的取值范围,由此求得的值域.【详解】因为(),所以,令(),则(),函数的对称轴方程为,所以,,所以,所以的值域为.故选:B【点睛】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识,考查学生分析问题,解决问题的能力,运算求解能力,转化与化归思想,换元思想,分类讨论和应用意识.2、A【解析】
若不等式有且只有一个正整数解,则的图象在图象的上方只有一个正整数值,利用导数求出的最小值,分别画出与的图象,结合图象可得.【详解】解:,∴,设,∴,当时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,∴,当时,,当,,函数恒过点,分别画出与的图象,如图所示,,若不等式有且只有一个正整数解,则的图象在图象的上方只有一个正整数值,∴且,即,且∴,故实数m的最大值为,故选:A【点睛】本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了数形结合思想,考查了数学运算能力.3、B【解析】由,解得,即或,函数有两个零点,,不正确,设,则,由,解得或,由,解得:,即是函数的一个极大值点,不成立,排除,故选B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性,导数的应用以及数学化归思想,属于难题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意选项一一排除.4、A【解析】试题分析:因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以,,令,则,.考点:1.二项式定理;2.组合数的计算.5、A【解析】
将fx整理为3sinωx+π3,根据x的范围可求得ωx+π3∈π【详解】f当x∈0,π时,又f0=3sin由fx在0,π上的值域为32解得:ω∈本题正确选项:A【点睛】本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题,关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限,从而得到关于参数的不等式.6、B【解析】试题分析:根据题意可得平地降雨量,故选B.考点:1.实际应用问题;2.圆台的体积.7、A【解析】
先利用复数代数形式的四则运算法则求出,即可根据复数的模计算公式求出.【详解】∵,∴.故选:A.【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则的应用,以及复数的模计算公式的应用,属于容易题.8、C【解析】
由题知:该程序框图是利用循环结构计算并输出变量的值,计算程序框图的运行结果即可得到答案.【详解】,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,满足条件,,,,,不满足条件,输出.故选:C【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构,属于简单题.9、C【解析】
由三视图可知,几何体是一个三棱柱,三棱柱的底面是底边为,高为的等腰三角形,侧棱长为,利用正弦定理求出底面三角形外接圆的半径,根据三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心,求出球的半径,即可求解球的表面积.【详解】由三视图可知,几何体是一个三棱柱,三棱柱的底面是底边为,高为的等腰三角形,侧棱长为,如图:由底面边长可知,底面三角形的顶角为,由正弦定理可得,解得,三棱柱的两底面中心连线的中点就是三棱柱的外接球的球心,所以,该几何体外接球的表面积为:.故选:C【点睛】本题考查了多面体的内切球与外接球问题,由三视图求几何体的表面积,考查了学生的空间想象能力,属于基础题.10、B【解析】
结合求得的值,由此化简所求表达式,求得表达式的值.【详解】由,以及,解得..故选:B【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值,考查二倍角公式,属于中档题.11、B【解析】
设正项等比数列的公比为q,运用等比数列的通项公式和等差数列的性质,求出公比,再由等比数列的求和公式,计算即可得到所求.【详解】设正项等比数列的公比为q,则a4=16q3,a7=16q6,a4与a7的等差中项为,即有a4+a7=,即16q3+16q6,=,解得q=(负值舍去),则有S5===1.故选C.【点睛】本题考查等比数列的通项和求和公式的运用,同时考查等差数列的性质,考查运算能力,属于中档题.12、A【解析】
先根据函数奇偶性求得,利用导数判断函数单调性,利用函数单调性求解不等式即可.【详解】因为函数是奇函数,所以函数是偶函数.,即,又,所以,.函数的定义域为,所以,则函数在上为单调递增函数.又在上,,所以为偶函数,且在上单调递增.由,可得,对恒成立,则,对恒成立,,得,所以的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式,根据方程组法求函数解析式,利用导数判断函数单调性,属压轴题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、②【解析】
根据新定义,结合实数的性质即可判断①②③,由定义求得比小的有理数个数,即可确定④.【详解】对于①,由定义可知,当为有理数时;当为无理数时,则值域为,所以①错误;对于②,因为有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,所以满足,所以②正确;对于③,因为,当为无理数时,可以是有理数,也可以是无理数,所以③错误;对于④,由定义可知,所以④错误;综上可知,正确的为②.故答案为:②.【点睛】本题考查了新定义函数的综合应用,正确理解题意是解决此类问题的关键,属于中档题.14、【解析】
求出函数的导数,利用导数的几何意义令,即可求出切线斜率.【详解】,,,即曲线在处的切线的斜率.故答案为:【点睛】本题考查了导数的几何意义、导数的运算法则以及基本初等函数的导数,属于基础题.15、-2【解析】
表示该二项式的展开式的第r+1项,令其指数为3,再代回原表达式构建方程求得答案.【详解】该二项式的展开式的第r+1项为令,所以,则故答案为:【点睛】本题考查由二项式指定项的系数求参数,属于简单题.16、【解析】
设的中心为,矩形的中心为,过作垂直于平面的直线,过作垂直于平面的直线,得到直线与的交点为几何体外接球的球心,结合三角形的性质,求得球的半径,利用表面积公式,即可求解.【详解】设的中心为,矩形的中心为,过作垂直于平面的直线,过作垂直于平面的直线,则由球的性质可知,直线与的交点为几何体外接球的球心,取的中点,连接,,由条件得,,连接,因为,从而,连接,则为所得几何体外接球的半径,在直角中,由,,可得,即外接球的半径为,故所得几何体外接球的表面积为.故答案为:.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征,以及多面体的外接球的表面积的计算,其中解答中熟记空间几何体的结构特征,求得外接球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力与运算求解能力,属于中档试题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)存在,.【解析】
(1)根据抛物线的定义,容易知其轨迹为抛物线;结合已知点的坐标,即可求得方程;(2)由抛物线方程求得点的坐标,设出直线的方程,利用导数求得点的坐标,联立直线的方程和抛物线方程,结合韦达定理,求得,进而求得与之间的大小关系,即可求得参数.【详解】(1)由题意得,点与点的距离始终等于点到直线的距离,由抛物线的定义知圆心的轨迹是以点为焦点,直线为准线的抛物线,则,.∴圆心的轨迹方程为.(2)因为是轨迹上横坐标为2的点,由(1)不妨取,所以直线的斜率为1.因为,所以设直线的方程为,.由,得,则在点处的切线斜率为2,所以在点处的切线方程为.由得所以,所以.由消去得,由,得且.设,,则,.因为点,,在直线上,所以,,所以,所以.∴故存在,使得.【点睛】本题考查抛物线轨迹方程的求解,以及抛物线中定值问题的求解,涉及导数的几何意义,属综合性中档题.18、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)1.【解析】
(Ⅰ)令,;则.易得,.即可证明;(Ⅱ),分①,②,③当时,讨论的零点个数即可.【详解】解:(Ⅰ)令,;则.令,,易得在递减,在递增,∴,∴在恒成立.∵在递减,在递增.∴.∵;(Ⅱ)∵点,点,∴,.①当时,可知,∴∴,,∴.∴在单调递增,,.∴在上有一个零点,②当时,,,∴,∴在恒成立,∴在无零点.③当时,,.∴在单调递减,,.∴在存在一个零点.综上,的零点个数为1..【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点问题,考查了分类讨论思想,属于压轴题.19、(1)时,有一个零点;当且时,有两个零点;(2)见解析【解析】
(1)利用的导函数,求得的最大值的表达式,对进行分类讨论,由此判断出的零点的个数.(2)由,得到和,构造函数,利用导数证得,即有,从而证得,即.【详解】(1),∴当时,,当时,在上递增,在上递减,.令在上递减,在上递增,,当且仅当时取等号.①时,有一个零点;②时,,此时有两个零点;③时,,令在上递增,,此时有两个零点;综上:时,有一个零点;当且时,有两个零点;(2)由(1)可知:,令在上递增,.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的零点,考查利用导数证明不等式,考查分类讨论的数学思想方法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.20、(1);(2)证明见详解.【解析】
(1)将不等式的解集用表示出来,结合题中的解集,求出的值;(2)利用柯西不等式证明.【详解】解:(1),,,因为的解集为,所以,;(2)由(1)由柯西不等式,当且仅当,,,等号成立.【点睛】本题考
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