拓展六圆锥曲线的定点定值定直线问题-

拓展六：圆锥曲线的定点、定值问题知识点1圆锥曲线的定点问题圆锥曲线中过定点问题常见有两种解法：（1）求出圆锥曲线或直线的方程解析式，研究解析式，求出定点（2）从特殊位置入手，找出定点，在证明该点符合题意（运用斜率相等或者三点共线）。解题步骤：第一步把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零；第二步参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组；第三步方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求；第四步用一般化方法证明.1、直线方程过定点技巧方法：(1)动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝f（k），或直接求出m的值，故而得出动直线过定点．上述动直线也可设为：x＝ty＋m.(斜率不为0).(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点.(3)若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.注：(1)对于椭圆()上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,当以为直径的圆过左顶点时,直线过定点.(2)对于双曲线上异于右顶点的两动点,,以为直径的圆经过右顶点,则直线过定点.同理,对于左顶点,则定点为.(3)对于抛物线上异于顶点的两动点,,若,则弦所在直线过点.同理,抛物线上异于顶点的两动点,,若,则直线过定点.2、直线方程过已知定点技巧方法：此类问题解决较未知定点更为简单，可采用的手法更多。常见题型：（1）已知定点在x、y轴；（2）定点完全已知。3、曲线过定点问题技巧方法：动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．知识点2圆锥曲线的定值问题求定值问题常见的解题模板有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．注：在圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)中,曲线上的一定点(非顶点)与曲线上的两动点,满足直线与的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线的斜率为定值.1、在椭圆中：已知椭圆,定点()在椭圆上,设,是椭圆上的两个动点,直线，的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率2、在双曲线:中，定点()在双曲线上,设,是双曲线上的两个动点,直线,的斜率分别为，,且满足.则直线的斜率3、在抛物线：，定点()在抛物线上,设,是抛物线上的两个动点,直线,的斜率分别为,,且满足.则直线的斜率.类型一圆锥曲线的定点问题直线过定点问题1．（2022·河南安阳·高二期末（理））已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上在第一象限内的任意一点，且的周长为．(1)求的方程；(2)已知点，若不过点的直线与交于、两点，且，证明：直线过定点．【解析】（1）解：的周长为，由已知可得，解得，因此，椭圆的方程为.（2）解：由可得.若直线的斜率不存在，设点、，则，其中，则，，所以，，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立，得，，即，，因为，，由，得，即，则，整理得，解得.所以，直线的方程为，过定点．2．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知椭圆的一个顶点为，离心率为.(1)求椭圆的方程：(2)过椭圆右焦点且斜率为的直线与椭圆相交于两点，轴交于点，线段的中点为，直线过点且垂直于（其中为原点），证明直线过定点.【解析】（1）依题意，，又椭圆的标准方程为.（2）由（1）知右焦点坐标为，设直线方程为，由得，，直线OP的斜率，直线的斜率，令得点坐标为，直线的方程为，即，直线恒过定点.3．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C：（）右焦点为，为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且的周长为.P是椭圆上一动点，M是直线上一点，且直线轴.(1)求椭圆C的方程：(2)记直线与椭圆另一交点为Q，直线是否过x轴上一定点？若是，求出该定点：若否，请说明理由.【解析】（1）解：因为椭圆的右焦点为，为椭圆的上顶点，且，所以，即，又，，解得，所以椭圆方程为；（2），易知直线PQ斜率为0时，QM为x轴，则若QM过定点，则定点位于x轴上，当直线PQ斜率不为0时，设，与椭圆方程联立，得，设，则，，所以直线QM的方程为，令，得，因为，所以，故直线QM过定点N.4．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高二期末（文））在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．(1)求椭圆的方程；(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点，并求出定点的坐标．【解析】（1）由题意知，，，，∵，，∴，解得，从而，∴椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，，．直线不过点，因此．由，得，时，，，∴，由，可得，即，故的方程为，恒过定点．圆过定点问题5．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆经过点，离心率为．(1)求椭圆C的方程．(2)直线与椭圆C交于A，B两点，点M是椭圆C的右顶点．直线AM与直线BM分别与y轴交于点P，Q，试问以线段PQ为直径的圆是否过x轴上的定点？若是，求出定点坐标．若不是，说明理由．【解析】（1）解：由题意得，解得，．∴椭圆C的方程是．（2）解：以线段为直径的圆过轴上的定点．直线代入椭圆可得．设,，,，则有，．又因为点是椭圆的右顶点，所以点．由题意可知直线的方程为，故点．直线的方程为，故点．若以线段为直径的圆过轴上的定点，，则等价于恒成立．又因为,，,，所以恒成立．又因为，，所以，解得．故以线段为直径的圆过轴上的定点，．6．（2022·江苏南通·高二阶段练习）已知点分别是椭圆的左、右顶点，过的右焦点作直线交于两点，(1)设直线的斜率分别为，求和的值；(2)若直线分别交椭圆的右准线于两点，证明：以为直径的圆经过定点.【解析】（1）由已知，，，直线的斜率不存在时，方程为，不妨设，，，同理，，，，直线斜率存在时，设直线方程为，设，由，得，，，，，，，因为，所以，所以，综上，，；（2）由已知，，，右准线方程为，由（1）知直线方程为，令得，同理，由椭圆的对称性知，以为直径的圆有一个圆心轴上方的圆，则必定也有一个与之关于轴对称的圆，这两个圆的交点在轴上，以为直径的圆经过定点，这个定点必在轴上，设定点为，则，由（1）得，或，所以以为直径的圆经过定点，．7．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆，点，C分别是椭圆M的左焦点、左顶点，过点的直线l（不与x轴重合）交M于A，B两点．(1)求M的离心率及短轴长；(2)是否存在直线l，使得点B在以线段AC为直径的圆上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）由椭圆方程，得，．∴椭圆M的短轴长为．∵，∴，即M的离心率为；（2）解法1：由题意知，点C的坐标为，点的坐标为．设点B，则．∵，设，则函数在上单调递增，所以，即，∴，∴点B不在以AC为直径的圆上，即不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆上．解法2：设直线l的方程为，．由，可得．∴，．∴，∵，∴．∴．∴点B不在以AC为直径的圆上，即不存在直线l，使得点B在以AC为直径的圆上．椭圆过定点问题8．（2022·全国·高二专题练习）已知直线l：y＝x﹣1与椭圆C：1（a＞1，b＞0）相交于P，Q两点M，．(1)证明椭圆过定点T（x0，y0），并求出的值；(2)求弦长|PQ|的取值范围．【解析】(1)设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，整理得．当时，，，∵，∴∴，得．∴，即椭圆过定点，，；(2)．①由2a2+b2＝a2b2，得0，∴，代入①，得，∵a2＞1，，，，∴|PQ|的取值范围是．确定定点使某个式子为定值9．（2022·江西南昌·高二阶段练习（理））如图，长轴长为4的椭圆的左顶点为A，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，与轴分别交于，两点，当直线的斜率为时，.(1)求椭圆的方程.(2)试问是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意可知，则椭圆方程即，当直线的斜率为时，，故设，，解得，将代入得，即，故，所以椭圆的标准方程为；（2）设，则，则，由椭圆方程可得，∴直线方程为︰，令可得，直线方程为：，令得，假设存在定点，使得，则定点必在以为直径的圆上，以为直径的圆为,即，∵，即∴，令，则，解得，∴以为直径的圆过定点，即存在定点，使得．10．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知椭圆的长轴长为6，椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点．(1)求椭圆C的方程；(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）因为椭圆的长轴长为6，故，椭圆短轴的端点是，，且以为直径的圆经过点，则，所以椭圆C的方程是；（2）设，直线的方程为，将直线的方程与椭圆C的方程联立，消去x得，因为M点在椭圆内，则必有，所以，，假设x轴上存在定点P，使平分，则直线的倾斜角互补，所以，设，则有，将代入上式，整理得，所以，将，代入上式，整理得，由于上式对任意实数m都成立，所以，综上，存在定点，使平分．11．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，点和点都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．(1)求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）．(2)设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N．问：y轴上是否存在点Q，使得？若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意知，代入点，得，∴．由离心率为，知，则．由，得．∴椭圆C的方程是．由点和的坐标，得出直线PA的方程为．令，得，∴点M的坐标为．（2）点在椭圆上，有．点B的坐标为，直线PB的方程为．令，得，∴点N的坐标为．设点Q的坐标是，则，．∵，∴，即．∴．∴，点Q的坐标为，∴在y轴上存在点，使得．12．（2022·四川·成都七中高二阶段练习（理））已知椭圆C：，长轴是短轴的3倍，点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)若过点且不与y轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，在x轴的正半轴上是否存在点，使得直线TM，TN斜率之积为定值？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）解：由题意得a＝3b，故椭圆C为，又点在C上，所以，得，，故椭圆C的方程即为；（2）解：由已知知直线l过，设l的方程为x＝my＋1，联立两个方程得，消去x得：，得，设，，则（*），，将（*）代入上式，可得：，要使为定值，则有，又∵，∴t＝3，此时，∴存在点，使得直线TM与TN斜率之积为定值，此时t＝3.13．（2022·全国·高二专题练习）已知△ABC的顶点，，满足：．(1)记点C的轨迹为曲线，求的轨迹方程；(2)过点且斜率为k的直线l与相交于P，Q两点，是否存在与M不同的定点N，使得恒成立？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设，则，整理得，故的轨迹方程为；（2）设直线l为，当时，可得点P，Q关于y轴对称，可得，要使恒成立，即成立，即点N在y轴上，可设为.当时，联立方程组，整理得，设，则，要使恒成立，即成立，由角平分线定理则只需使得y轴为的平分线，即只需，即，即，解得，综上可得，存在与M不同的定点，使得恒成立14．（2022·全国·高二专题练习（文））已知椭圆过点，且离心率为．(1)求该椭圆的方程；(2)在x轴上是否存在定点M，过该点的动直线l与椭圆C交于A，B两点，使得为定值？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由.【解析】（1），，椭圆，将代入可得，故，椭圆方程为：；（2）当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，，，，联立方程可得：，，，为常数，代入韦达定理可知，即为常数，，故且，直线l过定点当直线l斜率为0时，可检验也成立，故存在定点.15．（2022·山西大附中高二阶段练习）如图，椭圆：（，，是椭圆的左焦点，是椭圆的左顶点，是椭圆的上顶点，且，点是长轴上的任一定点，过点的任一直线交椭圆于两点.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在定点，使得为定值，若存在，试求出定点的坐标，并求出此定值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由已知知，解得，所以椭圆方程为；（2）假设存在满足题意，设，，，①当直线与轴不垂直时，设：，代入并整理得∴，（*）（*）式是与无关的常数，则解得，此时为定值；②当直线与垂直时，，，，也成立，所以存在定点，使得为定值．类型二圆锥曲线的定值问题圆锥曲线面积为定值问题16．（2023·全国·高二专题练习）平面直角坐标系中，已知椭圆，点，是椭圆上两个动点，直线，的斜率分别为，，若，，.(1)求证：；(2)试探求的面积是否为定值，并说明理由．【解析】（1）证明：∵k1，k2均存在，∴x1x2≠0.又＝0，∴＋y1y2＝0，即＝－y1y2，∴k1·k2＝.（2）①当直线PQ的斜率不存在，即x1＝x2，y1＝－y2时，由，得.又∵点P(x1，y1)在椭圆上，∴，∴|x1|＝，|y1|＝.∴S△POQ＝|x1||y1－y2|＝1.②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b.联立得方程组，消去y并整理得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，其中＝(8kb)2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(1＋4k2－b2)>0，即b2<1＋4k2∴x1＋x2＝，x1x2＝.∵＋y1y2＝0，∴＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，得2b2－4k2＝1(满足>0).∴S△POQ.综合①②知△POQ的面积S为定值1.17．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，．(1)求椭圆的方程；(2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值．【解析】（1）解：依题意，又，所以，所以，所以椭圆方程为.（2）证明：设，，，因为，所以四边形为平行四边形，且，所以，即，又，，所以，若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合，则，所以，所以，若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得，所以，，，所以所以，整理得，又，又原点到的距离，所以，将代入得，所以，综上可得，四边形的面积为定值.18．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，且焦距长为2，过且斜率为的直线与椭圆的一个交点在轴上的射影恰好为.(1)求椭圆的方程；(2)如图，下顶点为，过点作一条与轴不重合的直线，该直线交椭圆于两点，直线分别交轴于，两点，为坐标原点.求证：与的面积之积为定值，并求出该定值.【解析】（1）由题意，，，故过且斜率为的直线的方程为，令，得，由题意可得，解得，．求椭圆的方程为；（2）证明：由题意知，直线的斜率存在，设直线，，，，，联立，得．，，由，得，，，直线的方程为，令，解得，则，，同理可得，，19．（山西省临汾市等联考2023届高二上学期期中数学试题）已知椭圆的长轴长为，，为的左、右焦点，点在上运动，且的最小值为.连接，并延长分别交椭圆于，两点.(1)求的方程；(2)证明：为定值.【解析】（1）由题意得，设，的长分别为，，则，当且仅当时取等号，从而，得，，则椭圆的标准方程为；（2）由（1）得，，设，，设直线的方程为，直线的方程为，由，得，则，，同理可得，所以.所以为定值.20．（2022·湖北·武汉市第一中学高二阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.(1)求椭圆的方程；(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.【解析】（1）由已知设椭圆方程为：，代入，得，故椭圆方程为.（2）设直线，由得，，，又，故，由，得，故或，①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，此时，符合题意.所以的周长为定值.圆锥曲线中斜率为定值问题21．（2022·重庆巴蜀中学高二阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)若是椭圆上异于点的两动点，当的角平分线垂直于椭圆长轴时，试问直线的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）依题意得，解得，所以椭圆方程为.（2）依题意可知直线和直线的斜率存在且互为相反数，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，由消去并化简得，，则，根据直线、直线的对称性可知.设，则，，则，故，以替换，得，所以，所以直线的斜率为定值.22．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）设椭圆：的离心率为，焦距为2，过右焦点的直线与椭圆交于A，两点，点，设直线与直线的斜率分别为，.(1)求椭圆的方程；(2)随着直线的变化，是否为定值？请说明理由.【解析】（1）因为焦距，所以，因为离心率，所以，所以，所以椭圆的方程为.（2）当直线l斜率为0，即为x轴时，则，所以；当直线l斜率不为0时，设直线的方程为：，，，将直线l与椭圆联立，消x整理得，所以，，所以，，所以.综上所述：为定值0.23．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上的动点．当点与椭圆的上顶点重合时，．(1)求的方程；(2)当点为椭圆的左顶点时，过点的直线（斜率不为0）与椭圆的另外一个交点为，的中点为，过点且平行于的直线与直线交于点．试问：是否为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由．【解析】（1）设椭圆E的半焦距为c，点，而，则，即有，解得，又离心率，解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，显然直线不垂直于坐标轴，设直线：，，由消去x并整理得：，解得点，则点，直线，则直线方程为：，点，直线的斜率，直线的斜率，因此，，所以是定值.24．（2022·河南濮阳·高二阶段练习（理））已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和.(1)求的方程；(2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值.【解析】（1）设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长分别为，则；过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长分别为，则，又，解得，所以的方程为.（2）设，则.①设过点与椭圆相切的直线方程为，联立得，则，整理得.②由题意知，为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得.又因为，所以，所以为定值．25．（2022·湖南衡阳·高二期末）已知A，B分别是椭圆E：的左、右顶点，P是直线上的一动点(P的纵坐标不为零且P不在椭圆E上)，直线AP与椭圆E的另一交点为M，直线BP与椭圆E的另一交点为N，直线MN与x轴的交点为Q，且△AMB面积的最大值为.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线PQ的斜率为，直线BP的斜率为，证明为定值.【解析】（1）解：当M为椭圆的上(下)顶点时，△AMB的面积最大，则，解得，所以椭圆E的方程为..（2）证明：设P(－1，t)(且)，，，则直线AP的方程为，直线BP的方程为，设点M(，)，N(，)，联立方程组消去y，整理得.则，因为，所以，.同理可得.因为且，所以，则直线MN的方程为，令，得.则.26．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右顶点分别是，过点的直线交于两点（异于）.当直线过点）时，恰好为的中点.(1)求的离心率；(2)若，直线与交于点，直线的斜率分别为，证明：是定值.【解析】（1）设.因为为的中点，所以.由题意知，则，即，则.又，所以，故离心率.（2）证明：由题意知，所以，故的方程为.设直线的方程为，联立消去得关于的一元二次方程，整理得：.因为与交于两点，所以，即，解得或，故.设，直线的方程为，直线的方程为，两式联立，得（*）.又，代入式，得，则，故即为定值2.圆锥曲线中线段为定值问题27．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的C的方程：．(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点上任一点，直线的斜率为，直线的斜率为，试证明为定值．(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程．(3)设椭圆上一点，且点M，N在C上，且，D为垂足．证明：存在定点Q，使得为定值．【解析】（1）设，因为P为椭圆C上一点，所以，所以，所以，所以.故为定值.（2）设弦的两个端点分别为，的中点为.则，①，②①减②得：，.又，.由于弦中点轨迹在已知椭圆内，联立故斜率为的平行弦中点的轨迹方程：（3）设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程消去并整理得：，可得，，因为，所以，即，根据,代入整理可得：，

所以，整理化简得，因为不在直线上，所以，故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点.当直线的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合可得：，解得：或（舍）.此时直线过点.令为的中点，即，若与不重合，则由题设知是的斜边，故，若与重合，则，故存在点，使得为定值.28．（2022·全国·高二专题练习）设分别是圆的左､右焦点，M是C上一点，与x轴垂直.直线与C的另一个交点为N，且直线MN的斜率为(1)求椭圆C的离心率.(2)设是椭圆C的上顶点，过D任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A､B两点，过点D作线段AB的垂线，垂足为Q，判断在y轴上是否存在定点R，使得的长度为定值？并证明你的结论.【解析】（1）由题意知，点在第一象限.是上一点且与轴垂直，的横坐标为.当时，，即.又直线的斜率为，所以，即，即，则，解得或（舍去），即.（2）已知是椭圆的上顶点，则，椭圆的方程为，易得直线AB的斜率必然存在，设直线的方程为，由可得所以，又，.，化简整理有，得或.当时，直线经过点，不满足题意；当时满足方程中，故直线经过轴上定点.又为过点作线段的垂线的垂足，故在以为直径的圆上，取的中点为，则为定值，且29．（2023·全国·高二专题练习）动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.【解析】(1)由题意，点与定点的距离，点到直线的距离，所以，即，化简得，故曲线的方程为；(2)由题意可得，直线的方程分别为，设.由直线与圆相切可得.，同理，所以是方程的两个根，所以，所以，，因为是曲线上的一动点，所以，则有，联立方程，所以，所以，同理所以，因为，所以，所以.30．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q．(1)当时，求；(2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．【解析】（1）设，线段的中点M坐标为，联立得消去y可得：，所以所以，代入直线方程，求得，因为Q为三条中垂线的交点，所以，有，直线方程为.令，所以.由椭圆可得右焦点，故．（2）设，中点M坐标为．相减得，.又Q为的外心，故，所以，直线方程为，令，所以而,所以，，同理，，，所以当t变化时，为定值．31．（2022·北京房山·高二开学考试）已知椭圆的长轴的两个端点分别为离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)M为椭圆C上除A，B外任意一点，直线交直线于点N，点O为坐标原点，过点O且与直线垂直的直线记为l，直线交y轴于点P，交直线l于点Q，求证：为定值．【解析】（1）由已知，又，，所以，椭圆标准方程为；（2）设，，则，，直线的方程为，令得，即，,,，直线的方程是，直线的方程为，令得，即，由，因为，故解得，即，所以，32．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率为，若与圆相交于M，N两点，且圆E在内的弧长为．(1)求的值；(2)过椭圆的上焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于A，B、C，D，求证：为定值．【解析】（1）圆的圆心为，半径为，圆E在内的弧长为，可得，即有，设在第一象限，可得，，即为，将代入椭圆方程可得，联立解得，（2）由（1）可得椭圆的方程为，，上焦点为，①当直线（或）与轴平行时，可得，将代入椭圆得，则，则；②当直线（或）与轴不平行时，设，则，联立方程组，消去y并化简得，设点，，∴，，即有，将k换为，可得，则，综上所述，为定值．圆锥曲线中角度为定值问题33．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高二期末（理））已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．(1)求椭圆的方程；(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．【解析】（1）依题意，又，解得，所以椭圆的方程为.（2）设点，而，且，，当时，直线AP：，点，，直线BP：，点，，，当时，，，，所以所以是定值.34．（2022·北京平谷·高二期末）已知椭圆过点，且点到其两个焦点距离之和为4.(1)求椭圆的方程；(2)设为原点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点，且直线与轴不重合，直线分别与轴交于两点.求证：为定值.【解析】（1）解：依题意，解得，所以椭圆方程为；（2）解：由（1）可知，当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，不妨设此时，，所以直线的方程为，即，直线的方程为，即，所以；当直线斜率存在时，设直线的方程为，由得，依题意，，设，，则，，又直线的方程为，令，得点的纵坐标为，即，同理，得，所以，综上可得，为定值，定值为．35．（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆与直线相切于点，且点在第一象限，若直线与轴、轴分别交于点、．若过原点O的直线与垂直交与点，证明：定值．【解析】依题意点在第一象限，由于过点的切线方程为，斜率为，直线与轴、轴分别交于点，所以，则．由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，其中，所以点P到直线l1的距离，即，为定值（为椭圆的半焦距）．36．（2021·北京·清华附中朝阳学校高二期中）动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数．(1)求动点的轨迹的方程；(2)设为原点，点，过点的直线与的轨迹交于、两点，且直线与轴不重合，直线、分别与轴交于、两点，求证：为定值．【解析】（1）解：设点，由题意可得，化简可得.因此，动点的轨迹的方程为.（2）解：因为直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，，直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，同理，所以，.37．（2023·上海·高二专题练习）已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F1、F2，且|F1F2|＝2，直线l交椭圆Γ于不同的两点M和N．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程；(3)若直线l与椭圆Γ相切，求证：点F1、F2到直线l的距离之积为定值．【解析】（1）因为|F1F2|＝2c＝2，则c＝1，因为a＝2，，所以椭圆Γ的方程；（2）因为直线l的斜率为1，故设直线l的方程为y＝x+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y整理得，则，，因为以MN为直径的圆经过右顶点A，则，所以，即整理得∴整理得，解得或，因为，显然当或时，成立所以直线l的方程为或；（3）证明：椭圆Γ的左、右焦点分别为，①当直线l平行于y轴时，因为直线l与椭圆Γ相切，所以直线l的方程为x＝±2，此时点F1、F2到直线l的距离分别为d1＝1，d2＝3，所以d1d2＝3，②当直线l不平行与y轴时，设直线l的方程为y＝kx+b，联立，消去y整理得，所以，因为直线l与椭圆Γ相切，则Δ＝0，所以，因为到直线l的距离为，到直线l的距离为，所以，所以点F1、F2到直线l的距离之积为定值，且定值为3．圆锥曲线数量积为定值问题38．（2022·北京平谷·高二期末）已知椭圆的短轴的两个端点分别为，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)设点，点为椭圆上异于的任意一点，过原点且与直线平行的直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值.【解析】（1）解：由题意可得，，，解得，所以椭圆的方程为：；（2）解：设直线的方程为：，则过原点的直线且与直线平行的直线为，因为是直线与的交点，所以，因为直线的方程与椭圆方程联立：，整理可得：，可得，，即，因为，直线的方程为：，联立，解得：，由题意可得，所以，，所以，即，所以，即为定值；39．（2022·湖南·郴州一中高二阶段练习）已知椭圆的离心率为，过坐标原点的直线交椭圆于两点，其中在第一象限，过作轴的垂线，垂足为，连接.当为椭圆的右焦点时，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)若为的延长线与椭圆的交点，试问：是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.【解析】（1）椭圆离心率，，则，当为椭圆右焦点时，；，解得：，，椭圆的方程为：.（2）由题意可设直线，，，则，，，直线；由得：，，则，，；，又，，则，为定值.圆锥曲线距离积为定值问题40．（2022·全国·高二专题练习）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点作直线交曲线于两点，试问在轴上是否存在点，使为定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，试说明理由.【解析】(1)设，易得，直线的斜率为，直线的斜率为，则，整理得，则曲线E方程为；(2)当直线的斜率为不为0时，设直线的方程为，设定点联立方程组，消可得，设，，可得，，所以.要使上式为定值，则，解得，此时当直线的斜率为0时，，，此时，也符合.所以，存在点，使得为定值.41．（2022·江苏省灌南高级中学高二阶段练习）已知椭圆中有两顶点为，，一个焦点为.(1)若直线过点且与椭圆交于，两点，当时，求直线的方程；(2)若直线过点且与椭圆交于，两点，并与轴交于点，直线与直线交于点，当点异，两点时，试问是否是定值？若是，请求出此定值，若不是，请说明理由.【解析】（1）∵椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，由已知得，，所以，椭圆的方程为，当直线与轴垂直时与题意不符，设直线的方程为，，，将直线的方程代入椭圆的方程化简得，则，，∴，解得.∴直线的方程为；（2）当轴时，，不符合题意，当与轴不垂直时，设：，则，设，，联立方程组得，∴，，又直线：，直线：，由可得，即，，，，，，即，得，∴点坐标为，∴，所以为定值.42．（2022·河北·大名县第一中学高二阶段练习）己知椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为，离心率为．(1)求的方程；(2)若直线与交于点，线段的中点分别为．设过点且垂直于轴的直线为，若直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：为定值．【解析】（1）椭圆左顶点为，，又离心率，，，的方程为：.（2）设，，则，，由得：，则，，；直线方程为：，，；同理可得：，又，，，，为定值.43．（2022·江苏·南京市燕子矶中学高二开学考试）已知点在圆上运动，点在轴上的投影为，动点满足(1)求动点的轨迹方程(2)过点的动直线与曲线交于两点，问：是否存在定点，使得的值是定值？若存在，求出点的坐标及该定值；若不存在，请说明理由【解析】（1）解：设点，因为，可得，所以，所以，即动点的轨迹的方程为.（2）解：①当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程组，可得，则恒成立，且，因为，设，可得，，要使得上式为定值，即与无关，则满足且，所以，即点，此时；②当直线的斜率不存在时，则直线为，可得，所以，综上可得，存在定点，使得圆锥曲线点的坐标为定值问题44．（2022·江西上饶·高二期末（理））已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由.【解析】（1）由题可得,，又，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）由题可得直线斜率存在，由（1）知设直线的方程为，则,消去，整理得：，设，则，，又，则，由可得，所以.同理可得，.所以所以，为定值.45．（河南省洛平许济联考2022-2023学年高二上学期第一次质量检测理科数学试题）已知椭圆的右焦点为F，离心率为，上顶点为．(1)求椭圆C的方程；(2)过点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点，与y轴交于点M，若，，判断是否为定值？并说明理由．【解析】（1）由题意可得，解得，故椭圆C的方程.（2）为定值，理由如下：由（1）可得，由题意可知直线l的斜率存在，设直线l：，则，联立方程，消去y得，则，，∵，，则，可得，（定值）.46．（202