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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在区间上随机取一个数,使直线与圆相交的概率为()A. B. C. D.2.已知集合.为自然数集,则下列表示不正确的是()A. B. C. D.3.函数的图象大致是()A. B.C. D.4.设过定点的直线与椭圆:交于不同的两点,,若原点在以为直径的圆的外部,则直线的斜率的取值范围为()A. B.C. D.5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”已知l丈为10尺,该楔体的三视图如图所示,其中网格纸上小正方形边长为1,则该楔体的体积为()A.10000立方尺B.11000立方尺C.12000立方尺D.13000立方尺6.已知α,β是两平面,l,m,n是三条不同的直线,则不正确命题是()A.若m⊥α,n//α,则m⊥n B.若m//α,n//α,则m//nC.若l⊥α,l//β,则α⊥β D.若α//β,lβ,且l//α,则l//β7.已知圆M:x2+y2-2ay=0a>0截直线x+y=0A.内切 B.相交 C.外切 D.相离8.已知向量,是单位向量,若,则()A. B. C. D.9.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图,则下列说法中不正确的是()A.该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省B.与去年同期相比,该年第一季度的GDP总量实现了增长C.该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个D.去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元10.某四棱锥的三视图如图所示,该几何体的体积是()A.8 B. C.4 D.11.如果,那么下列不等式成立的是()A. B.C. D.12.若双曲线的离心率为,则双曲线的焦距为()A. B. C.6 D.8二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知为椭圆上的一个动点,,,设直线和分别与直线交于,两点,若与的面积相等,则线段的长为______.14.某种圆柱形的如罐的容积为个立方单位,当它的底面半径和高的比值为______.时,可使得所用材料最省.15.已知,则展开式中的系数为__16.展开式的第5项的系数为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆,点为半圆上一动点,若过作椭圆的两切线分别交轴于、两点.(1)求证:;(2)当时,求的取值范围.18.(12分)已知函数.(1)若函数在上单调递增,求实数的值;(2)定义:若直线与曲线都相切,我们称直线为曲线、的公切线,证明:曲线与总存在公切线.19.(12分)已知函数f(x)=x-1+x+2,记f(x)(Ⅰ)解不等式f(x)≤5;(Ⅱ)若正实数a,b满足1a+120.(12分)已知分别是内角的对边,满足(1)求内角的大小(2)已知,设点是外一点,且,求平面四边形面积的最大值.21.(12分)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,,,,是正三角形,,是的中点.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)已知为等差数列,为等比数列,的前n项和为,满足,,,.(1)求数列和的通项公式;(2)令,数列的前n项和,求.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据直线与圆相交,可求出k的取值范围,根据几何概型可求出相交的概率.【详解】因为圆心,半径,直线与圆相交,所以,解得所以相交的概率,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系,几何概型,属于中档题.2、D【解析】
集合.为自然数集,由此能求出结果.【详解】解:集合.为自然数集,在A中,,正确;在B中,,正确;在C中,,正确;在D中,不是的子集,故D错误.故选:D.【点睛】本题考查命题真假的判断、元素与集合的关系、集合与集合的关系等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.3、A【解析】
根据复合函数的单调性,同增异减以及采用排除法,可得结果.【详解】当时,,由在递增,所以在递增又是增函数,所以在递增,故排除B、C当时,若,则所以在递减,而是增函数所以在递减,所以A正确,D错误故选:A【点睛】本题考查具体函数的大致图象的判断,关键在于对复合函数单调性的理解,记住常用的结论:增+增=增,增-减=增,减+减=减,复合函数单调性同增异减,属中档题.4、D【解析】
设直线:,,,由原点在以为直径的圆的外部,可得,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理,即可求得答案.【详解】显然直线不满足条件,故可设直线:,,,由,得,,解得或,,,,,,解得,直线的斜率的取值范围为.故选:D.【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.5、A【解析】由题意,将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体,作出几何体的直观图如图所示:
沿上棱两端向底面作垂面,且使垂面与上棱垂直,
则将几何体分成两个四棱锥和1个直三棱柱,
则三棱柱的体积V1四棱锥的体积V2=13×1×3×2=2【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算,其中正确还原几何体,利用方格数据分割与计算是解题的关键.6、B【解析】
根据线面平行、线面垂直和空间角的知识,判断A选项的正确性.由线面平行有关知识判断B选项的正确性.根据面面垂直的判定定理,判断C选项的正确性.根据面面平行的性质判断D选项的正确性.【详解】A.若,则在中存在一条直线,使得,则,又,那么,故正确;B.若,则或相交或异面,故不正确;C.若,则存在,使,又,则,故正确.D.若,且,则或,又由,故正确.故选:B【点睛】本小题主要考查空间线线、线面和面面有关命题真假性的判断,属于基础题.7、B【解析】化简圆M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r8、C【解析】
设,根据题意求出的值,代入向量夹角公式,即可得答案;【详解】设,,是单位向量,,,,联立方程解得:或当时,;当时,;综上所述:.故选:C.【点睛】本题考查向量的模、夹角计算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意的两种情况.9、D【解析】
根据折线图、柱形图的性质,对选项逐一判断即可.【详解】由折线图可知A、B项均正确,该年第一季度总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确;.故D项不正确.故选:D.【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别,考查学生的阅读能力、数据处理能力,属于中档题.10、D【解析】
根据三视图知,该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥,画出图形,结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积.【详解】根据三视图知,该几何体是侧棱底面的四棱锥,如图所示:结合图中数据知,该四棱锥底面为对角线为2的正方形,高为PA=2,∴四棱锥的体积为.故选:D.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积,由三视图正确复原几何体是解题的关键,考查空间想象能力.属于中等题.11、D【解析】
利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出.【详解】∵,∴,,,.故选:D.【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性比较大小,考查不等式的性质,属于基础题.12、A【解析】
依题意可得,再根据离心率求出,即可求出,从而得解;【详解】解:∵双曲线的离心率为,所以,∴,∴,双曲线的焦距为.故选:A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
先设点坐标,由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系,这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出来,从而可求得点的横坐标,代入椭圆方程得纵坐标,然后可得.【详解】如图,设,,,由,得,由得,∴,解得,又在椭圆上,∴,,∴.故答案为:.【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题,解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系,解题是由把线段长的比例关系用点的横坐标表示.14、【解析】
设圆柱的高为,底面半径为,根据容积为个立方单位可得,再列出该圆柱的表面积,利用导数求出最值,从而进一步得到圆柱的底面半径和高的比值.【详解】设圆柱的高为,底面半径为.∵该圆柱形的如罐的容积为个立方单位∴,即.∴该圆柱形的表面积为.令,则.令,得;令,得.∴在上单调递减,在上单调递增.∴当时,取得最小值,即材料最省,此时.故答案为:.【点睛】本题考查函数的应用,解答本题的关键是写出表面积的表示式,再利用导数求函数的最值,属中档题.15、1.【解析】
由题意求定积分得到的值,再根据乘方的意义,排列组合数的计算公式,求出展开式中的系数.【详解】∵已知,则,
它表示4个因式的乘积.
故其中有2个因式取,一个因式取,剩下的一个因式取1,可得的项.
故展开式中的系数.
故答案为:1.【点睛】本题主要考查求定积分,乘方的意义,排列组合数的计算公式,属于中档题.16、70【解析】
根据二项式定理的通项公式,可得结果.【详解】由题可知:第5项为故第5项的的系数为故答案为:70.【点睛】本题考查的是二项式定理,属基础题。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析;(2).【解析】
(1)分两种情况讨论:①两切线、中有一条切线斜率不存在时,求出两切线的方程,验证结论成立;②两切线、的斜率都存在,可设切线的方程为,将该直线的方程与椭圆的方程联立,由可得出关于的二次方程,利用韦达定理得出两切线的斜率之积为,进而可得出结论;(2)求出点、的坐标,利用两点间的距离公式结合韦达定理得出,换元,可得出,利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.【详解】(1)由于点在半圆上,则.①当两切线、中有一条切线斜率不存在时,可求得两切线方程为,或,,此时;②当两切线、的斜率都存在时,设切线的方程为(、的斜率分别为、),,,,.综上所述,;(2)根据题意得、,,令,则,所以,当时,,当时,.因此,的取值范围是.【点睛】本题考查椭圆两切线垂直的证明,同时也考查了弦长的取值范围的计算,考查计算能力,属于中等题.18、(1);(2)见解析.【解析】
(1)求出导数,问题转化为在上恒成立,利用导数求出的最小值即可求解;(2)分别设切点横坐标为,利用导数的几何意义写出切线方程,问题转化为证明两直线重合,只需满足有解即可,利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.【详解】(1),函数在上单调递增等价于在上恒成立.令,得,所以在单调递减,在单调递增,则.因为,则在上恒成立等价于在上恒成立;又,所以,即.(2)设的切点横坐标为,则切线方程为……①设的切点横坐标为,则,切线方程为……②若存在,使①②成为同一条直线,则曲线与存在公切线,由①②得消去得即令,则所以,函数在区间上单调递增,,使得时总有又时,在上总有解综上,函数与总存在公切线.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的恒成立问题,导数的几何意义,利用导数证明方程有解,属于难题.19、(Ⅰ){x|-3≤x≤2}(Ⅱ)见证明【解析】
(Ⅰ)由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可;(Ⅱ)首先确定m的值,然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式.【详解】(Ⅰ)①当x>1时,f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1≤5,即x≤2,∴1<x≤2;②当-2≤x≤1时,f(x)=(1-x)+(x+2)=3≤5,∴-2≤x≤1;③当x<-2时,f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-1≤5,即x≥-3,∴-3≤x<-2.综上所述,原不等式的解集为{x|-3≤x≤2}.(Ⅱ)∵f(x)=x-1当且仅当-2≤x≤1时,等号成立.∴f(x)的最小值m=3.∴[(即2a当且仅当2a×1又1a+1b=∴2a【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法,柯西不等式及其应用,绝对值三角不等式求最值的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20、(1)(2)【解析】
(1)首先利用诱导公式及两角和的余弦公式得到,再由同角三角三角的基本关系得到,即可求出角;(2)由(1)知,是正三角形,设,由余弦定理可得:,则,得到,再利用辅助角公式化简,最后由正弦函数的性质求得最大值;【详解】解:(1)由,,,,,,,;(2)由(1)知,是正三角形,设,由余弦定理得:,,,所以当时有最大值【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系,三角恒等变换公式的应用,三角形面积公式的应用,以及正弦函数的性质,属于中档题.21、(1)见证明;(2)【解析】
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