勾股定理 第1-3课时 学案 数学八年级下册人教版

17.1勾股定理(1)

学习目标

1.了解勾股定理的文化历史背景，体验勾股定理的探索过程.

2.会直接运用勾股定理进行简单的计算.

重点：勾股定理的内容和证明.

难点：探索和验证勾股定理的过程.

预习导入

1.如图1所示是格点图，每个小正方形的边长都为1,三个正方形P,Q,R的顶点都在

格点上.

(1)仔细观察图1中三个正方形，可以直接数出S正方彩产=AC2,S正方彩

:=BC2，S正方形R==AB2,这三个面积之间的关系是S正方)BR

(2)图1中的AABC是____________三角形，直角边是AC和,它的斜边是

,由(1)知，AC2+BC2=()2.

图1

2.根据1的结果猜想：在RtAABC中，ZC=90°,则直角边BC,AC和斜边AB满足关

系式.

典例精讲

典例1如图2,这个图案是赵爽在注解《周髀算经》时给出的

“赵爽炫图”：四个全等的直角三角形围成一个大正方形.记

其中一个直角三角形为RtaABC,其直角边长为a和b,斜边

长为c,如图2所示.根据图2,回答下列问题：

(1)以AB为边的正方形的面积为;

(2)RtZXABC的面积为;

(3)内部小正方形的面积为;

(4)请根据“四个直角三角形的面积的和+小正方形的面积=

以AB为边的大正方形的面积”推导出a,b,c之间的关系.

【变式延伸】

1.如图3,“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，若图中大正方形的面积为40,小

正方形的面积为5,则RtAABC的面积是.

2.如图4,“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在RtZ\ABC中，AC=b,BC=a,

ZACB=90°,若图中大正方形的面积为40,小正方形的面积为5,则(a+b)?的值为().

A.75B.45C.35D.5

典例2在RtZ\ABC中，ZC=90",NA,ZB,NC的对边分别为a,b,c,则

(1)如果a=6,b=8,那么c=；

(2)如果b=4,c=5>那么a=.

【变式延伸】

1.直角三角形的两直角边长分别为4,5,则第三边长为().

A.3B.aC.8D.无法确定

2.在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,NA,ZB,NC的对边分别为a,b,c,若a=l,

则c=.

四、阶梯训练

A组

1.在RtZ\ABC中，ZA=90°,则下列各式不成立的是（）.

A.BC2=AB2+AC2

B.AB2=AC2=BC2

C.AB2=BC2-AC2

D.AC2=BC2-AB2

2.-■个直角三角形中，两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是（）.

A.斜边长为25B.三角形周长为25

C.斜边长为5D.三角形面积为12

3.在RtZkABC中,斜边AB=1,则AB?+BC2+AC2的值是（）.

A.2B.4C.6D.8

4.如图8,在下列横线上填上合适的值：

5.如图9,三个正方形中的两个的面积Si=25,52=144,则另一个的面积S3为

6.在RtZ\ABC中，ZA,ZB,ZC的对边分别为a,b,c.若a：b=3：4,c=15,求a,b的长.

7.如图10,在△ABC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,CDJ_AB于点D,求

(1)Z\ABC的面积；

(2)CD的长。

BD

图10

B组

8.如图11,已知4ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以RtAABC的斜边AC为直角边，画

第二个等腰Rt^ACD,再以Rt^ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt^ADE,…，依此

类推，则第2015个等腰直角三角形的斜边长是.

9.勾股定理是数学史上的一颗璀璨明珠，它的证明在数学上率创奇迹,下面介绍辛普松证法。

作边长是a+b的正方形ABCD,把正方形ABCD划分成如图12①的几个部分，则正方形ABCD

的面积可表示为;把正方形ABCD划分成如图12②的几个部分,

则正方形的面积可表示为O

•.•正方形ABCD的面积相等，

/.=,即a2+b'c)

图12

【参考答案】

17.1勾股定理（1）

预习导入

1.(1)1,1,2,S正方形p+S正方形Q；(2)直角,BC,AB,ABo

2.AC2+BC2=AB2.

典例精讲

【例1】(1)c2；(2)—ab；(3)(b-a)2；(4)c2=a2+b2

2o

1.9.2.A.

[例2](1)10；(2)3o

l.B.2.0。

阶梯训练

l.B.

2.C.

3.A.

5

4.10;-o

2

5.169.

6.a=9,b=12.

7.(1)6；(2)—o

5

9.a2+b2+2ab,2ab+c2;a2+b2+2ab,2ab+c2.

17.1勾股定理（2）

五、学习目标

1.用勾股定理解决简单的实际问题.

2.能根据实际情景建立数学模型，树立数形结合的思想.

重点：勾股定理的实际应用.

难点：灵活应用勾股定理解决实际问题.

六、预习导入

1.根据图1,写出勾股定理的表达式

2.求出图2中各直角三角形中未知的边.

七、典例精讲

典例1如图3,长13m的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角5m,则梯子的顶端离地面的

距离AB=m.

图3

【变式延伸】

1.如图4,一个长5m的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上，这时A0的距离为4m,如果

梯子的顶端A沿墙下滑1m,m.

7.如图5,为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由45。降至30。.已知滑梯AB

的长为3m,点D,B,C在同一水平地面上，那么加长后的滑梯AD的长是,

典例2一个门框的尺寸如图6所示，一块长4m,宽3m的薄木板能否从门框内通过？请说

明理由.

【变式延伸】

1.小东拿着一根长竹竿进一个宽3米、高4米的长方形城门（假设把城门、竹竿置于同一

个平面内），他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高0.5米，那么小东能把竹竿

拿进城门吗？为什么？

2.有一根长70cm长的木棒要放在长、宽、高分别是50cm,40cm,30cm的木箱中，能放

进去吗？请说明理由.

八、阶梯训练

A组

1.小明在平地上以1.5米"少的速度向东走了80秒，接着以2米/秒的速度向南走了45秒,

这时他离开出发点（）•

A.180米B.150米C.120米D.100米

2.如图7,一棵大树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下树尖部分与树头距离为

4米，这棵大树原来的高度为（

A.7米B.9米D.8米

3.钓鱼岛和中国台湾属于同--地质构造，按照国际法钓鱼岛属于中国.钓鱼岛周围海域石

油资源丰富，地域战略十分重要.如图8,图中A为台湾基隆，B为钓鱼岛，图中网格单

4.生活经验表明：靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙约为梯子长度的1时，则梯子比较

3

稳定.现有一长度为9m的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能到达8.5m高的墙头吗？

（填“能”或者“不能”）.

5.学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度.小明设计

了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端.然后将绳子向外拉.当

把绳子接上1米时，此时一端到达离旗杆底端5米处，如图9所示.可以算出旗杆高度是

米.

6.如图10,图中小方格边长代表1cm,一只蚂蚁沿图中所示的折线由A点爬到了C点,

则蚂蚁一共爬行了cm.

图10

7.某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点偏离欲到达处200m,结果他在水

中实际游了520m,你能根据上述情况求出河的宽度吗？说说你的理由.

B组

8.如图11,如果你在南京路和中山路交叉口，想去动物园（环西路与曙光路交叉口），沿街

道走的最近距离是।

340/重庆路

图11

10.如图12,A,B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线ACB行驶,

现开通隧道后，汽车直接沿直线行驶.已知AC=10km,NA=30°,ZB=45°,则隧道开

通后，汽车从A地到B地比原来少走多长的路？（结果精确到0.1km,参考数据：\1.41）

【参考答案】

17.1勾股定理（2）

预习导入

l.a2+b2=c2.

①AC=8;②AC=1,BC=V3&B=>/2o

典例精讲

【例1】12.1.1.2.3>/2»

【例2】连接AC,则AC与AB,BC构成直角三角形。

根据勾股定理得AC=4AB2+BC2=QIS?+2.52=代<3。

故薄木板不能从门框内通过.

1.能，理由略。2.能，理由略。

阶梯训练

I.B.

2.D.

3.A.

4.不能。

5.12.

6.(5+V5jo

7.河宽480m,理由略。

8.

9.340.

10.3.4km。

17.1勾股定理（3）

九、学习目标

1.会利用勾股定理证明直角三角形全等的判定定理一一HL,能在数轴上表示出无理数;

2.能运用勾股定理作出长度是无理数的线段，能在数轴上画出表示无理数的点.

3.进一步体会数形结合的思想以及数学知识之间的内在联系.

重点：HL定理的证明和在数轴上画出表示无理数的点.

难点：探索在数轴上表示无理数的方法过程.

十、预习导入

1.如图1,在RtAABC和RtAEDF中，BC=DF=2cm,AC=EF=7cm,贝UAB=cm,

ED=cm.由此可以得出结论：△，判定的依据是

图1

2.2=1+1,BP（V2）2=12+12,若以和为直角三角形的两直角边长，则斜边

长为及；13=9+4,BP（V13）2=（）2+（）:若以和为直角三角

形的两直角边长，则斜边长为旧：同理，以（填正整数）为直角三角形

的两直角边长，则斜边长为Jid.

十一、典例精讲

典例1如图2,ZA=ZB=90°，点E是AB上的一点，且AD=BE,Z1=Z2.

求证：Z\ADE也△BEC.

图2

【变式延伸】

1.如图3,AD〃BC,ZA=90°,点E是AB上的一点，且AD=BE,Z1=Z2.

证明：ADEC是等腰直角三角形.

2.如图4,在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD_LMN于D,BE±MN

于E.

求证：DE=AD+BE.

典例2我们在学习“实数”时，画了这样一个图，即“以数轴上的单位长为'1'的线段作

一个正方形，然后以原点。为圆心，正方形的对角线长为半径画弧交x轴于点A”，请根据

图形解答下列问题：

（1）A点表示的数是多少？

（2）请类比上面的作法在数轴上画出表示右的点B（请保留作图痕迹）.

【变式延伸】

1.在数轴上作出表示W的对应点（提示：+E）.

1.在数轴上作出表示2百的对应点（提示：2代病="2+22,或者先作出石的线

段)•

十二、阶梯训练

A组

1.如图6,在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2,3）,以点。为圆心，以0P的长为半

径画弧，交X轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于（）.

A.-4和-3之间B.3和4之间C.-5和-4之间D.4和5之间

2.等边三角形ABC中，AB=1,则AB所对应的高CD的值是（）.

3.下列能使两个直角三角形全等的条件是（）.

A.一个锐角对应相等B.两个锐角对应相等

C.一条边对应相等D.两条边对应相等

4.如图7,数轴上点A表示的数是

B

-20(0)2A

图7

5.如图8,D为RtaABC中斜边BC上的一点，且BD=AB,过点D作BC的垂线，交AC于E,

若AE=12cm,则DE的长为cm.

6.如图9,在数轴上画出表示一加及‘区的点.

-4-3-2-101234

图9

7.如图